精品解析：广东广州市增城区增城中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线经过点、，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为，则，由斜率公式可得，故. 2. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 4. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 5. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 6. 若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，不妨设，则， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，A不符合要求； 对于B选项，， 设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，B不符合要求； 对于C选项，， 故、、三点共线，C符合要求； 对于D选项，设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，D不符合要求. 7. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则得到，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律建立方程求解即可. 【详解】由向量加法法则可得， 所以. 因为，，且，是棱上的两点，所以，，即，. 又二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 因为，，， 所以，即， 整理得，解得. 因为线段长度为正，所以. 8. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角余弦值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模、数量积、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】已知，. A中，，A正确； B中，，B正确； C中，， 所以，与不相等，C错误； D中，，D正确. 10. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 11. 已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程 B. 四边形周长的最小值为 C. 直线过定点 D. 若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，要结合圆的方程，直线与圆的位置关系，切线长公式以及直线过定点问题和绝对值函数的性质，逐项进行分析解答. 【详解】A：圆关于直线和对称，因此圆心是这两条线的交点. 联立方程：解得，即圆心. 圆C经过点，半径为圆心到的距离， 因此圆的标准方程为，A正确； B：四边形的周长为（为切线长）. 切线长因此周长为 要使周长最小，需最小（在直线上）. 的最小值为圆心到直线的距离： 此时周长最小值为，B正确； C：设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式，整理得， 联立，可得，说明直线所过定点为错误； ：由， 表示圆上的点到直线、距离和的倍， 要使的取值与无关，只需圆在两条直线之间，如上图， 又到的距离，即直线与圆相离， 若过圆心，则，即直线过圆心，则为，显然， 所以，只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可，即且， 所以，即D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，两直线的距离为. 故答案为： 13. 设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内两点． （1）求的垂直平分线方程； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）和 【解析】 【分析】(1)求出中点坐标为，计算出MN两点的斜率，根据两直线垂直斜率乘积等于-1计算出中垂线的斜率，再利用点斜式写出中垂线即可． (2)点和点到直线的距离相等等价于直线与直线MN平行或直线过的中点． 【详解】（1）易求得中点坐标为．又， 所以的中垂线的斜率为， 的中垂线的方程为即． （2）由（1）知，，所以直线的方程为， 直线经过点得，综上：为和 【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） 证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以， 所以，又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面平行的空间向量证法即可； （2）利用线面角的空间向量求法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 【答案】（1）由题意知，， 因为， 则， 所以 ， 所以即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理用来表示，利用向量的数量积公式证明，即可证明； （2）利用模长公式计算即可求出答案. （3）利用向量的夹角公式求出，即可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以 . 又 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 18. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球球心到直线的距离； （3）若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 【答案】（1）在矩形中，有，， 由为的中点，则， 所以， 则，所以， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理，面面垂直的性质，及线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），求出，再根据三棱锥各棱的关系，将其扩成长方体，从而找到其外接球球心，再借助面面垂直的性质，建立以为原点的空间直角坐标系，进而利用空间中点到直线的距离公式求解即可； （3）结合（2）的空间直角坐标系，及条件求出平面的法向量，再结合（1）得到平面的一条法向量，进而利用空间向量夹角的余弦值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）有平面，，， 又平面，则， 所以， 又，，则， 所以是直角三角形，且， 所以把三棱锥扩展成底面边长为的正方形，高为的长方体，如下图所示， 由的中点为长方体的外接球球心，所以为三棱锥的外接球球心． 由，取的中点，连接，则， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以以为原点，直线，，的平行线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以点到直线的距离为． 【小问3详解】 结合（2）的空间直角坐标系，有，，，， 由，则，所以得， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 结合（1）有平面，且， 所以平面的一条法向量为， 又二面角的平面角为，且， 则，即，解得，或（舍去）， 所以当二面角的平面角为时，． 19. 已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设，又C是线段的中点，，即， 又点 A 在圆 上，，即， 故曲线C 的方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为， 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在的直线不重合，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为， 由题可知：，故， 又因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线经过点、，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 6. 若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 7. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角余弦值为 D. 10. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程 B. 四边形周长的最小值为 C. 直线过定点 D. 若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离为_______． 13. 设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内两点． （1）求的垂直平分线方程； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 18. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球球心到直线的距离； （3）若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 19. 已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $