专题08函数、认识一次函数 同步培优讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题08函数、认识一次函数同步培优讲义 ✺知识框架 一、变量与函数 1.识别变量、常量，理解函数核心：一个自变量只对应唯一的因变量 2.会求函数值；能根据式子、实际要求确定自变量取值范围 3.识别三种函数表达：表格、解析式、图象，会判断是否为函数 二、一次函数与正比例函数 1.熟记两种函数一般形式，理清二者从属关系 2.根据表达式判定是不是一次函数、正比例函数 3.用待定系数法，列方程求函数解析式 ✺学习目标 1.在具体情境中识别自变量与因变量，理解函数概念，能够判断两个变量之间是否存在函数关系。 2.能根据代数式形式确定自变量的取值范围，结合实际情境对自变量取值作出合理限制。 3.了解列表、解析式、图象三种函数表示方式，能识别表格、图象形式的函数。 4.理解一次函数与正比例函数的概念，掌握判定方法，明确正比例函数是特殊的一次函数。 5.会用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式。 ✺题型归纳 题型1.函数的概念 题型2.求自变量的取值范围 题型3.求自变量的值或函数值 题型4.函数的三种表示方法 题型5.函数解析式列式 题型6.函数图象识别 题型7.从函数图象获取信息 题型8.动点问题的函数图象 题型9.正比例函数的定义 题型10.识别一次函数 题型11.根据一次函数的定义求参数 题型12.求一次函数自变量或函数值 题型13.列一次函数解析式并求值 题型14.课堂小练 ✺知识清单 一、变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。 如果一个量随着另一个量的变化而变化，那么这个量叫作因变量，另一个量叫作自变量。 二、函数 1.在一个变化过程中有两个变量 x,y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 对于自变量在取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当自变量取该值时的函数值。 2.自变量的取值要满足对应的条件： 代数式本身有意义：整式中自变量可取全体实数；分式的分母不能为 0；二次根式中被开方数大于或等于 0； 在实际问题中，自变量的取值还应当符合实际意义。 3.函数有三种表示方式：列表法、解析式法、图象法。 列表法：用表格列出自变量与对应的函数值； 解析式法：用含有自变量的代数式表示函数； 图象法：把自变量和对应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就是这个函数的图象。 4.画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。图象上任意一点的坐标都满足函数解析式。 三、一次函数与正比例函数 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。 特别地，当 b=0时，一次函数变为y=kx（k为常数，k≠0），这时称y是x的正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 判定：解析式整理化简后，自变量最高次数为1，且(k≠0)；正比例函数除满足一次函数要求外，常数项为0。 四、待定系数法求函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法，叫做待定系数法。 基本步骤如下： 1.设：根据函数类型设解析式，一次函数设为y=kx+b，正比例函数设为y=kx； 2.代：将自变量与对应函数值代入解析式，得到方程或方程组； 3.解：求出待定系数； 4.写：将系数代回，写出完整解析式。 一次函数含有两个待定系数，需要两组对应值；正比例函数只有一个待定系数，一组对应值即可求解。 ✺题型精讲 题型1.函数的概念 1．下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．某顺风车司机每月的支出为6000元，每月的利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，自变量是________，因变量是________． 3．如图，对于某一天每一个确定的时刻，是否都能相应地确定一个温度？哪个变量是另一个变量的函数？ 题型2.求自变量的取值范围 1．下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 2．函数的定义域是___________． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 题型3.求自变量的值或函数值 1．已知函数，当时，函数y的值为（   ） A．15 B．9 C． D． 2．在中，如果，那么________． 3．已知，求下列各式的值： (1) (2) 题型4.函数的三种表示方法 1．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 2．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 3．在用表达式和图象这两种方式表达玩具车以的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式和如图所示的函数图象． (1)请从图象上任意找出5个点，并写出这5个点的坐标． (2)说明（1）中得到的5个点的坐标均可使表达式成立． (3)任意写出满足表达式的三个有序正数对，说明分别以这三个有序正数对为坐标的三个点都在函数图象上． 题型5.函数解析式列式 1．一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．中国高铁运营速度处于全球领先水平，设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系式为__________． 3．A、B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地．用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取值范围． 题型6.函数图象识别 1．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是__________．（填写序号） 3．已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 题型7.从函数图象获取信息 1．《乌鸦喝水》的故事（图1）告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．故事中瓶子的示意图如图2所示，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x（假设每颗石子的体积一样，且每颗石子都浸没在水中），水位高度为，图中最符合情境的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．下图显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时）． （1）图中同学每周用于阅读课外书的时间是7小时，则该同学每周用于看电视的时间为______小时； （2）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为名，则的值为______． 3．某人骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程（单位：）与骑行时间（单位：）的函数图象如图所示． (1)甲、乙两地相距多远？此人在路上停留了多久？ (2)此人在骑车去往乙地的过程中，停留前和停留后的速度分别是多少？ (3)计算此人从乙地返回时的骑车速度． 题型8.动点问题的函数图象 1．扎西同学利用周末时间锻炼身体，他周六从家出发，骑自行车匀速行驶15分钟后到达离家5千米的篮球馆打篮球，骑车匀速行驶25分钟回到家．下列图中折线能正确表示扎西离家的距离与时刻的关系的是（     ） A． B． C． D． 2．已知动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的三角形的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知．    （1）动点的速度是________； （2）的值为________． 3．某校八年级登山小组以的速度开始登山，走了一段时间后休息了一会儿．由于山路逐渐变陡，所以休息后就以的速度继续前进．一段时间后到达山顶，吃午饭并原地活动．午休后，又以的速度下山，中间再也没有休息过，直到返回山脚．此次登山活动，整个过程中所走路程与所用时间之间关系的图象大致是下列中的哪一个？ 题型9.正比例函数的定义 1．下列函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 3．已知y与x成正比例，且当时，，求y与x之间的函数关系式． 题型10.识别一次函数 1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A．（是常数） B．（，是常数） C．（是常数） D． 2．在函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是____．（填序号） 3．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 题型11.根据一次函数的定义求参数 1．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若函数是一次函数，则m的值为___________． 3．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 题型12.求一次函数自变量或函数值 1．下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为“和谐点”，请写出函数图象上和谐点的坐标：______． 3．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 题型13.列一次函数解析式并求值 1．阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 3．一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． ✺课堂小练 一、单选题 1．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．变量随变化的关系式如图所示，当的大小从变化到时，的变化情况是（     ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 3．下列关系中，y不是x的函数是（ ） A． B．C． D． 4．如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 二、填空题 5．如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 6．若与成正比例，当时，，则y与x的函数关系式为________． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 三、解答题 8．已知一次函数是正比例函数，点在该函数的图象上，求的值． 9．如图表示甲、乙两辆车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题： (1)甲、乙车行驶的路程与时间都成________比例关系；（填正、反） (2)甲乙两车出发小时后，甲车比乙车多行驶________千米； (3)、两地在一条笔直的公路旁，如果甲、乙两车从、两地同时出发，同向而行，经过小时后两车相距千米，、两地相距多少千米？ 10．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08函数、认识一次函数同步培优讲义 ✺知识框架 一、变量与函数 1.识别变量、常量，理解函数核心：一个自变量只对应唯一的因变量 2.会求函数值；能根据式子、实际要求确定自变量取值范围 3.识别三种函数表达：表格、解析式、图象，会判断是否为函数 二、一次函数与正比例函数 1.熟记两种函数一般形式，理清二者从属关系 2.根据表达式判定是不是一次函数、正比例函数 3.用待定系数法，列方程求函数解析式 ✺学习目标 1.在具体情境中识别自变量与因变量，理解函数概念，能够判断两个变量之间是否存在函数关系。 2.能根据代数式形式确定自变量的取值范围，结合实际情境对自变量取值作出合理限制。 3.了解列表、解析式、图象三种函数表示方式，能识别表格、图象形式的函数。 4.理解一次函数与正比例函数的概念，掌握判定方法，明确正比例函数是特殊的一次函数。 5.会用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式。 ✺题型归纳 题型1.函数的概念 题型2.求自变量的取值范围 题型3.求自变量的值或函数值 题型4.函数的三种表示方法 题型5.函数解析式列式 题型6.函数图象识别 题型7.从函数图象获取信息 题型8.动点问题的函数图象 题型9.正比例函数的定义 题型10.识别一次函数 题型11.根据一次函数的定义求参数 题型12.求一次函数自变量或函数值 题型13.列一次函数解析式并求值 题型14.课堂小练 ✺知识清单 一、变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。 如果一个量随着另一个量的变化而变化，那么这个量叫作因变量，另一个量叫作自变量。 二、函数 1.在一个变化过程中有两个变量 x,y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 对于自变量在取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当自变量取该值时的函数值。 2.自变量的取值要满足对应的条件： 代数式本身有意义：整式中自变量可取全体实数；分式的分母不能为 0；二次根式中被开方数大于或等于 0； 在实际问题中，自变量的取值还应当符合实际意义。 3.函数有三种表示方式：列表法、解析式法、图象法。 列表法：用表格列出自变量与对应的函数值； 解析式法：用含有自变量的代数式表示函数； 图象法：把自变量和对应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就是这个函数的图象。 4.画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。图象上任意一点的坐标都满足函数解析式。 三、一次函数与正比例函数 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。 特别地，当 b=0时，一次函数变为y=kx（k为常数，k≠0），这时称y是x的正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 判定：解析式整理化简后，自变量最高次数为1，且(k≠0)；正比例函数除满足一次函数要求外，常数项为0。 四、待定系数法求函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法，叫做待定系数法。 基本步骤如下： 1.设：根据函数类型设解析式，一次函数设为y=kx+b，正比例函数设为y=kx； 2.代：将自变量与对应函数值代入解析式，得到方程或方程组； 3.解：求出待定系数； 4.写：将系数代回，写出完整解析式。 一次函数含有两个待定系数，需要两组对应值；正比例函数只有一个待定系数，一组对应值即可求解。 ✺题型精讲 题型1.函数的概念 1．下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 【详解】解：A项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意； B项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意； C项：当x取正数时，y会有两个值与之对应，则y不是x的函数，符合题意； D项：对于任意一个x，代入后都能得到唯一的y值，符合函数的定义，不符合题意． 2．某顺风车司机每月的支出为6000元，每月的利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，自变量是________，因变量是________． 【答案】 乘车人数 每月的利润 【分析】根据自变量和因变量的定义，判断变化过程中两个量的变化关系即可． 【详解】解：∵在这个变化过程中，每月的利润随着乘车人数的变化而变化， ∴乘车人数是主动发生变化的量，每月利润是随着乘车人数变化而变化的量， 因此可得，自变量是乘车人数，因变量是每月的利润． 3．如图，对于某一天每一个确定的时刻，是否都能相应地确定一个温度？哪个变量是另一个变量的函数？ 【答案】对于每一个确定的时刻，都能相应地确定一个温度，因此温度是时间的函数 【分析】本题考查了函数的概念，对于函数概念的理解要注意：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应． 依据函数的概念进行判断，在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量． 【详解】解：因为对于的每一个取值，有唯一的确定的值， 即对于每一个确定的时刻，都能相应地确定一个温度， 因此温度是时间的函数． 题型2.求自变量的取值范围 1．下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，初中数学中，整式函数的自变量取值范围为全体实数，分式的分母不能为0，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A、是正比例函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项B、是一次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项D、是二次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． 选项C、是分式，∵分式的分母不能为0，∴，自变量的取值范围是，不是全体实数． 2．函数的定义域是___________． 【答案】 【分析】本题考查函数的定义域及其求法，由分式的分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：函数的定义域是，即， 故答案为：． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 题型3.求自变量的值或函数值 1．已知函数，当时，函数y的值为（   ） A．15 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数 2．在中，如果，那么________． 【答案】0.5 【分析】将代入给定的一次函数解析式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入，得． 3．已知，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查函数值的代入计算和函数自变量与函数值的对应关系这两个知识点． （）对应的自变量值代入函数表达式中计算即可； （）对应的自变量值代入函数表达式中计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 题型4.函数的三种表示方法 1．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 2．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______． 【答案】 【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系． 【详解】解：根据表格数据可知： 因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法． 3．在用表达式和图象这两种方式表达玩具车以的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式和如图所示的函数图象． (1)请从图象上任意找出5个点，并写出这5个点的坐标． (2)说明（1）中得到的5个点的坐标均可使表达式成立． (3)任意写出满足表达式的三个有序正数对，说明分别以这三个有序正数对为坐标的三个点都在函数图象上． 【答案】(1)如图所示， 五个点的坐标为、、、、 (2)当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立； 当时，，故点使得表达式成立． (3)有序数对：、、， 将点、、描在图中， 如下图： 由图可知三个点在函数图象上．三个点在函数图象上． 【分析】（1）先在图象上描出五个点，然后写出来即可，本题答案不唯一； （2）将（1）中各个点的横坐标代入函数解析式，即可解答本题； （3）本题答案不唯一，只要写出三个正数对即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型5.函数解析式列式 1．一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求解． 【详解】∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的水量为升， 又∵剩余水量总水量流出水量，总水量为升， ∴． 2．中国高铁运营速度处于全球领先水平，设兰州到酒泉的高铁列车的平均时速为，其行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】根据路程等于速度乘以时间，即可解答． 【详解】解：由题意得，． 3．A、B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地．用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取值范围． 【答案】常量：A、B两地的距离，李明骑行的速度； 变量：骑行时间，李明与B地的距离； 自变量：； 函数：是的函数； 函数解析式：； 自变量的取值范围：． 【分析】先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】略 题型6.函数图象识别 1．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图像可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是__________．（填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①往水池中匀速注水，水池中水的体积随时间均匀增大，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，水池中水的体积随时间均匀减小，直至放完，可以用图中的图象表示； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，设绳子的长度为a，则矩形的面积与一边长的关系式为：，所以此函数图象不能表示变量与变量之间的函数关系； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园时，小明离家的路程与行走时间均匀增大，从香苑公园匀速原路返回时，小明离家的路程与行走时间均匀减小，所以此函数图象能表示变量与变量之间的函数关系； 综上分析可知，在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系． 3．已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 【答案】(1)关于的函数解析式为，的取值范围为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据割补法即可表示三角形的面积； （2）根据（1）中所得函数即可画出图象． 【详解】（1）点、在第一象限，且，． ，， 所以． ，，设的面积为 答：关于的函数解析式为，的取值范围为． （2）．． ． 如图：即为函数的图象． 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是准确求出函数解析式． 题型7.从函数图象获取信息 1．《乌鸦喝水》的故事（图1）告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．故事中瓶子的示意图如图2所示，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x（假设每颗石子的体积一样，且每颗石子都浸没在水中），水位高度为，图中最符合情境的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出图象起点纵坐标为，然后根据瓶子是由上下两段圆柱组成分析判断即可． 【详解】解：当放入石子个数，还未投入石子时，水位高度， ∴图象起点纵坐标为； ∵每颗石子体积相同，排开水的体积固定，瓶子分上下两段，每段都是圆柱体， ∴水位在每段都是匀速上升， ∵下段粗，上段细， ∴后面水位高度上升的更快，即图象后段更陡， ∴B选项符合题意． 2．下图显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时）． （1）图中同学每周用于阅读课外书的时间是7小时，则该同学每周用于看电视的时间为______小时； （2）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为名，则的值为______． 【答案】 2 【详解】解：（1）同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，图中对应的每周用于看电视的时间为2小时； （2）由题意得，，，则． 3．某人骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程（单位：）与骑行时间（单位：）的函数图象如图所示． (1)甲、乙两地相距多远？此人在路上停留了多久？ (2)此人在骑车去往乙地的过程中，停留前和停留后的速度分别是多少？ (3)计算此人从乙地返回时的骑车速度． 【答案】(1)甲、乙两地相距；此人在路上停留了 (2)停留前的速度为，停留后的速度为 (3)此人从乙地返回时的骑车速度为 【分析】（1）观察所给图形，可得答案； （2）结合图形，根据时间、路程、速度关系求解； （3）结合图形，根据时间、路程、速度关系求解． 【详解】（1）解：甲、乙两地相距；此人在路上停留了； （2）解：停留前的速度：； 停留后的速度：， 答：停留前的速度为，停留后的速度为； （3）解：， 答：此人从乙地返回时的骑车速度为． 题型8.动点问题的函数图象 1．扎西同学利用周末时间锻炼身体，他周六从家出发，骑自行车匀速行驶15分钟后到达离家5千米的篮球馆打篮球，骑车匀速行驶25分钟回到家．下列图中折线能正确表示扎西离家的距离与时刻的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“路程相同时，时间越长速度越慢，图象越平缓”这一规律判定去程和返程的图象特征即可解答． 【详解】解：∵5千米的路程，去程用时15分钟，返程用时25分钟， ∴去程的速度快，线段较陡，返程的速度慢，线段较平缓， A、去程线段较陡，返程线段较平缓，符合题意； B、去程线段较平缓，返程线段较陡，不符合题意； C、去程和返程线段平缓度相同，即用时相同，不符合题意； D、最后一段图象是上升的，表示离家越来越远，不符合题意． 2．已知动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的三角形的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知．    （1）动点的速度是________； （2）的值为________． 【答案】 2 13 【分析】从函数图象中获取信息，分点分别在上运动时，进行讨论即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C向点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 时，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴． 3．某校八年级登山小组以的速度开始登山，走了一段时间后休息了一会儿．由于山路逐渐变陡，所以休息后就以的速度继续前进．一段时间后到达山顶，吃午饭并原地活动．午休后，又以的速度下山，中间再也没有休息过，直到返回山脚．此次登山活动，整个过程中所走路程与所用时间之间关系的图象大致是下列中的哪一个？ 【答案】（2） 【分析】根据题干所给信息分析即可． 【详解】解：①以速度登山：路程增加， ②休息一会儿：时间增加，路程不变，图像水平线段， ③以速度继续登山，：路程继续增加，倾斜程度比第一段更小（速度变慢）， ④到达山顶午休原地活动：时间增加，路程不变，图像水平线段， ⑤下山，速度，：继续走路，路程继续增加，倾斜程度最大（下山速度最快）． 综上，只有图（2）符合要求． 题型9.正比例函数的定义 1．下列函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数形式为（为非零常数）， ∴含常数项，含项，中的次数为，均不符合要求； 即，符合要求. 2．已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的，的值求解比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设该正比例函数表达式为 （）， 将 ， 代入得 ， 解得 ， 因此这个函数的表达式为． 3．已知y与x成正比例，且当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．根据y与x成正比例，设函数关系式为，将，代入，可得，即可得出答案． 【详解】解：设函数关系式为，将，代入，可得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 题型10.识别一次函数 1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A．（是常数） B．（，是常数） C．（是常数） D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：A选项不含的一次项，不是一次函数； B选项未限定，不一定是一次函数； C选项不符合一次函数形式； D选项是一次函数． 2．在函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是____．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】此题考查的是一次函数的判断． 根据一次函数的定义，形如的函数是一次函数，逐个判断给定函数是否符合该形式． 【详解】解：函数①，符合一次函数定义；函数②，符合一次函数定义；函数③是反比例函数，不符合一次函数定义；函数④是二次函数，不符合一次函数定义；函数⑤，可化为，符合一次函数定义． 故答案为①②⑤． 3．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 【答案】(1)，不是一次函数，不是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 (3)，是一次函数，也是正比例函数 【分析】（1）根据题意列出关系式，再判断即可； （2）根据题意列出关系式，再判断即可； （3）根据题意列出关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：由，可得，不是一次函数，不是正比例函数； （2）由，可得，是一次函数，不是正比例函数； （3），是一次函数，也是正比例函数． 【点睛】本题考查的是函数关系式的确定与判定属于哪一种函数的问题，解决本题的关键是熟记函数的定义，掌握函数解析式的含义，以及一些常见的公式． 题型11.根据一次函数的定义求参数 1．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，解得， ， ， ． 2．若函数是一次函数，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，需同时满足自变量的次数为1、一次项系数不为0两个要求，通过解方程与不等式筛选符合条件的值即可． 【详解】解：∵该函数是一次函数， ∴ 即或， ∵， ∴， ∴． 3．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的定义，根据“关联数”的定义得，再结合一次函数的定义，得出且，即可解得． 【详解】解：根据题意，得， ∵是一次函数， ∴且， ∴． 题型12.求一次函数自变量或函数值 1．下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：代入，得，A错误． 代入，得，B正确． 代入，得，C错误． 代入，得，D错误． 2．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为“和谐点”，请写出函数图象上和谐点的坐标：______． 【答案】 【分析】根据和谐点定义，横纵坐标相等，即，代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵和谐点的横坐标和纵坐标相等， ∴令， 将代入，得， 移项整理得，解得， ∴， ∴函数图象上和谐点的坐标为． 3．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，将把，代入求出即可； （2）把点代入即可求解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例函数关系， ∴设， 把，代入得，， 解得， ∴； （2）解：把代入，得 解得． 题型13.列一次函数解析式并求值 1．阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费． 【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元， ∴总金额与购买台数之间的关系式为． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 【答案】 【分析】先把点代入直线求出，再点代入直线求解即可． 【详解】解：将代入直线得：， ∴， 将代入直线得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的特征，准确计算是解题的关键． 3．一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）把代入（1）中表达式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为， ∴． （2）解：∵，， ∴． ✺课堂小练 一、单选题 1．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 2．变量随变化的关系式如图所示，当的大小从变化到时，的变化情况是（     ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【答案】D 【分析】分别求出，时的值即可得到的变化情况． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当的大小从变化到时，增加了． 3．下列关系中，y不是x的函数是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：A、作垂直于x 轴的直线，与图象有两个交点，即对于同一个 x值，有两个y值与之对应 ，不符合定义，不是的函数，故选项符合题意； B、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，是的函数，该选项不合题意； C、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，是的函数，该选项不合题意； D、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，是的函数，该选项不合题意． 4．如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 二、填空题 5．如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，将代入，可得到关于的一元一次不等式组，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 ， 将代入，得 ， 解不等式组，得 ． 6．若与成正比例，当时，，则y与x的函数关系式为________． 【答案】 【分析】根据成正比例的条件设关系式，再把数值代入求解即可． 【详解】解：因为与成正比例， 故设， 将代入得 解得， 故y与x的函数关系式为． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 三、解答题 8．已知一次函数是正比例函数，点在该函数的图象上，求的值． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义确定的值，从而得到正比例函数的关系式，把点的坐标代入即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， ， 一次函数解析式为， 点在该一次函数的图象上， ． 9．如图表示甲、乙两辆车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题： (1)甲、乙车行驶的路程与时间都成________比例关系；（填正、反） (2)甲乙两车出发小时后，甲车比乙车多行驶________千米； (3)、两地在一条笔直的公路旁，如果甲、乙两车从、两地同时出发，同向而行，经过小时后两车相距千米，、两地相距多少千米？ 【答案】(1)正 (2) (3)千米或千米 【分析】（1）由函数图象可知，甲、乙两车行驶的路程与时间的函数图象都是过原点的直线，甲、乙车行驶的路程与时间都成正比例关系； （2）由函数图象可知，甲、乙两车出发小时后，甲车行驶的路程是千米，乙车行驶的路程是千米，所以甲车比乙车多行驶千米； （3）由函数图象可知：（千米/小时），（千米/小时），分两种情况求出、两地之间的距离． 【详解】（1）解：由函数图象可知，甲、乙两车行驶的路程与时间的函数图象都是过原点的直线， 甲、乙车行驶的路程与时间都成正比例关系； （2）解：由函数图象可知，甲、乙两车出发小时后，甲车行驶的路程是千米，乙车行驶的路程是千米， 甲车比乙车多行驶千米； （3）解：由函数图象可知：（千米/小时），（千米/小时）， 若甲车追上乙车前，两车相遇前相距千米， 可得：（千米）； 若甲车追上乙车后，两车相遇后相距千米， 可得：（千米）； 答：经过小时后两车相距千米，、两地相距千米或千米． 10．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 【答案】函数关系式为，山高为 【分析】先求出每升高，气温下降，再根据山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温求出函数关系式，将代入函数关系式计算即可． 【详解】解：已知海拔每增加，气温下降， 因此每升高，气温下降． 山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温， 因此函数关系式为：， 将山顶温度代入函数关系式得：， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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