精品解析：甘肃省兰州市第二中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

兰州二中 2026-2027 学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题　共 58 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在命题的否定法则可得答案. 【详解】命题：，的否定为：，. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】逐项判断函数的定义域和对应法则即可； 【详解】选项A：两个函数的定义域都是全体实数，根据二次根式的性质，， 对应法则完全相同，是同一个函数，A 正确； 选项B：​的定义域是，即； 而需要同时满足且，定义域为， 定义域不同，不是同一函数，B错误； 选项C：的定义域是全体实数，但的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，C错误； 选项D：的定义域是全体实数，但的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，D错误； 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】， 若，则，所以，故充分性成立； 若，则， 当时，、的大小关系无法判断，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 6. 关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论，由不等式恒成立进行求解． 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 综上所述的取值范围为． 故选：D． 7. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 8. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 【答案】AD 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】， 选项A：，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 11. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，代入题干等式化简即可得解. 【详解】在等式中，令，可得，故. 故答案为：. 13. 计算： ______． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，，． （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解一元二次不等式，再由交集定义求解即得； （2）根据集合是否为空集分类，列不等式求解即得. 【小问1详解】 由 得 ，所以 ； 由 得 或 ，所以 ； 所以 ； 【小问2详解】 ； 当 ，即 时，，符合题意； 当 时，由 得 或，即 或,故得. 综上， 的取值范围为 ． 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间； 写出函数的解析式和值域． 【答案】（1）递增区间是，， （2） 【解析】 【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间; 直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到. 【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示: 由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,, 故的解析式为, 由图像可得值域为. 【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题. 17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2000万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为8万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本） （1）求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为2500万元 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售额-成本结合题干分段函数即可求解；（2）由（1）得到的利润关于年产量的分段函数，在年产量和的情况下分别求出对应的最值，即可知答案. 【小问1详解】 解：（1）∵ ∴当时，， 当时，. 故 【小问2详解】 （2）由（1）得 当时，， ∴； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故. ∵，故当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为2500万元. 18. 已知函数，且. （1）求a的值： （2）用定义证明函数在区间上单调递增； （3）在区间上，若函数满足，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）由（1）知， 任取，，且， 则， ∵，∴，， ∴，即， ∴在区间上单调递增. （3） 【解析】 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵在区间上单调递增， ∴在区间上单调递增， 由题意可知. 解得，即实数m的取值范围是. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先得到函数的解析式，然后根据不动点的概念列出方程求解方程的解即可. （2）首先根据不动点的概念列出方程，然后令判别式大于0，可得到关于的不等式，然后构造关于的新函数，令其最小值大于0，即可求得的取值范围. （3）根据韦达定理可得到关于的等式，然后化简用的表达式将表示出来，然后根据基本不等式的性质可求出的范围. 【小问1详解】 因为，所以. 设函数的不动点为，则. 化简得，解得，所以的不动点为-1. 【小问2详解】 令，则有两个相异的解. 所以，即：对于任意恒成立. 令，则， 解得. 【小问3详解】 因为为的两个不动点，且， 所以. 因为由（2）知，，所以， 所以. 由（2）得到，根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时，即时等号成立， 所以. 又，所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州二中 2026-2027 学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题　共 58 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 第Ⅱ卷（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，则___________． 13. 计算： ______． 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，，． （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间； 写出函数的解析式和值域． 17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2000万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为8万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本） （1）求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数，且. （1）求a的值： （2）用定义证明函数在区间上单调递增； （3）在区间上，若函数满足，求实数m的取值范围. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $