专题08 一次函数的图象 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题08 一次函数的图象 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.作图基础：掌握一次函数、正比例函数的描点法作图步骤与规范 2.图象特征：掌握两类函数图象的基本形态、定点特征与位置规律 3.图象性质：理解参数k、b的几何意义，掌握函数图象的增减性变化规律 4.图象平移：掌握一次函数上下平移规律，理解平移前后图象与解析式的变化关系 ✅本节核心逻辑为式图互化，核心重点是掌握k、b对图象的影响，熟练掌握作图、判性、平移三类基础技能。 ✺学习目标 1.作图能力：掌握描点法作图步骤，能规范绘制正比例函数与一次函数的图象。 2.图象认知：明晰正比例函数、一次函数的图象特征与定点规律，区分两类函数的图象异同。 3.性质掌握：理解k、b的几何意义，能根据参数判断函数增减性与图象位置特征。 4.平移应用：熟练掌握一次函数上下平移规律，能判断平移前后解析式与图象的变化。 5.思维提升：建立数形结合思维，实现解析式与图象的双向转化，提升函数直观分析能力。 ✺题型归纳 题型1.正比例函数的图象 题型2.正比例函数的性质 题型3.判断一次函数的图象 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型7.用描点法画函数图象 题型8.画一次函数图象 题型9.一次函数图象平移问题 题型10.一次函数图象与对称问题 题型11.判断一次函数的增减性 题型12.根据一次函数增减性求参数 题型13.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型14.比较一次函数值的大小 题型15.一次函数的规律探究问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、函数图象基础与作图方法 1.函数图象定义：在平面直角坐标系中，以函数的自变量x为横坐标、对应函数值y为纵坐标，所有对应点组成的图形，即为该函数的图象。 2.描点法画函数图象 ▲在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x,y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点。 知识点二、正比例函数图象与核心性质 1.图象特征：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过坐标原点(0,0)的直线。 2.参数k的核心作用（决定图象位置与增减性） ① 当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图象自左向右上升； ② 当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图象自左向右下降。 知识点三、一次函数图象与核心性质 1.图象特征：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线。b≠0时图象不经过原点，b=0时为正比例函数、图象过原点。 2.核心交点意义 ① 纵截距点(0,b)：由常数项b决定，控制直线在y轴的上下位置； ② 横截距点：图象与x轴的交点，纵坐标为0，是区分函数正负取值的分界点，可将y=0代入解析式求解，无需死记公式，适配新课预习要求。 3. 增减性规律：函数增减性仅由系数k的正负决定，与b的取值无关。 ①k>0，y随x增大而增大，图象单调递增； ②k<0，y随x增大而减小，图象单调递减。 4.图象象限分布规律：一次函数图象经过的象限，由k、b的正负共同决定，二者缺一不可，完整规律如下： ①k>0，b>0：图象经过一、二、三象限； ② k>0，b<0：图象经过一、三、四象限； ③k<0，b>0：图象经过一、二、四象限； ④k<0，b<0：图象经过二、三、四象限。 知识点四、一次函数图象平移规律 1.平移核心特征：直线上下平移时，比例系数k保持不变，因此平移前后两条直线互相平行。 2.竖直平移规则：本节仅研究教材规定的竖直上下平移，平移变化仅对应解析式中常数项b的改变，具体规则如下： 正比例函数y=kx可通过竖直上下平移，得到一般一次函数y=kx+b，具体平移规则如下： ①b>0，图象向上平移b个单位； ②b<0，图象向下平移|b|个单位。 平移口诀：上加下减、k值不变、直线平行。 知识点五、易错点提醒 1.正比例函数图象一定过原点，一般一次函数（b≠0）图象不过原点。 2.函数增减性只由k的正负决定，b仅改变图象上下位置，不影响增减趋势。 3.直线上下平移只改变常数项b，k值恒定，平移前后直线互相平行。 4.两点作图优先选取整数坐标点，保证图象绘制规范、位置准确。 5.直线倾斜程度由|k|唯一决定：|k|越大，直线倾斜程度越陡，函数增减变化速率越快；|k|越小，直线越平缓，函数变化速率越慢。 6.一次函数象限分布由k、b共同决定，缺一不可，不可仅凭k值判断图象象限。 ✺题型精讲 题型1.正比例函数的图象 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 2．若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 3．A、B两地间的路程为，一辆汽车从A地出发以的速度匀速驶向B地． (1)写出行驶路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)行驶时离B地还有多少路程？ 题型2.正比例函数的性质 1．、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．若点在正比例函数的图像上，则______． 3．已知y与x成正比例关系，且时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)时，求x的值． 题型3.判断一次函数的图象 1．函数的图象大致位置应是下图中的（     ） A．B． C． D． 2．已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 3．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 3．已知y关于x的函数y＝（1﹣3k）x＋2k﹣2，试回答： （1）k为何值时，图象过原点？ （2）当k＝0时，写出该函数图象经过的象限． 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 1．如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 2．当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 3．已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 3．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ 题型7.用描点法画函数图象 1．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 0 0 6 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于原点对称； ③当时，y随x的增大而增大； ④点、是函数图象的两点，若，则； ⑤若关于x的方程有三个不等实数根，则t的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 3．【发现问题】设定点是轴上表示的点，点为轴上的一个动点，，两点的距离随着点的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述． 【提出问题】设动点到点的距离为，探究与自变量之间的函数关系并研究其图象和性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为_________； (2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 0 … (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①________________；②________________； (4)此函数图象与直线的交点坐标是________________． 题型8.画一次函数图象 1．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 2．写一个图象经过的函数表达式：________． 3．求下列直线与x轴和y轴的交点，并在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象： (1)； (2)． 题型9.一次函数图象平移问题 1．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 3．将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值． 题型10.一次函数图象与对称问题 1．一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 3．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 题型11.判断一次函数的增减性 1．如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 2．已知直线经过两点和，则________．（填“”、“”或“”） 3．请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 题型12.根据一次函数增减性求参数 1．一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，那么k的值为____________． 3．已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 题型13.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 2．已知函数，当时，函数值y的取值范围为_______． 3．已知一次函数． (1)若该函数值y随自变量x的增大而减小，求a的取值范围； (2)若该函数图像经过第一、第三象限，求a的取值范围． 题型14.比较一次函数值的大小 1．若点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．点，在直线上，则，的大小关系是________． 3．已知一次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． (3)当时，求y的取值范围． 题型15.一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A．B．C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 3．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） ✺巩固测试 一、单选题 1．将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．当时，y大于4 4．在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．已知一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象经过第一、三、四象限 B．随增大而减小 C．图象与轴交于点 D．点在这个函数图象上 二、填空题 6．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的范围是__________． 7．在平面直角坐标系中，点，在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为____________．（选填“”“”或“”） 8．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 9．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 10．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有______；（2）y随x的增大而减小的有______；（3）图象互相平行的有______；（4）与x轴交于正半轴的有______；（5）与y轴交于正半轴的有______． 三、解答题 11．已知一次函数， (1)m为何值时，y随x的增大而减小？ (2)m，n为何值时，函数图像与y轴交点在x轴的上方？ 12．已知关于的函数． (1)当为何值时，函数为正比例函数？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当为何值时，函数的图像经过点？ 13．已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 14．快、慢两车分别从相距480千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快车距出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)快车的速度为________千米/时；慢车的速度为________千米/时． (2)在图中画出慢车距出发地路程y（千米）与出发时间x（小时）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围） (3)当快车到达乙地时，直接写出慢车距甲地的路程是多少千米？ 15．已知函数，    (1)画出的图象，图像分别与，轴交于，两点； (2)若为坐标原点，求的面积； (3)当，的取值范围是_________； (4)在满足条件______时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一次函数的图象 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.作图基础：掌握一次函数、正比例函数的描点法作图步骤与规范 2.图象特征：掌握两类函数图象的基本形态、定点特征与位置规律 3.图象性质：理解参数k、b的几何意义，掌握函数图象的增减性变化规律 4.图象平移：掌握一次函数上下平移规律，理解平移前后图象与解析式的变化关系 ✅本节核心逻辑为式图互化，核心重点是掌握k、b对图象的影响，熟练掌握作图、判性、平移三类基础技能。 ✺学习目标 1.作图能力：掌握描点法作图步骤，能规范绘制正比例函数与一次函数的图象。 2.图象认知：明晰正比例函数、一次函数的图象特征与定点规律，区分两类函数的图象异同。 3.性质掌握：理解k、b的几何意义，能根据参数判断函数增减性与图象位置特征。 4.平移应用：熟练掌握一次函数上下平移规律，能判断平移前后解析式与图象的变化。 5.思维提升：建立数形结合思维，实现解析式与图象的双向转化，提升函数直观分析能力。 ✺题型归纳 题型1.正比例函数的图象 题型2.正比例函数的性质 题型3.判断一次函数的图象 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型7.用描点法画函数图象 题型8.画一次函数图象 题型9.一次函数图象平移问题 题型10.一次函数图象与对称问题 题型11.判断一次函数的增减性 题型12.根据一次函数增减性求参数 题型13.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型14.比较一次函数值的大小 题型15.一次函数的规律探究问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、函数图象基础与作图方法 1.函数图象定义：在平面直角坐标系中，以函数的自变量x为横坐标、对应函数值y为纵坐标，所有对应点组成的图形，即为该函数的图象。 2.描点法画函数图象 ▲在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x,y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点。 知识点二、正比例函数图象与核心性质 1.图象特征：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过坐标原点(0,0)的直线。 2.参数k的核心作用（决定图象位置与增减性） ① 当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图象自左向右上升； ② 当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图象自左向右下降。 知识点三、一次函数图象与核心性质 1.图象特征：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线。b≠0时图象不经过原点，b=0时为正比例函数、图象过原点。 2.核心交点意义 ① 纵截距点(0,b)：由常数项b决定，控制直线在y轴的上下位置； ② 横截距点：图象与x轴的交点，纵坐标为0，是区分函数正负取值的分界点，可将y=0代入解析式求解，无需死记公式，适配新课预习要求。 3. 增减性规律：函数增减性仅由系数k的正负决定，与b的取值无关。 ①k>0，y随x增大而增大，图象单调递增； ②k<0，y随x增大而减小，图象单调递减。 4.图象象限分布规律：一次函数图象经过的象限，由k、b的正负共同决定，二者缺一不可，完整规律如下： ①k>0，b>0：图象经过一、二、三象限； ② k>0，b<0：图象经过一、三、四象限； ③k<0，b>0：图象经过一、二、四象限； ④k<0，b<0：图象经过二、三、四象限。 知识点四、一次函数图象平移规律 1.平移核心特征：直线上下平移时，比例系数k保持不变，因此平移前后两条直线互相平行。 2.竖直平移规则：本节仅研究教材规定的竖直上下平移，平移变化仅对应解析式中常数项b的改变，具体规则如下： 正比例函数y=kx可通过竖直上下平移，得到一般一次函数y=kx+b，具体平移规则如下： ①b>0，图象向上平移b个单位； ②b<0，图象向下平移|b|个单位。 平移口诀：上加下减、k值不变、直线平行。 知识点六、易错点提醒 1.正比例函数图象一定过原点，一般一次函数（b≠0）图象不过原点。 2.函数增减性只由k的正负决定，b仅改变图象上下位置，不影响增减趋势。 3.直线上下平移只改变常数项b，k值恒定，平移前后直线互相平行。 4.两点作图优先选取整数坐标点，保证图象绘制规范、位置准确。 5.直线倾斜程度由|k|唯一决定：|k|越大，直线倾斜程度越陡，函数增减变化速率越快；|k|越小，直线越平缓，函数变化速率越慢。 6.一次函数象限分布由k、b共同决定，缺一不可，不可仅凭k值判断图象象限。 ✺题型精讲 题型1.正比例函数的图象 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴该函数图象经过第二、四象限． 2．若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，得到，推导得，结合可得关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：正比例函数的图象上有一点， ， ． ， ∴， ， 解得． 3．A、B两地间的路程为，一辆汽车从A地出发以的速度匀速驶向B地． (1)写出行驶路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)行驶时离B地还有多少路程？ 【答案】(1)，自变量t的取值范围是： (2) 由（1）得：s与t之间是正比例函数关系，且过点， 画出这个函数的图象，如图所示： (3) 【分析】（1）利用速度时间路程，得出等式即可，进而求出自变量取值范围； （2）利用正比例函数图象画法得出答案． （3）根据离B地的距离求得即可． 【详解】（1）解：∵A、B两地间的路程为，某汽车行驶的速度为， ∴自变量t的取值范围是：，即， ∴s与t之间的函数关系式为：，自变量t的取值范围是：； （2）略 （3）解：行驶时离B地的距离为． 题型2.正比例函数的性质 1．、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得该函数的增减性，再根据增减性可得对应函数值的大小． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵、是正比例函数图像上的两点，且， ∴． 2．若点在正比例函数的图像上，则______． 【答案】1 【分析】将点的坐标代入正比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上， ∴将，代入函数解析式可得， 等式两边同时除以，可得． 3．已知y与x成正比例关系，且时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时x的值即可． 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2） 解：在中，当时，，解得． 题型3.判断一次函数的图象 1．函数的图象大致位置应是下图中的（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求解出函数与轴和轴的交点，判断选项即可． 【详解】解：函数中， 令，解得，与轴的交点坐标为，即与轴的正半轴相交． 令，解得，与轴的交点坐标为，即与轴的正半轴相交． 根据选项可知，D选项的图象满足题意． 2．已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了恒过定点的直线，对直线解析式进行参数分离是解题的关键．将直线整理为，代入可得，即可求出定点坐标． 【详解】解：， 当，即时，， 直线恒过定点， 定点的坐标是． 故答案为：． 3．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得，∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：不在． 理由如下：∵时，， ∴点不在函数的图象上． 题型4.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数、的符号判断图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴，． ∵， ∴函数图象经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象与轴负半轴相交， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 2．在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 【答案】 四 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定已知直线经过的象限，结合交点在直线上，即可得到结论． 【详解】解：对于直线，由一次函数图象与系数的关系可知，，， 因此直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 因为直线与的交点一定在直线上，所以交点不可能在第四象限． 3．已知y关于x的函数y＝（1﹣3k）x＋2k﹣2，试回答： （1）k为何值时，图象过原点？ （2）当k＝0时，写出该函数图象经过的象限． 【答案】（1）1；（2）第一、三、四象限 【分析】（1）令，代入解出即可得出答案； （2）令，求出一次函数表达式，根据一次函数的性质判断图像经过的象限． 【详解】（1）∵经过原点（0，0）， ∴， 解得：， 即当时，图象过原点； （2）当时，关于的函数是， ，， 函数的图象经过第一、三、四象限． 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数相关性质是解题的关键． 题型5.已知函数经过的象限求参数范围 1．如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象得到，，进而可判断一次函数的图象． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，故D选项符合题意． 2．当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】直线不经过第一象限，说明一次项系数小于等于0，常数项小于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， 解得． 3．已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，即可解答； （2）根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：依题意可得：， 解得，， ． （2）解：依题意可得：， ， 解得，． 题型6.一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴上的点纵坐标为，据此求解一次函数图象与轴交点的横坐标即可． 【详解】解：令，得， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 2．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 【答案】 0 【分析】直接根据图象即可得出结果. 【详解】解：由图象可知，直线l过点， 又点在直线l上， ∴. 3．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ 【答案】(1)A，B (2) 【分析】（）分别把和代入函数解析式解答即可求解； （）由得 ，再解不等式组即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴点A的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴， 即， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴当时，函数值满足． 题型7.用描点法画函数图象 1．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 【详解】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 0 0 6 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于原点对称； ③当时，y随x的增大而增大； ④点、是函数图象的两点，若，则； ⑤若关于x的方程有三个不等实数根，则t的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】② 【分析】把代入计算可判断①，由表格数据可判断②，根据函数图象可判断③，把和代入，再根据得出关于m的取值范围即可判断④，结合表格和数据结合函数图象即可判断⑤． 【详解】解：把代入得，故点不在该函数图象上，①错误． 根据表格可知，当时，，当x互为相反数时，y也互为相反数，函数大致图象如下： 即该函数图象关于原点对称，故②正确； 根据函数图象可知，当时，y先随x的增大而减小，然后y又随着x的增大而增大；故③错误， 当时，则， 当时，则， 若，即， 展开整理得：， 当时，，解得，不成立， 当时，，恒成立， 当时，，解得， ，即，故④错误， 方程有三个不等实数根，等于函数和直线有3个交点， 结合函数性质和表格， 当时，， t的取值可以比小，不是，故⑤错误． 3．【发现问题】设定点是轴上表示的点，点为轴上的一个动点，，两点的距离随着点的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述． 【提出问题】设动点到点的距离为，探究与自变量之间的函数关系并研究其图象和性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为_________； (2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 0 … (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①________________；②________________； (4)此函数图象与直线的交点坐标是________________． 【答案】(1) (2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 2 1 0 1 2 … 描点、连线，绘制函数的图象如图： (3)①函数图象关于直线对称； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (4)和 【分析】（1）根据两点间距离公式解答即可； （2）将依次代入计算，再填表，描点、连线，绘制函数的图象即可； （3）根据函数图象解答即可； （4）根据函数图象即可解答； 【详解】（1）解：根据题意可得，A点坐标为， ∵在x轴上， ∴两点距离为， ∴解析式为； （2）解：时，； 时，； 时，； 时，； 填表，画图见答案； （3）略 （4）解：根据函数图象可得函数的图象与直线的交点坐标为和． 题型8.画一次函数图象 1．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象进行判断即可． 【详解】解：描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：点与其它点不在同一条直线上； 故这个错误的函数值是； 故选C． 2．写一个图象经过的函数表达式：________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了函数的解析式，只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式即可． 【详解】解： 故答案为：(答案不唯一) 3．求下列直线与x轴和y轴的交点，并在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象： (1)； (2)． 【答案】(1)与轴交点为，与轴交点为， 函数图象如图： (2)与轴交点为，与轴交点为，函数图象见第（1）问 【分析】对于每一个直线表达式，分别令和即可求解直线与坐标轴的交点，再选两点连线作图即可． 【详解】（1）解：对于，当时，； 当时，，解得， ∴直线与轴交点为，与轴交点为， 列表： 0 1 3 再连线即可作图函数图象； （2）解：对于，当时，； 当时，，解得， ∴直线与轴交点为，与交点为； 列表： 3 0 0 2 再连线即可作图函数图象． 题型9.一次函数图象平移问题 1．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据直线平移的规律得到平移后直线的解析式，将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵新直线经过点， ∴把，代入得， ∴． 3．将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值． 【答案】 【分析】先得出函数向左平移个单位后的函数表达式，再将点代入进行求值即可． 【详解】解：将函数向左平移个单位长度后得到函数， ∵点在函数上 代入得， 解得． 题型10.一次函数图象与对称问题 1．一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得． 2．（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 【答案】 【分析】（1）利用函数“左加右减”的平移规律计算即可得到结果； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，代入原解析式整理即可． 【详解】解：（1）根据一次函数图象平移“左加右减”的规律， 函数，向左平移2个单位，所得函数图象的解析式为，即； （2）函数图象关于轴对称时，对称后点的横坐标与原对应点相同，纵坐标互为相反数， 因此将原解析式中的替换为， 原解析式为，代入得， 整理得． 3．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 【答案】(1)①0；②或12 (2)如图所示： (3)①4；②函数的图象关于y轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想，正确画出函数图象是解题的关键． （1）①代入x的值即可求出a；②把代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把代入，得， 故答案为：0； ②把代入，得， 解得或12， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 题型11.判断一次函数的增减性 1．如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：， 与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 2．已知直线经过两点和，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，结合两点横坐标的大小比较即可得到与的大小关系． 【详解】解：在直线中， 一次项系数，随的增大而减小. 点和在直线上，且横坐标， . 故答案为． 3．请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【答案】 函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当是，y随x增大而减小；当时， 一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数经过原点，当时，一次函数与y轴交于负半轴． 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，先利用列表法画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的一次函数的性质即可． 【详解】解：列表如下： 2 4 0 4 2 1 题型12.根据一次函数增减性求参数 1．一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ， 当时，， ， ， ， 即， 选项D中，，符合要求． 2．已知直线与直线平行，那么k的值为____________． 【答案】/ 【分析】根据两直线平行的条件即可求出的值． 【详解】解：∵直线与平行， ∴，且，满足条件． 3．已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式即可； （2）由得：，当时，，当时，，根据随的增大而增大，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 题型13.根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 2．已知函数，当时，函数值y的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，结合给定的x的取值范围，即可求出函数值y的取值范围． 【详解】解：∵函数中，， ∴y随x的增大而减小， 当时，， ∵， ∴． 3．已知一次函数． (1)若该函数值y随自变量x的增大而减小，求a的取值范围； (2)若该函数图像经过第一、第三象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a的取值范围 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键熟知一次函数图象的性质． （1）由该函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出a的取值范围； （2）由该函数图象经过第一、第三象限，则可能只过一、三象限，也可能过一二三象限，也可能过一三四象限，利用一次函数的性质，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的值． 【详解】（1）解：∵该函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， 解得， ∴a的取值范围为； （2）解：该函数图像经过第一、第三象限， ∴该函数图像可能只过一、三象限，也可能过一二三象限，也可能过一三四象限， ∴，没有限制要求， 解得， ∴a的取值范围． 题型14.比较一次函数值的大小 1．若点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 2．点，在直线上，则，的大小关系是________． 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式的一次项系数判断函数的增减性，再比较两个点的横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系. 【详解】解：对于一次函数 ，其一次项系数 ， 根据一次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， ∵点 ， 在该直线上，两个点的横坐标分别为 和 ， ∵ ， ∴. 3．已知一次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)函数的图象如图： (2)解：点不在一次函数的图象上； 理由如下： 当时，，所以点不在一次函数的图象上； (3) 【分析】（1）在坐标系中描出两点，连接过这两点的直线即可； （2）把点P的坐标代入函数解析式中即可作出判断； （3）求出自变量取与时的函数值，利用一次函数的性质即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则，令，则，解得， 在坐标系中描出点，连接过这两点的直线，画图略； （2）略 （3）解：当时，；当时，； ∵一次函数中一次项系数， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，． 题型15.一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 3．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． ✺巩固测试 一、单选题 1．将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移口诀，“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：由一次函数平移规律可得，直线向下平移个单位长度所得的直线的解析式为． 2．已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵一次函数中，函数值随自变量的增大而增大， ∴， ∴该函数图象必经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象经过第一、二、三象限． 3．下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．当时，y大于4 【答案】D 【详解】解：对于A选项，∵，∴的值随着增大而减小，A说法正确，不符合题意； 对于B选项，∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，B说法正确，不符合题意； 对于C选项，∵当时，，∴函数图象与轴的交点坐标为，C说法正确，不符合题意； 对于D选项，∵随增大而减小，且时，∴当时，，D说法错误，符合题意． 4．在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 5．已知一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象经过第一、三、四象限 B．随增大而减小 C．图象与轴交于点 D．点在这个函数图象上 【答案】B 【分析】由一次函数解析式的系数判断图象性质与增减性，代入坐标验证点与图象的位置关系． 【详解】解：对于一次函数，，. ∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，A正确； ∵， ∴随的增大而增大，B错误； 令，则， 解得， ∴图象与轴交于点，C正确； 将代入解析式，得， ∴点在函数图象上，D正确． 二、填空题 6．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的范围是__________． 【答案】 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的性质列出不等式，求解得到的范围． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度，平移后的直线解析式为， 平移后的直线经过第一、二、三象限， ， 解得． 7．在平面直角坐标系中，点，在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为____________．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性即可得出答案． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴一次函数中随的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 8．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先求出一次函数与坐标轴交点坐标，再利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：当时，，得到与轴交点； 当时，，解得，即与轴交点． 坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为和． ， ， ， ， 解得：． 9．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 10．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有______；（2）y随x的增大而减小的有______；（3）图象互相平行的有______；（4）与x轴交于正半轴的有______；（5）与y轴交于正半轴的有______． 【答案】 ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ② ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ③， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ④， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ⑤， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴该函数经过原点； ⑥， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴该函数经过原点； ∵和的k值相等， ∴和互相平行； （1）y随x的增大而增大的有②③⑥； （2）y随x的增大而减小的有①④⑤； （3）图象互相平行的有②⑥； （4）与x轴交于正半轴的有①②； （5）与y轴交于正半轴的有①③． 故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③． 三、解答题 11．已知一次函数， (1)m为何值时，y随x的增大而减小？ (2)m，n为何值时，函数图像与y轴交点在x轴的上方？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一次函数的增减性可得一次项系数小于0，据此建立不等式求解即可； （2）求出函数图像与y轴交点的坐标，根据交点在x轴的上方得到交点的纵坐标大于0，据此建立不等式求出n的取值范围，再根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，则可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵在中，y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴一次函数与y轴交点的坐标为， ∵一次函数与y轴交点在x轴的上方， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴当且时，函数图像与y轴交点在x轴的上方． 12．已知关于的函数． (1)当为何值时，函数为正比例函数？ (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)当为何值时，函数的图像经过点？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正比例函数中的求解即可； （2）根据正比例函数中的时，随的增大而减小求解即可； （3）将点代入中求解即可． 【详解】（1）解：∵函数为正比例函数， ∴，解得； （2）解：∵函数中，随的增大而减小， ∴，解得； （3）解：∵函数的图像经过点， ∴将点代入函数中，得， 解得． 13．已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 【答案】(1)，； (2)解：列表， 描点，连线，   ；；； 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， （2）解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 14．快、慢两车分别从相距480千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快车距出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)快车的速度为________千米/时；慢车的速度为________千米/时． (2)在图中画出慢车距出发地路程y（千米）与出发时间x（小时）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围） (3)当快车到达乙地时，直接写出慢车距甲地的路程是多少千米？ 【答案】(1)120；60 (2)； (3)240千米 【分析】（1）根据速度路程时间，结合函数图象求解即可； （2）根据时间路程速度可得慢车到达终点的时间，据此画出对应的函数图象，再根据路程速度时间列出对应的函数关系式即可； （3）求出快车到达乙地的时间，用甲、乙两地的距离减去此时慢车行驶的路程即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，快车的速度为（千米/时）， 慢车的速度为（千米/时）； （2）解：函数图象见答案， 慢车距出发地路程y（千米）与出发时间x（小时）之间的函数关系式为； （3）解：（小时）， （千米）， 答：当快车到达乙地时，慢车距甲地的路程是240千米． 15．已知函数，    (1)画出的图象，图像分别与，轴交于，两点； (2)若为坐标原点，求的面积； (3)当，的取值范围是_________； (4)在满足条件______时，． 【答案】(1) 作图如下： (2) (3) (4) 【分析】（1）解出的图象与，轴交于，两点的坐标，过两点作直线即可； （2）利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据图象作答即可； （4）根据图象作答即可． 【详解】（1）当时，，当时，， ∴， （2）； （3）当，随x的增大而减小， 当时，y最大，； 当时，y最小，； ∴的取值范围是， 故答案为：； （4）由图象可知，时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一次函数的图象，一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $