第三十章直线与圆的位置关系单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第三十章直线与圆的位置关系单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 2．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 3．如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：在中，， ∴， ∵的内心为， ∴平分，平分， ∴， ∴. 4．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，则．求出，即可得到，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．，分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】连接，，根据切线性质得到，，先求出圆心角；分点在优弧、劣弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形对角互补计算． 【详解】解：①当点在优弧上时，连接，， ，分别切于，， ，， ． 四边形内角和为，， ． ， ． ②当点在劣弧上时，连接，，在优弧上取一点，连接、， 由①得， 圆内接四边形对角互补， ． 的度数为或． 6．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 7．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 点是的内心， 平分， ， ， 平分，平分， ， ． 8．如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小圆半径为，大圆半径为，通过切线条件利用勾股定理建立方程求出半径的平方，进而求得剩余部分的面积． 【详解】解：设小圆半径为，大圆半径为， 切线平行于大圆直径且与小圆相切， 大圆圆心到切线的距离等于小圆半径， 设的中点为，连接，， 则，，， ∵点是的中点，点为圆心， 由垂径定理的推论可得：， 在中，由勾股定理得：， ， 剩余部分的面积为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，，射线l与正六边形的边交于点P．将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设交y轴于点H，得到是等边三角形，得到，又由，可知射线l每旋转12秒为一周，由，可得第2025秒旋转结束时，射线l的位置如图所示，射线l与y轴负半轴重合，即点P与点重合，求出结论即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，连接，设交y轴于点H， 由题意可知，， ∴都是等边三角形， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴射线l每旋转12秒为一周， ∵， ∴， ∴第2025秒旋转结束时，射线l的位置如图所示，此时射线l与y轴负半轴重合， 即此时点P落在点位置， ∵点与点H关于原点对称， ∴点的坐标，即点的坐标． 10．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 12．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 【答案】 【分析】对于第一空，由切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可；对于第二空，连接，由切线的性质和角平分线的判定定理可证明平分，平分，求出的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：由切线长定理得，，， ∴的周长 ； 如图所示，连接， 由切线的性质可得， 又∵， ∴平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质和勾股定理得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是直线上的一个动点， ∴当直线时，最小，此时， ∴的最小值为． 15．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 16．如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心的性质，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据已知得出是等边三角形，，证明，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点是的内心， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 18．如图，的顶点、在上，圆心在边上，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． 【分析】（1）先得出，再根据等边对等角求解即可； （2）先求出，则，再根据圆的切线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）略 19．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，，可得是等边三角形，，即可求解． （2）连结，根据M是的中点，利用等边三角形三线合一，求出的长度，再根据，得出，进一步得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）解：如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴．                     ∵， ∴． ∴， ∴． 20．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 【答案】 【分析】根据切线的性质，可得，，再利用全等三角形的性质求，最后根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， 光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C． ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，，则， ， 直径为， 则这张光盘的直径为． 21．如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． （2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数． 【详解】（1）解：∵为的半径，且点是的中点， ∴，，， ∵直径垂直弦于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设的半径为，则, 即， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． （2）解：∵直径垂直弦于点， ∴， 在中， 即， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 22．如图，是的外接圆，点是它的内心，射线、各交对边于点、，射线、各交于点、．求证：． 【答案】 连接，如图， ∵点是的内心， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， 由图可得，， ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理和内心的性质，证明三角形相似是解决本题的关键． 根据内心的性质可得，再通过圆周角定理证明可得，进而即可得证． 【详解】略 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以速度向点C移动，连接，点P的运动时间为． (1)当的面积等于时，求t的值； (2)以Q为圆心，为半径画： ①当与线段所在直线相切时，求t的值； ②当与线段有两个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)t的值为1或5 (2)①t的值为0或；② 【分析】（1）表示出，由面积解方程即可求解； （2）①由相切得，利用勾股定理建立方程即可求解； ②与线段有两个公共点，则点到线段的距离小于半径，且，由①及解不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，则， ∵， ∴， 即， 解得， 即当的面积等于时，t的值为1或5； （2）解：①当与线段所在直线相切时，则点Q到直线的距离为6， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，； 即t的值为0或时，与线段所在直线相切； ②连接，过点Q作于点E，如图， 当与线段有两个公共点时，则小于半径，且， 当小于半径时，由①得； 当时，则， 即， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 综上，当与线段在两个公共点时，． 24．如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，． (1)求的度数； (2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）首先求出，由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，得到，如图所示，过点D作于点F，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 如图所示，过点D作于点F， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等角对等角，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章直线与圆的位置关系单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 5．，分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 8．如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，，射线l与正六边形的边交于点P．将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 12．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 13．如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 15．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 16．如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 18．如图，的顶点、在上，圆心在边上，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：与相切． 19．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 20．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 21．如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 22．如图，是的外接圆，点是它的内心，射线、各交对边于点、，射线、各交于点、．求证：． ∵点是的内心， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， 由图可得，， ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以速度向点C移动，连接，点P的运动时间为． (1)当的面积等于时，求t的值； (2)以Q为圆心，为半径画： ①当与线段所在直线相切时，求t的值； ②当与线段有两个公共点时，求t的取值范围． 24．如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，． (1)求的度数； (2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $