湖北武汉市武钢三中2026-2027学年高二上学期数学期中模拟卷

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （测试内容：概率、空间向量、直线和圆、椭圆） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．椭圆的焦点坐标为（　　） A．（0，±2） B．（±2，0） C． D． 【分析】根据椭圆方程直接求解即可． 【解答】解：椭圆，可得c2＝a2﹣b2＝4，又焦点在y轴上， 故焦点坐标为（0，2），（0，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查椭圆的焦点，考查计算能力，属于基础题． 2．直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【分析】利用直线垂直的性质求解． 【解答】解：∵l1⊥l2， ∴1×m+m（m﹣2）＝0， ∴m2﹣m＝0， ∴m＝0或m＝1， 故选：D． 【点评】本题考查直线垂直的性质．属于基础题． 3．已知圆C1：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝32与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣a）2＝128恰有3条公切线，则实数a的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．14或﹣10 D．10或﹣4 【分析】根据题意可知圆C1和圆C2外切，利用|C1C2|＝r1+r2列等式求解即可． 【解答】解：圆C1：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝32的圆心C1（a，2），半径， 圆C2：（x﹣2）2+（y﹣a）2＝128的圆心C2（2，a），半径， ∵圆C1与圆C2恰有3条公切线，∴圆C1和圆C2外切， ∴|C1C2|＝r1+r2，即，解得a＝14或a＝﹣10． 故选：C． 【点评】本题主要考查两圆位置关系的应用，考查计算能力，属于基础题． 4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为p1；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为p2，则p1p2＝（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出两种情况下的样本空间和相应情况下“第二次才能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式求出p1，p2，即可求解． 【解答】解：某人有4把钥匙，其中2把能打开门， 将能打开门的两把钥匙记为A和B，不能打开门的两把钥匙记为a和b， 现随机地取1把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为p1， 记事件M＝“第二次才能打开门”，（x1，x2）表示开门两次事件的样本点，x1和x2表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： Ω1＝{（A，B），（A，a），（A，b），（B，A），（B，a）（B，b），（a，A），（a，B），（a，b），（b，A），（b，B），（b，a）}共12个样本点， 则M＝{（a，A），（a，B），（b，A），（b，B）}共4个样本点， 所以； 如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为p2， 如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： Ω2＝{（A，A），（A，B），（A，a），（A，b），（B，B），（B，A），（B，a）（B，b），（a，A），（a，B），（a，a），（a，b），（b，A），（b，B），（b，a），（b，b）}共16个样本点， 则M＝{（a，A），（a，B），（b，A），（b，B）}共4个样本点， 所以； 则． 故选：B． 【点评】本题考查了条件概率的计算，属于中档题． 5．在空间直角坐标系中，向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据空间向量的坐标运算求出，，然后根据投影向量公式求解即可． 【解答】解：因为，， 所以，， 故所求投影向量为：． 故选：D． 【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题． 6．若直线l：kx﹣y+k＝0与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线系方程可得直线所过定点P的坐标，再求出PA、PB所在直线当斜率，则答案可求． 【解答】解：直线l：kx﹣y+k＝0过定点P（﹣1，0），且不包含直线x＝﹣1， 又， 则，， 要使直线l：kx﹣y+k＝0与以为端点的线段相交， 则直线的倾斜角取值范围为． 故选：A． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 7．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆的一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|，|F1F2|＝4．若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】由椭圆定义|PF1|+|PF2|＝6，根据∠F1PF2＝60°，结合余弦定理可得|PF1|•|PF2|的值，即可求△F1PF2的面积． 【解答】解：由，得， 则椭圆长轴长2a＝|F1B|+|F2B|＝6，由点P在椭圆上，得|PF1|+|PF2|＝2a＝6， 又∠F1PF2＝60°，则cos∠F1PF2， 可得|PF1|•|PF2|， 所以△F1PF2的面积为． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段CC1上，则△D1EP面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，点P到直线D1E距离的最小值等于异面直线D1E与CC1的距离，进而利用向量法求异面直线D1E与CC1的距离，从而可得△D1EP面积的最小值． 【解答】解：因为，点P到直线ED1的距离最小时△D1EP面积取得最小值， 而点P在线段CC1上，直线D1E与CC1互为异面直线， 因此点P到直线D1E距离的最小值等于异面直线D1E与CC1的距离． 下面用向量法求异面直线D1E与CC1的距离： 以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则E（1，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）， ，，， 设异面直线D1E与CC1公垂线的方向向量为， 即， 令x＝2，则y＝﹣1， 即， 于是异面直线D1E与CC1的距离为， 又， 所以△D1EP面积的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．直线l：x﹣y+1＝0与圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3）的公共点的个数可能为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】求解圆心到直线的距离的范围，即可判断选项． 【解答】解：圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3），圆心（﹣a，0），半径为， 根据题意，圆心（﹣a，0）到直线x﹣y+1＝0的距离d，﹣1≤a≤3，可得d， 直线l：x﹣y+1＝0与圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3）的公共点的个数可能为1个或2个． 故选：BC． 【点评】考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，是中档题． （多选）10．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E为棱CC1的中点，则（　　） A． B．直线A1E与BD所成的角为60° C．B1D1⊥平面ACC1A1 D．已知N为BB1上一点，则AN+NC1最小值为 【分析】首先设，得到及.对选项A，根据，再平方即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，根据B1D1⊥A1C1，A1E⊥B1D1即可判断C正确，对选项D，根据当且仅当A，N，C1三点共线时，AN+NC1有最小值，即可判断D正确． 【解答】解：设， 因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°， 则，． 对于选项A，因为， 所以，则，故A正确； 对于B，，， 所以， 所以，所以A1E⊥BD，故B错误； 对选项C，因为四边形A1B1C1D1为菱形，所以B1D1⊥A1C1， 又因为A1E⊥BD，B1D1∥BD，所以A1E⊥B1D1， 因为A1C1⊂平面ACC1A1，A1E⊂平面ACC1A1，A1C1∩A1E＝A1， 所以B1D1⊥平面ACC1A1，故C正确； 对选项D，如图所示： 当且仅当A，N，C1三点共线时，AN+NC1有最小值． AC＝2，CC1＝1，∠ACC1＝120°， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了空间中直线与直线所成角的计算及直线与平面垂直的证明，考查了空间向量的应用，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题． （多选）11．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，下列说法正确的是（　　） A．若点T的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为 B．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是 C．若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 D．若点T的坐标为（0，b），椭圆上存在点P使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 【分析】A选项，设出P（m，n），m∈[﹣a，a]，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段PT长度的最小值，A错误； B选项，先得到上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，再数形结合得到F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆与于不同于上下顶点的P1，P2两点，列出不等式组，求出答案； C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，∠OPB最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围； D选项，设P（m，n），m∈[﹣a，a]，n∈[﹣b，b]，则，表达出，问题转化为在[﹣b，b]上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围． 【解答】解：设P（m，n），m∈[﹣a，a]，则， ， 若b＜c，此时，此时当时，|PT|2取得最小值，最小值为，线段PT长度的最小值为； 若b≥c，此时，此时当m＝a时，|PT|2取得最小值，最小值为，故A错误； 如图，椭圆左右顶点为A，B，上下顶点为C，D， 显然上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形， 要想椭圆上佮有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形， 以F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆于不同于上下顶点的P1，P2两点， 则要满足|F1A|＜|F1Q|，且|F1C|≠|F1P1|， 即，解得：，且， 故椭圆E的离心率的取值范围是，B正确； 若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时a2≥4（a2﹣c2），即； 若，即时，如图所示： 连接OP，OB，显然，则， 因为y＝sinx在上单调递增，要想∠OPB最大，只需sin∠OPB最大， 故当|OP|最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，∠OPB最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以a2≥3（a2﹣c2），解得：，所以． 综上：若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确； 设P（m，n），m∈[﹣a，a]，n∈[﹣b，b]，则， ， 椭圆上存在点P使得，即在[﹣b，b]上有解， 即在[﹣b，b]上有解， 令，注意到， ， 故只需满足， 由①得：，由②得：或， 综上：， 则椭圆E的离心率的取值范围是，D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知椭圆，过右焦点的直线交C于A，B两点，则|AB|的最小值为 　3　 ． 【分析】由题意，易知过焦点的弦长最短的是通径，通径为，代入求解即可． 【解答】解：因为椭圆， 所以a＝2，， 此时通径长为， 则|AB|的最小值3． 故答案为：3． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 　　 ． 【分析】分第一局甲胜，第二局乙胜和第一局乙胜，第二局甲胜两种情况，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得． 【解答】解：若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局， 第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； 第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为； 所以甲、乙各胜一局的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于基础题． 14．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点（x，y）与点（a，b）之间的距离的几何问题．已知点M（x1，y1）在直线l1：y＝x+2上，点N（x2，y2）在直线l2：y＝x上，且MN⊥l1，结合上述观点，的最小值为 　　 ． 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点M（x1，y1）到点A（0，4）的距离与点N（x2，y2）到点B（3，0）的距离和，过点A作AC⊥l1，垂足为C，证明|AM|＝|CN|，由|CN|+|NB|≥|CB|求目标函数最小值． 【解答】解：由两点间距离公式可得表示点N（x2，y2）到点B（3，0）的距离， 表示点M（x1，y1）到点A（0，4）的距离， 所以， 过点A作AC⊥l1，垂足为C， 因为直线l1的方程为x﹣y+2＝0，A（0，4），则， 又直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝x平行，MN⊥l1，则， 可得MN∥AC，|MN|＝|AC|， 则四边形AMNC为平行四边形，所以|AM|＝|CN|， 可得， 且|CN|+|NB|≥|CB|，当且仅当C，N，B三点共线时等号成立， 所以当点N为线段CB与直线l2的交点时， 取最小值，最小值为|CB|， 因为过点A（0，4）与直线l1垂直的直线的方程为y＝﹣x+4， 联立，可得，即点C的坐标为（1，3）， 可得， 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查曲线的性质，本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△ABC中，已知点C（4，5），AC边上的高线所在的直线方程为x+y﹣11＝0，角A的平分线所在的直线方程为3x﹣y+3＝0． （1）求直线AC的方程； （2）求直线AB的方程． 【分析】（1）法（i）AC边上的高线所在的直线方程为x+y﹣11＝0，则AC边可设为x﹣y+m＝0，代入C（4，5）计算即可；法（ii）求出百年AC上的高所在的直线斜率，可得AC边所在的直线的斜率，由点斜式方程，可得直线AC的方程； （2）先求出A（﹣1，0），再求出C点关于直线3x﹣y+3＝0对称的点C′（x0，y0），进而求出kAB＝﹣7，再用点斜式计算即可． 【解答】解：（1）（i）因为AC边上的高线所在的直线方程为x+y﹣11＝0， 所以AC边可设为x﹣y+m＝0 又点C（4，5）在AC边上，所以4﹣5+m＝0，可得m＝1， 所以直线AC的方程为x﹣y+1＝0； 法（ii）因为AC边上的高线所在的直线方程为x+y﹣11＝0， 可得直线的斜率为：﹣1， 所以AC所在的直线的斜率为1， 所以AC所在的直线的方程为y﹣5＝1×（x﹣4）， 即x﹣y+1＝0； （2）由，解得， 由题意可得A（﹣1，0）， 设C点关于直线3x﹣y+3＝0对称的点C′（x0，y0） 可得，解得， 所以C′（﹣2，7），因为A（﹣1，0）， 又点C′在直线AB上，可得kAB＝﹣7， 则求得直线AB的方程为：y＝﹣7（x+1）， 即7x+y+7＝0． 【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应用及点关于直线的对称点的求法，属于基础题． 16．（15分）已知圆C和直线l1：2x﹣y﹣4＝0，l2：x﹣y﹣2＝0，若圆C的圆心为（0，0），且圆C经过直线l1和l2的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点（1，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【分析】（1）根据题意联立直线l1和l2的直线方程，求得交点（2，0），进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线l的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解． 【解答】解：（1）首先由可得， 所以直线l1和l2相交于点（2，0）， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为x2+y2＝4． （2）当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入圆C方程为x2+y2＝4可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1）+2， 根据题意圆心到直线l的距离为， 所以，解得，此时直线方程为3x﹣4y+5＝0， 所以直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0． 【点评】本题考查了垂径定理，属于基础题． 17．（15分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，△A1BC的面积为． （1）求点A到平面A1BC的距离； （2）设D为A1C的中点，AA1＝2AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值． 【分析】（1）可得三棱锥A1﹣ABC的体积为，由等体积法运算即可得解； （2）由垂直关系可得BC⊥平面ABB1A1，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解． 【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1， 则三棱锥A1﹣ABC的体积为， 设点A到平面A1BC的距离为d， 则， 即， 解得， 所以点A到平面A1BC的距离为． （2）过A作AE⊥A1B，垂足为E， 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC， 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC，可得AE⊥BC，BB1⊥BC， 又因为AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1， 所以BC，BA，BB1两两垂直， 设AA1＝2AB＝2a，则， 由△AA1B的面积可得， 即，解得a＝1， 即AA1＝2AB＝2，， 又因为△A1BC的面积为， 解得BC＝1， 以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面ABD的一个法向量， 则，则， 令x＝2，则y＝0，z＝﹣1，可得， 设平面BDC的一个法向量， 则，则， 令y＝2，则x＝0，z＝﹣1， 可得， 则， 设二面角A﹣BD﹣C为θ∈[0，π]，则， 可得， 所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为． 【点评】本题考查等体积法与向量法的应用，属于中档题． 18．（17分）央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气．高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战3次．每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分．若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束．小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； （2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； （3）小华直到第3次才挑战成功的概率． 【分析】（1）设Ai为小华答对第Ti题，其中i＝1，2，3，小华共答对2道即小华前2题答对且第3题答错，利用相互独立事件求解； （2）小华累计得分为正数，则可能3道题全答对，前2题答对且第3题答错，第1道答对第2道错或第1道错第3道对，由概率的加法公式和事件独立性的定义求解； （3）若小华挑战成功，则小华共作答了3道题，所以“小华挑战成功”是“小华恰好作答了2道题”的对立事件，小华作答2题为第1道错或第1道对第2道错，利用概率的加法公式和事件独立性的定义求解其概率，小华直到第3次才挑战成功即前2次失败，第3次成功，求解即可． 【解答】解：（1）设Ai为小华答对第Ti题，其中i＝1，2，3， 设挑战结束后，小华共答对2道题为事件A， 小华共答对2道即小华前2题答对且第3题答错， 由事件独立性的定义得：； （2）设第1次挑战结束时，小华累计得分为正数为事件B， 所以由概率的加法公式和事件独立性的定义得：； （3）设小华在1次挑战中成功为事件C， 若小华挑战成功，则小华共作答了3道题，且小华只可能答对2题或3道题， 所以“小华挑战成功”是“小华恰好作答了2道题”的对立事件， 小华作答2题的概率为：P2＝P（）＝P（）+P（）＝（1）， 小华在1次挑战中成功的概率， 设小华直到第3次才挑战成功为事件D，即前2次失败，第3次成功， 故． 【点评】本题主要考查了独立事件和互斥事件的概率公式，属于中档题． 19．（17分）已知椭圆，点B（﹣a，0），C（a，0），其中，D（x0，y0）（0＜x0＜a，y0＞0）是椭圆上的一点，直线DB与椭圆的另一个交点为E，直线DC与椭圆的另一个交点为F，椭圆在E，F两点处的切线l1与l2相交于点P（m，n），线段DP的中点为G，设直线DB，DC的斜率分别为k1，k2． （1）证明：直线EF的方程为； （2）求的取值范围（用a表示）； （3）若点D的坐标为（2，1），求． （附：若（x′，y′）是椭圆上一点，则椭圆在点（x′，y′）处的切线方程为.） 【分析】（1）设E（x1，y1），F（x2，y2），由题中结论求得切线l1，l2的方程，由l1与l2相交于点P（m，n），可得E，F均在直线上，即可得出直线EF的方程； （2）由条件求得，根据D（x0，y0）在椭圆上及0＜x0＜a确定范围即可； （3）联立l1，l2的方程，可得，分别联立直线DB，DC与椭圆的方程，利用韦达定理求得y1，y2，代入可求得xP＝﹣2，所以点G的横坐标，所以OG⊥BC，|GB|＝|GC|，即可求出答案． 【解答】解：（1）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）， 椭圆在E点处的切线l1的方程为， 在F点处的切线l2的方程为， 因为切线l1与l2相交于点P（m，n）， 所以，且， 说明E（x1，y1），F（x2，y2）均在直线上， 所以直线EF的方程为； （2）由B（﹣a，0），C（a，0），D（x0，y0）， 可得，，所以， 又D（x0，y0）（0＜x0＜a，y0＞0）在椭圆上， 则，得， 因此， 因为，所以，则， 所以， 即的取值范围是； （3）l1的方程为，l2的方程为， 联立，可得，即， 点D的坐标为（2，1），则， 直线DB的方程为：，即x＝（2+a）y﹣a， 直线DC的方程为，即x＝（2﹣a）y+a， 联立，得[（2+a）2+4]y2﹣2a（2+a）y+a2﹣8＝0， 由题意，此方程的两根为1，y1，则，即， 联立，得[（2﹣a）2+4]y2+2a（2﹣a）y+a2﹣8＝0， 由题意，此方程的两根为1，y2，则，即， 又x1＝（2+a）y1﹣a，x2＝（2﹣a）y2+a， 所以 ， 所以点G的横坐标，所以OG⊥BC， 又O为线段BC的中点，故|GB|＝|GC|，可得． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合与切线方程，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （测试内容：概率、空间向量、直线和圆、椭圆） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．椭圆的焦点坐标为（　　） A．（0，±2） B．（±2，0） C． D． 2．直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或1 3．已知圆C1：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝32与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣a）2＝128恰有3条公切线，则实数a的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．14或﹣10 D．10或﹣4 4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为p1；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为p2，则p1p2＝（　　） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 6．若直线l：kx﹣y+k＝0与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆的一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|，|F1F2|＝4．若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段CC1上，则△D1EP面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．直线l：x﹣y+1＝0与圆C：（x+a）2+y2＝2（﹣1≤a≤3）的公共点的个数可能为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E为棱CC1的中点，则（　　） A． B．直线A1E与BD所成的角为60° C．B1D1⊥平面ACC1A1 D．已知N为BB1上一点，则AN+NC1最小值为 11．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，下列说法正确的是（　　） A．若点T的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为 B．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是 C．若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 D．若点T的坐标为（0，b），椭圆上存在点P使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知椭圆，过右焦点的直线交C于A，B两点，则|AB|的最小值为 　 　 ． 13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 　 　 ． 14．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点（x，y）与点（a，b）之间的距离的几何问题．已知点M（x1，y1）在直线l1：y＝x+2上，点N（x2，y2）在直线l2：y＝x上，且MN⊥l1，结合上述观点，的最小值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△ABC中，已知点C（4，5），AC边上的高线所在的直线方程为x+y﹣11＝0，角A的平分线所在的直线方程为3x﹣y+3＝0． （1）求直线AC的方程； （2）求直线AB的方程． 16．（15分）已知圆C和直线l1：2x﹣y﹣4＝0，l2：x﹣y﹣2＝0，若圆C的圆心为（0，0），且圆C经过直线l1和l2的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点（1，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17．（15分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，△A1BC的面积为． （1）求点A到平面A1BC的距离； （2）设D为A1C的中点，AA1＝2AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值． 18．（17分）央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气．高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战3次．每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分．若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束．小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； （2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； （3）小华直到第3次才挑战成功的概率． 19．（17分）已知椭圆，点B（﹣a，0），C（a，0），其中，D（x0，y0）（0＜x0＜a，y0＞0）是椭圆上的一点，直线DB与椭圆的另一个交点为E，直线DC与椭圆的另一个交点为F，椭圆在E，F两点处的切线l1与l2相交于点P（m，n），线段DP的中点为G，设直线DB，DC的斜率分别为k1，k2． （1）证明：直线EF的方程为； （2）求的取值范围（用a表示）； （3）若点D的坐标为（2，1），求． （附：若（x′，y′）是椭圆上一点，则椭圆在点（x′，y′）处的切线方程为.） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $