精品解析：甘肃兰州市某校2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试卷

西北师大附中 2026—2027学年第一学期期中考试试题 高一数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则= A. {1} B. {3，5} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据补集的运算得．故选C. 【考点】补集的运算. 【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题否定形式直接求解即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：A 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】A选项，，其中，但可正可负，所以无法判断符号，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以，所以B选项正确； C选项，，因为可正可负，，所以无法判断的符号，所以C选项错误； D选项，，当时，，所以D选项错误. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可． 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误． 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：B. 6. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的定义域为，可得的定义域为，再根据可得答案. 【详解】由的定义域为， 得，所以， 所以，的定义域为， 令，得，即， 所以的定义域为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数，若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.，若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数在上单调递增，需满足每段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列出不等式求解即得的取值范围. 【详解】因函数在上单调递增， 当时，由单调递增，则，解得； 当时，对于函数，分两种情况考虑： ① 当，即时，函数在上单调递增，符合题意； ② 当，即时，因函数的单调递增区间为， 故需使，平方得，解得，故可得； 综合①，②可得； 又因在分段点处，需使，解得. 综上，由可得. 故实数的取值范围为. 8. 已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可得，构造，则原条件等价于在上单调递增，再分类讨论，可得答案． 【详解】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，① ，② ①②得：， ， 又对于任意，都有，即对于任意，， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递增，满足题意； 当时，是二次函数，其对称轴方程为， 在上单调递增，所以或， 解得或， 综上，， 即的取值范围为,． 故选：B 二．多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为3 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，由于，再结合基本不等式分析判断，对于C，对平方后利用基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B正确； 对于C：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 B. 若函数是定义域为的奇函数且当时，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A：将不等式的解转换成之间的关系，即可解出的解集. 选项B：由奇函数的性质可解. 选项C：令，设函数的值域为，由题知，然后求出实数的取值范围. 选项D：由题意得对，恒成立，然后求出实数的取值范围. 【详解】选项A：由题知方程的根为，，且， ，， 方程等价于，由，其根为，， 不等式等价于，其解集为，A错误. 选项B：由题知，B正确. 选项C：令，设函数的值域为，由题知， 当时，函数图像开口向下，不满足题意，当时，不满足题意， 当时，要满足题意需满足，，C正确. 选项D：令，由题意得对，恒成立， 当时，函数图像开口向下，不恒成立； 当时，恒成立； 当时，函数图像开口向上，要使恒成立，需满足， ，综上所述实数的取值范围是，D错误. 11. 对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列结论正确的是（ ） A. 对于函数，有成立 B. 对于函数，有成立 C. 对于函数，存在，使得成立 D. 若是R上的单调递增函数，则一定有成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】由新定义运算可判断A；按照、分类，计算出集合，即可判断B；令可判断C；若是函数的“不动点”，易证即，若是函数的“稳定点”，结合反证法可得，可判断D. 【详解】对于A，由可得， 令即，解得或，故， 令即，所以，所以，故A错误； 对于B，对于函数，易得， 若，则，令可得， 令即； 若，则，令可得，不合题意， 令即，不合题意； 所以，故B正确； 对于C，若，则，，此时，故C正确； 对于D，若是函数的“不动点”，则，则， 所以也是函数的“稳定点”，所以； 若是函数的“稳定点”，则， 假设，则由函数单调性可得即，假设不成立； 假设，则由函数单调性可得即，假设不成立； 所以，即为的“不动点”，所以； 综上，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对函数新定义的理解，合理运用新概念结合运算、赋值及反证法即可得解. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据得到，最后由子集的概念分析集合的元素，得出结论． 【详解】集合，， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 所以实数a组成的集合为． 13. 已知函数，关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及单调性脱去法则“f”，再分离参数借助基本不等式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，，即是奇函数， 又幂函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式，则， 依题意，对任意恒成立，即对任意恒成立， 而，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数，，若存在个实数为，使得成立，且的最大值为6，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的值域为，令，则，则条件等价于函数，若存在、、、、，使得成立的最大整数的值为，可得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，；当时，， 所以，函数在上的值域为， 令，则，则条件等价于函数， 若存在、、、、，使得成立的最大整数的值为， 则， 因为当时，，则不等式组不成立， 所以，或， 当且时，在上单调递增，则， ， 所以，，解得； 当且时，在上单调递减， 则，， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的综合问题，解本题的关键在于将问题转化为，然后对参数的取值进行分类讨论，并求出相应函数的最值，结合已知条件列不等式（组）求解. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，集合，或． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用集合交集的定义可得答案； （2）利用一元二次不等式的解法化简集合A，再根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）时，解不等式得， 故， 又或 ； （2） “”是“”的充分不必要条件， 等价于，对于不等式， ， 因为，解不等式得， ，又或 要使，则或， 综合可得. 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，解答本题的关键是将充分条件不必要条件转化为集合之间的包含关系求解. 16. 已知函数 （1）解关于的不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为； 当时,的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）由，分，，结合二次函数的图象进行分类讨论； （2）分和，当时，结合二次函数图象列出使得时，恒成立应满足的条件即可求解. 【小问1详解】 . 要求，对于进行分类讨论， ①当时，，由可得：； ②当时，为二次函数，开口向下，由可得：； ③当时，为二次函数，开口向上， 此时的两根为，， 针对两根大小关系再次分类讨论， ⅰ），即时，此时； ⅱ），即时，此时或； ⅲ），即时，此时或； 综上所述：当时，解集为； 当时,的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【小问2详解】 当时，恒成立， 由， ①当时，，当时，不恒成立，不符合题意，舍去； ②当时，为二次函数， 要使时，恒成立， 则二次函数开口必须向上， 则，解得：， 故当时，恒成立，的取值范围为. 17. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】（1）100 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 19. 定义符号函数为，已知，令. （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先得到函数的图象的对称轴为，再根据函数在区间上单调求解； （2）易得，在同一坐标系中画出和的图象，利用数形结合法求解； （3）由时，求得的取值集合为，由时，求得的取值集合为，然后利用求解. 【小问1详解】 解：函数的图象是开口向上的抛物线且对称轴为. 若函数在区间上单调，则或， 实数的取值范围是； 【小问2详解】 当时，， 由题意得. 在同一坐标系中画出和的图象如下： 因为， 结合图象可知，实数的取值范围是：或； 【小问3详解】 当时，令的取值集合为， 当时，令的取值集合为， 则由题意得. ①时，， 在上单调递减， ②时，， 当时，在上单调递减， ，此时不可能有，不满足题意 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 则，使得， 此时不可能有，不满足题意 当时，在区间上单调递增， ， 由，得，解得， ， 综上所述，实数的取值范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2026—2027学年第一学期期中考试试题 高一数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则= A. {1} B. {3，5} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，5} 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 B. 若函数是定义域为的奇函数且当时，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11. 对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列结论正确的是（ ） A. 对于函数，有成立 B. 对于函数，有成立 C. 对于函数，存在，使得成立 D. 若是R上的单调递增函数，则一定有成立 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数的取值集合为________． 13. 已知函数，关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________． 14. 已知函数，，若存在个实数为，使得成立，且的最大值为6，则实数的取值范围为___________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，集合，或． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数 （1）解关于的不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 17. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 定义符号函数为，已知，令. （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $