广东佛山市顺德区国华纪念中学2026-2027学年度第一学期期中考试高二数学试卷

国华纪念中学2026一2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：杨罡审题人郑利 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.直线x-V3y-2026=0的斜率为() A.V3 B.-3 c.号 D.3 2.直线1：3x+4y-2=0与12：2x+y+2=0相交，则交点是（) A.(2,-2) B.（-2,2) C.(-2,1) D.（-1,2) 3.若方程x2+y2-2mx+4y+m2-m+5=0表示圆，则m的取值范围是(） A.(1,+o) B.(-∞，-1) C.(9,+o) D.（-∞，-9) 4.若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为() A.月 B.月 C. D 5.如图，在三棱锥O一ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=,OB=b, OC=己，则BD等于() A.拉-6+ B.a-b+d c.-a+6-d D.--6- 6.在空间直角坐标系中，直线1的一个方向向量为m=(0,一1,0)，平面的一个法向量为如= (0,V3,-1),则直线1与平面所成的角为.() A.君 B. C. D. 7.已知点A(1,-1),B(2,4),若直线1：mx-y-4m+2=0与线段相交，则直线1的倾斜 角的取值范围是() A.[0,]U[g,) B.,] C.【0,]u[,m) D.[,] 8.已知点P为圆C:x2+y2-2x+4y+4=0上任意一点，过点P分别向直线1：mx+y+2m一 2=0和2：x-my+2+2m=0作垂线，垂足分别为M,N.则PM·PN的最大值为() 高二数学试题第1页（共4页) A.18 B.16 C.17 D.15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分 9.己知随机事件A、B发生的概率分别为P(A)=子P(B)=子，则( A.若A与B互斥，则PAUB)=若B.若A与B相互独立，则P(AUB)=是 C.若AcB,则PAUB)=8 D.若P(AB)=则事件A与B相互独立 10.关于空间向量，以下说法正确的是( A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若a.<0,则a与6的夹角是钝角 C.若对空间中任意一点O,有O=OA+OB+0C,则卫，A,B,C四点共面 D.已知向量=（山，-1,1），6=2,11)，则向量在向量6上的投影向量是（后， 11,布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果 的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3 所示的几何体.若图3中每个正方体的 G 棱长为1，则()、 A.OC=AD+2AB+2AA B.异面直线CQ与AD1所成角正弦 值为 6 图 图2 图3 C.点P到直线CQ的距离是 3 D.M为线段CQ上的一个动点，则M正.MC的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的半径为 13.2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动.来自本市 的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等.已知甲答对题目的 概率为，乙答对题目的概率为号，丙答对题目的概率为则至少有一人答对题目的概率为 ；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为 14.已知正四面体ABCD的棱长为4v2,用满足MA+MB=MC2+MD的动点M构成的平面截正四面 体ABCD,所得截面多边形的周长为 商二数学试题第2页（共4而） 四、解答题：本题共5题，共77分. 15.(本题满分13分)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,3)B(2,1)、C(-2,0). (I)求△ABC的边AB上的高所在的直线方程， (2)求△ABC的面积. 16.(本题满分15分)已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为V2,且圆C经过点P(5,4): (1)求圆C的标准方程； (2)过点A(3,0)的直线1与圆C交于M,N两点，若MN=2,求直线1的方程. 17.（本题满分15分)某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下：在盒内放有标 有数字为1,2,3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取， 第一次取出小球上的数字记为a,第二次取出小球上的数字记为b,若a=b，则参与者 中奖 (1)试列举出由样本点(a,b)组成的样本空间2，并计算出参与者中奖的概率； (2)若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率 高二数学试题第3页（共4页） 18.(本题满分17分)如图，PA,PB,PC为圆锥的三条母线，'且PA1BC. (1)证明：AB=AC: (2)若BC为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为V3π，（体积为π 求平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值. 19.平面直角坐标系x0y中，已知圆01：x2+y2=1,圆O2:x2+y2=2x+8y+19. (1)过点P(1,2)作圆01的切线，求切线的方程； (2)若b∈R,直线1：y=x+b与圆O2交于A,B两点，且OA.OB=-21,求b的值； (3)设Q为圆02的任意一点，过点Q向圆O1引切线，切点为M,试探究：平面内是否存在一 定点N,使得器为定值？若存在，请求出点N的坐标，并求出定值：若不存在，请说明理 由. 高二数学试题第4页（共4页） 国华纪念中学2026一2027学年度第一学期期中考试高二数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 56 7 8 9 1011 答案 B A B A C A ABD ACD BC 12.2; 13.名品 14.8V2 8.【分析】由题意可知11,12互相垂直且均经过定点Q(-2,2),进而可得PM2+PN2=PQ2≤ (CQ+)2=36,再由基本不等式计算即可求解， 【详解】已知圆C:x2+y2-2x+4y+4=0,化为标准方程为x一1)2+(y+2)2=1,因此圆C 的圆心C(1,-2),半径r=1, 由直线11：mx+y+2m-2=0和l2:8-1my+2+2m=0,可知11,12互相垂直且均经过定点Q(- 2,2),又因为PM⊥l1,PN⊥2，所以四边形PMQN是一个矩形，且CQ= V(-2-1)2+[2-(-2)]2=5, 因此PM2+PN2=PQ2≤(CQI+)2=36,当且仅当P,C,Q三点共线且C在线段PQ之间时 等号成立， 所以PM·PN≤4，P-18,当且仅当PM=PN=3V2时等号成立， 检验：当RCQ三点共线时，k0=k0c=号一 直线PQ的方程为y-2=-+2),即4x+3y+2=0, 4x+3y+2=0 直线与圆联立方程组得{x2+y2-2x+4y+4=0 解得两个交点(-)和（停，-片）， 结合题意可知P应在离Q较远的一侧，取P(,-), 此时PM=3V2,PN=3V2,所以PM·PN=18, 经检验，当P(,-若)时，PM·PN有最大值为18。 9.ABD【详解】对于A项，因为A与B互斥， 所以PAUB)=PA)+PB)=+号员故A正确， 对于B项，因为A与B相互独立，所以P(AB)=PAP©)=×号 所以，PAU)-PA+PE)-P心aB)-+号--号故B正确： 对于C项，因为A∈B,所以，PAUB)=PB)=≠总故C错误： 对于D项，由P(A)=子可得P(A=1-P(A)= 所以，PPB)=×音=P(B,所以事件A与B相互独立故D正确， 故选：ABD 11,BC【详解】建立下图所示空间直角坐标系，则 Q(1,0,2),C0,2,0),A(1,1,0),B(1,2,0),D0,1,0),A(1,1,1),D1(0,1,1),P(2,0,1) 故QC=(-1,2,-2),AD=(-1,0,0),AB=(0,1,0),AA=(0,0,1),B0=(0,-2,2), BD=(-1,-1,0),QF=(1,0-1),AD1=（-1,0,1), 选项A:AD+2AE+2AA=(-1,2,2)≠QC=（-1,2,-2)故A错误； 选项B:设异面直线CQ与AD1所成角为0,0∈(0，]，则 ZA G eas0=6osQ心ADi-哥-最-号 故sin8=1-(普-g,故B正确： 6 选项C:记与0C回向的单位向量为姐，期=器=（一号，- 高二数学答案第1页（共4页） 则点P到直线CQ的距离是d=√Q2-(p- ,故C正确； 3 选项D:设点M(x,y,z),使得QM=tQC,t∈[0,1]， 即(x-1,y,z-2)=t(-1,2,-2),故M(-t+1,2t,-2t+2),点E(2,0,0),则 ME.MC=(t+1,-2t,2t-2)·t-1,2-21,2t-2)=9-12+3=9t-3}-1, 当t=0,即点M与Q重合时，M正.MC取最大值3，故D错误. 13.普 30 【详解】设至少一人答对为事件A,恰有两人答对为事件C,甲答对为事件M,乙答对为事 件N,丙答对为事件Q, 由题意得P(A)=1-[1-PM)][1-PN)[1-P(Q)] =1-1-》×1-)x0-)=1-号x×兽 P(C)=P(M)P(N)[1-P(Q)]+P(N)P(Q)[1-P(M)]+P(M)P(Q)[1-PON)] 32 1.3 21 3.21 =亏×亏×(1-2)+5×(1-写)×2+(1-3)×写×2 14.8V2【详解】如图，将正四面体ABCD放入正方体中，因为正四面体的棱长为4V2,所 以对应正方体的棱长为4.以A为原点建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(4,4,0),C(0,4,4), D(4,0,4).设动点M(8,y,z), 由题意得x2+y2+z2+(x-4)2+(y-4)2+z2=x2+(y-4)2+(亿-4)2+（区-4）2+y2+(亿-4)2， 整理得，z=2. 取E,F,G,H分别为棱AD,BD,BC,AC的中点，则四边形EFGH 即为动点M构成的平面截正四面体ABCD所得的截面图形. D H 因为四边形EFGH为菱形，且EF-号AB=2V2, 所以所得截面多边形的周长为22×4=8V2. 15.【详解】(1)解：.A(0,3),B(2,1), B B的斜率AB=号2三1，…2分 ∴.AB边高线斜率k=1,又C(-2,0), 4分 .AB边上的高线方程为y=X+2.6分 (2)解：直线AB的方程为y-3=一x,即x+y-3=0, 项点C到直线AB的距离为d=-2+0-3到=52， 2 10分 又1ABl=/3-1)2+(0-2)2=2V2, 12分 △ABC的面积SABc-ABd=×9X2反=5l13分 2 16.(1)x-42+y-5)2=2②)x=3或12x-5y-36=0 【详解】(1)设圆C的圆心为(a,b),则圆C的方程为(x-a)+y-b)2=2, 2分 {6-ay+4-by=2解得8 b=a+1 b=5 .4分 所以圆C的方程为x-4)2+(y-5)2=2; 6分 (2)由(1)知圆心C(4,5),r=V2,设圆心到直线1的距离为d, 则MN=2VF2-d卫=2V2-d及=2，解得d=1,7分 所以当直线1斜率不存在时，x=3,此时d=43引=1符合题意； 9分 当直线1斜率存在时，设1：y=k(x一3)方即1x-y一3k=0,10分 此时d=4k二=1…l1分 高二数学答案第2页（共4页） 整理得，解得k=2, 13分 所以直线1的方程为x=3或12x-5y-36=0. ，15分 17、【详解】(1)有放回地抽取两次，第一次与第二次的抽取结果互不影响，每次抽到1,2， 3的可能性相同.按先第一次、后第二次的顺序列出所有样本点：Ω= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},3分 共9个样本点 中奖对应事件a=b,所含样本点为(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3个4分 9个样本点出现的可能性相等，由古典概型的概率公式得中奖的概率P=?= 935分 (2)由(1)知每人中奖的概率为子不中奖的概率为1-导四人抽奖相互独立 记甲、乙两人中获奖的人数为X,则X的可能取值为0,1,27分 P心=0)=x号=总PX=)=2××号-PQX=2)-号×写-)10分 3 记丙、丁两人中获奖的人数为Y, 同理有P0Y=0)=分PY=1)=分P(Y=2)=有12分 且X与Y相互独立所求事件即X>Y,按X=1与X=2 两类整合：P(X>Y)=PX=1)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=O)+P(X=2)P(Y=1) 所以P0>=×+×+×-= 98江2715分 18.(I)证明：取BC中点M,连接AM,PM,如图所示： 因为PB=PC,所以PM⊥BC, 又因为PA⊥BC,PMn PA=P,PM,PAc平面PMA, 所以BC⊥平面PMA,4分 又因为AMC平面PMA,所以BC⊥AM,5分 又因为M是BC中点，所以AB=AC. 6分 (2)因为BC为直径，可另设BC中点O,故O为底面圆的圆心，且PO⊥平面BAC, 由(1)知AO⊥BC,所以以O为坐标原点，OB,OA,OP分别为X,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，7分 Z角 8分 因为圆锥侧面积为V3π，体积为2m,设圆锥底面圆半径为r,母线长为1， 3 πrl=V3π 圆有r2h=22=+,解得r=1,h=公 9分 故P0,0,V2),A(0,1,0),B(1,0,0),C(-1,0,0), 故P=(0,1,-V2),P厘=(1,0，-V2,PC=(-1,0,-V2),10分 设=K,Z)为平面PAB的法向量，则西买=01-V22=0, .PB=0x1-V2z1=0 令x1=V2,则y1=V2,z=1,所以=(W2,V2,1),12分 高二数学答案第3页（共4页） 设或=(x,2Z)为平面卫AC的法向量，则西·丽=0(2-V22=0 .P元=0-x2-V22=01 令x2=-V2,则y2=V2,z2=1,所以=(-V2,V2,1),14分 设二面角B一PA一C的大小为0，由图可知为锐角， 则eosd=eos(@.=焉1=1装岩=专16分 所以平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值；， .17分 19【详解】(1)圆01：x2+y2=1的圆心为原点O(0,0),半径r=1. 点P(1,2)满足：12+22=5>1，故P在圆外，切线有两条. 若切线斜率不存在，宜线为X=1,到圆心距离为1，恰好等于半径，是一条切线；…1分 若切线斜率存在，设切线方程为y一2=k(8一1)，即kx一y+2-k=0,2分 由圆心到切线距离等于半径可得：=1， k2+1 化简得4-4k+k2=2+1,解得k= 所以切线方程为3x-4y+5=0.4分 综上所述切线方程为X=1和3x一4y十5=0 5分 (2)由x2+y2-2x-8y-19=0→（仪-1）2+y-42=36,可得圆心02(1,4)，半径R=6, 将y=x+b代入圆02方程，整理得： 2x2+(2b-10x+b2-8b-19=0→x2+b-5x+2-8-12=0, 2 7分 设A,B(x2,2小由韦达定理得：X1+为=5-b,X10=2--19 2 计算数量积：0A,0丽=x1x2+y1y2=x1X2+(x1+b)x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=-21 代入韦达定理结果化简可得(b2-8b-19)+b(5-b)+b2=-21→b2-3b+2=0,8分 解得b=1或b=2,故直线为y=x+1或y=x+2, 圆心02(1,4到直线距离分别为：d1=l-=V2<6,d2=-42=<6, v2 2 故直线与圆相交，b=1或b=210分 (3)由题设，Qx,y)满足方程x2+y2=2x+8y+19,若存在Nm,n,使O IQN2 =k为定值， 而QM2=x2+y2-1,QN=(x-m)2+y-n)2, 所以x2+y2-1=k8-m)2+ky-n)2,12分 整理得(1-k)x2+y2)=k(m2+n2)-2mkax-2nky+1, 将x2+y2=2x+8y+19代入，得(1-k)(2x+8y+19)=k(m2+n2)-2mkx-2nky+1, 整理可得(2-2k+2mk)x+(8-8k+2nk)y+18-19k-k(m2+n)=0, 14分 m=- 2-2k+2mk=0 17 m=-1 要使=k为定值，则 8-8k+2nk=0 ，解得 n=-4 16分 ION2 18-19k-k(m2+n2)=0 k= 2 18 综上，存在定点N(一，-号)对应定值为或定点N-1,-4)对应定值 …17分 高二数学答案第4页（共4页）