精品解析：湖北十堰市八校教联体2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学试卷 考试时间：2026年11月3日下午15:00—17:00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2或1 D. 或1 4. 在长方体中，，，，向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 1或 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 当时，事件和事件独立 C. 当时，事件和事件独立 D. 当时，事件和事件互斥 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的内切球半径为 C. 的取值范围为 D. 若平面，则使直线与所成角为的点有个 11. 圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 相互独立事件，满足，，则________． 13. 直线与直线的夹角的余弦值为______． 14. 已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间中三点，，. （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积. 16. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 17. 如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. （1）求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； （2）求前4局中甲参与了3局的概率； （3）求第4局是甲、乙对打的概率. 19. 在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）当直线与圆相切时，求实数的值． （3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：2026年11月3日下午15:00—17:00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程，结合倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】由，得， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：D 2. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 3. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，即可求解. 【详解】由直线，显然， 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 因为直线在x轴和y轴上的截距相等，可得， 即，解得或. 故选：C. 4. 在长方体中，，，，向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 5. 若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 6. 已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，圆的圆心为，半径为2，结合是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式，从而可求得的值． 【详解】解：由题意得，圆的圆心为，半径为2， 由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形， 可知，， 所以， ∴圆心到直线的距离等于， 再利用点到直线的距离公式可得： 圆心到直线的距离， 解得：或，所以实数的值为1或. 故选：D． 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 当时，事件和事件独立 C. 当时，事件和事件独立 D. 当时，事件和事件互斥 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的公式判断求解. 【详解】对于A，当时，，而 ，故A错误； 对于B，当时，，因，两者不独立，故B错误； 对于C，当时，，， 而 ，即事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，当时，因为 ，所以事件与事件不互斥，故D错误． 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 10. 已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的内切球半径为 C. 的取值范围为 D. 若平面，则使直线与所成角为的点有个 【答案】ABC 【解析】 【详解】设正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，作于点， 底面边长为，，则，. 对于A，，A正确； 对于B，因，则三棱锥的侧面积为， 则表面积，设三棱锥的内切球半径为， 因三棱锥的体积为， 则由可得，B正确； 对于C，易知点为的中点，且， 所以 当重合时，． 下面求的最大值． 三棱锥表面上的任意点均在某个三角形面内，而三角形内一点到定点的距离不超过该三角形三个顶点到的距离中的最大值． 四个顶点到的距离分别为 所以，且最小值在重合时取得，最大值在重合时取得． 又当沿三棱锥表面上的折线连续移动时，的长度可以取遍内的所有数， 因此，从而，故C正确． 对于D，若平面且在三棱锥表面上，则位于三角形内或其边界上． 以为原点，建立空间直角坐标系，使轴平行于，轴沿方向． 则，设，， 由于三角形在轴方向上的投影长度为6，且投影关于原点对称，所以 设直线与所成角为，则 因此，不存在使直线与所成角为的点，更不是3个，故D错误． 11. 圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 相互独立事件，满足，，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 13. 直线与直线的夹角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别设、的倾斜角为、，再根据斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式与正切和余弦的关系求解即可. 【详解】设、的倾斜角分别为、，两直线夹角为， 则直线的斜率， 直线的斜率， 则， 则. 故答案为：. 14. 已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间中三点，，. （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是平行四边形得到，通过计算得解； （2）利用向量的数量积求出，结合向量的夹角的范围求出，利用三角形面积公式求出的面积． 【小问1详解】 设，因为是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． 【小问2详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 16. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径可列方程求解a，从而求得圆心与半径，即可写出圆的方程； （2）设圆心到直线的距离为，利用勾股定理用d表示出进而将整理为关于d的函数，再根据d的范围及二次函数的性质求出的取值范围. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为. 则点到直线的距离，由题意，， 所以，化简得，解得. 所以圆心为，半径， 所以圆的方程是. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则，即. 因为直线与圆交于两点，所以. 所以， 因为，则，所以. 所以的面积的取值范围为. 17. 如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【小问1详解】 取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. 【小问3详解】 设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 18. 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. （1）求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； （2）求前4局中甲参与了3局的概率； （3）求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【小问1详解】 若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. 【小问2详解】 分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. 【小问3详解】 第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 19. 在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）当直线与圆相切时，求实数的值． （3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）为点时，为定值 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【小问1详解】 设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； 【小问3详解】 直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $