安徽省萧县中学2026-2027学年高三年级第一学期期中考试数学试题

高三数学答案和解析 1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．A 9．ABD 10．ACD 11．BC 12．6 13． 14． 15．解：（1）若，则，，故，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2），恒成立，即，， 又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以． 所以实数的取值范围是． 16．解：（1）因为， 由正弦定理得， 所以，所以． 又因为， 即， 所以． 所以，所以， 所以是直角三角形． （2）设，则，，， 在中，， 即，解得， 所以． 17．解：（1）由题意得，，，， ，，，， ，，， 由得，， 的单调递增区间为，． （2）由题意得，， ， 的值域为． 18．【答案】（1）解：依题意，因为，所以，因为是线段的中点，所以．设，则有，因为，，三点共线，所以，解得，即，所以，所以．由，得所以，故． （2）（ⅰ）证明：根据题意，同理可得，由（1）可知，，所以．因为，，三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为． （ⅱ）解：根据题意，． ，所以，由（ⅰ）可知， 则，所以，其中，当时，有最小值，此时． 19．解：（1）当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值． （ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，，又存在两个零点，即存在区间使得所以不恒成立，不合题意． （ⅲ）当时，若，因为的零点为，且， 则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以，解得， 此时，当时； 当时，则， 所以综上的取值范围为． （3）证明：当时，，， 设为的零点，则，因为，所以， 所以当时，，，所以，单调递增， 当时，，，所以，单调递减， 当时，，，所以，单调递增， 所以，且，即， 所以， 设， 则，单调递增， 所以，， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第一学期期中考试 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2．若复数，则（ ） A． B． C． D． 3．若，，且，则和的夹角是（ ） A． B． C． D． 4．设：“，”，：“”，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数（，）的最小正周期为，且其图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，，满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列结论正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．若，，则 C．若，，，则的最大值为 D．若，则的最大值是 10．对，，定义若函数，则下列四个结论中正确的有（ ） A．是以为周期的函数 B．当且仅当时，取得最小值 C．图象的对称轴为直线 D．当且仅当时， 11．已知函数，，点，分别在函数和的图象上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A．若关于的方程在上无解，则 B．存在，关于直线对称 C．若存在，关于轴对称，则 D．若存在，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知实数，，满足且，则________． 13．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，且满足，．则的外接圆直径长为________． 14．三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足．若，都有恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 16．（本小题15分） 已知在中，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点在边上，且．若，求的面积． 17．（本小题15分） 已知函数（，）的周期为，且． （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域． 18．（本小题17分） 在中，在线段上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点（如图①），若，求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点，（如图②），设，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值． 19．（本小题17分） 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是增函数，求的取值范围； （3）当时，设为的极小值点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $