精品解析：新疆维吾尔自治区克拉玛依市独山子区第二中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

独山子第二中学2026—2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷（B卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3．考试范围：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第一节． 4．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】由， 因为，， 所以由. 4. 圆截直线所得弦的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 5. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可. 【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 则， 又由两直线所成角的范围为， 则直线与所成的角为. 故选：C. 6. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 7. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 8. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，对分离参数，联立方程求定点，判断A；选项B，用两直线平行公式求解，检验排除重合，判断B；选项C，利用垂直的系数关系列式求解，判断C；选项D，把化为斜截式，结合斜率、截距分析图象，判断D． 【详解】对于A，直线， 由， 得，， 所以始终过定点，故A正确； 对于B，若， 则有， 解得，故B正确； 对于C，若，则， 解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为， 所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 10. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 圆心到的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线一般方程与斜截式方程的转换可判断A；根据圆的方程确定半径即可判断B；根据点与直线的位置关系即可判断C；利用点到直线的距离求解即可判断D. 【详解】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，利用判断；对B，平面即平面，由与平面关系可判断；对C，直接找到线面角对应的直角三角形，计算边长得到正切值；对D，由，分析动点到平面的距离是否为定值，结合的面积是否为定值判断体积. 【详解】对于A：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 由题意得，设， 向量，，   故，A正确； 对于B：平面即平面，直线过平面内一点且不在平面内，直线与平面相交，不平行，B错误； 对于C：因为平面，则为在平面上的射影， 所以即直线与平面所成角，在中，（是中点）， ，故，C错误； 对于D： 因为，平面，平面，故平面， 上所有点到平面的距离恒为正方体棱长（定值）， 因此为定值，而，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合椭圆方程求出长轴长，代入已知的焦半径长度即可计算得到的值. 【详解】 椭圆的标准方程为，得，因此，长轴长， 所以， 因为，可得. 13. 设，是不共线的向量，已知，，，若、、三点共线，则实数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过向量线性运算求出，再利用三点共线的向量共线充要条件，结合不共线向量的系数对应关系求解实数即可. 【详解】已知、，则. 因为、、三点共线，且两向量有公共点，所以与为共线向量， 故存在实数，使得，即. 又，是不共线的向量，所以，解得. 14. 已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．  （1）用表示，并求； （2）求与的夹角． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． 【小问2详解】 因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 16. 已知直线经过点：（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）直线和圆：相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程； (3)分直线斜率存在、不存在两种情况，结合直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径求解，最后化为一般式. 【小问1详解】 已知直线经过点，直线斜率为， 由点斜式可得， 整理为一般式：. 【小问2详解】 分两种情况讨论： ①直线过原点，截距都为，设，代入，得， ，一般式：， ②直线不过原点，设截距式，即， 代入，，， 综上，直线方程为或. 【小问3详解】 圆，圆心，半径， ①直线斜率存在，设， 即，相切，则圆心到直线距离等于半径 ，， 两边平方：， 解得， 代入：，整理得， ②直线斜率不存在时，直线为， 圆心到距离为，等于半径，满足相切，一般式：， 综上，直线方程为或. 17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）点在圆上，在直线上，求的最小值． 【答案】（1）圆的方程为 （2）的最小值为 【解析】 【小问1详解】 设圆的标准方程为，由题意可得： ，解得，，， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为：，圆的半径， 所以最小值为. 18. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图以分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，分别是，的中点， 所以， 所以， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，应用空间向量数量积为0证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角的正弦公式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以， 所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以； 19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2026—2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷（B卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3．考试范围：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第一节． 4．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 4. 圆截直线所得弦的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 圆心到的距离为 11. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，且，则___________． 13. 设，是不共线的向量，已知，，，若、、三点共线，则实数为___________． 14. 已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．  （1）用表示，并求； （2）求与的夹角． 16. 已知直线经过点：（直线要求化成一般式） （1）若直线的斜率为，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）直线和圆：相切，求直线的方程． 17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）点在圆上，在直线上，求的最小值． 18. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $