16.3 乘法公式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

16.3 乘法公式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、公式辨识·知识与方法 2 二、题型一　公式辨识·平方差公式 7 三、题型二　公式辨识·完全平方公式 7 四、题型三　公式辨识·公式变形与对称式 8 五、题型四　公式辨识·简便运算与杨辉三角 9 六、A、公式辨识·平方差与完全平方直接应用 9 七、B、公式辨识·改一个条件看公式变 10 八、C、公式辨识·找全与反例辨析 10 九、D、近年真题·乘法公式与杨辉三角 11 十、E、公式辨识·一条公式链三问收口 12 十一、课堂检测 12 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、公式辨识·知识与方法 图0 知识点一　平方差公式：一项相同、一项相反，结果等于相同项平方减相反项平方 1．平方差公式：(a+b)(a−b)=a²−b²，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2．结构特征：两个二项式中，必须有一项完全相同（相同项），另一项互为相反数（相反项）；结果 = 相同项平方 − 相反项平方。 3．为什么是平方相减：展开 (a+b)(a−b)=a²−ab+ab−b²，中间两项 ab 与 −ab 抵消，只剩首尾平方差。 4．反例两则：“两项都相同时也能用”不成立，如 (a+b)(a+b) 是完全平方不是平方差；“无相同项”也不成立，如 (a+b)(c−d) 不能直接套。 5．换一个条件：把“(a+b)(a−b)”换成“(3+y)(3−y)”，相同项变 3、相反项变 y，公式由 a²−b² 变成 9−y²，结构不变。 6．举例：(x+3)(x−3)=x²−9；(2a+1)(2a−1)=4a²−1。 图示1 易错提醒：套平方差先找“相同项”和“相反项”，结果永远是 相同项平方 减 相反项平方。 知识点二　完全平方公式（和）：首平方，尾平方，首尾两倍放中央 1．和的完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，即两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的 2 倍。 2．结构特征：结果共三项，分别是首项平方、尾项平方、以及首尾乘积的 2 倍，中间项符号为正。 3．为什么多了 2ab：展开 (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²，两个 ab 合并为 2ab。 4．反例两则：“(a+b)²=a²+b² 漏掉中间项”不成立，如 (2+3)²=25 而非 4+9=13；“中间项符号随便写”也不成立，和公式中间必为正。 5．换一个条件：把“(a+b)²”换成“(2a+1)²”，首项变 2a、尾项变 1，得 4a²+4a+1，仍是首平方尾平方加两倍。 6．举例：(a+2)²=a²+4a+4；(3x+1)²=9x²+6x+1。 图示2 易错提醒：完全平方和绝对不能漏掉中间的 2ab；先把公式背成“首平方尾平方，首尾两倍放中央”。 知识点三　完全平方公式（差）：与和公式只差中间项符号 1．差的完全平方公式：(a−b)²=a²−2ab+b²，即两数差的平方，等于平方和减去它们积的 2 倍。 2．结构特征：与和公式相比，只有中间项符号由正变负，首尾平方项不变（平方后负号消失）。 3．为什么中间项为负：展开 (a−b)²=a²−ab−ab+b²，两个 −ab 合并为 −2ab。 4．反例两则：“(a−b)²=a²−b²”不成立，如 (3−1)²=4 而非 9−1=8；“把尾项平方也写成负”也不成立，b² 始终为正。 5．换一个条件：把“(a−b)²”换成“(x−4)²”，得 x²−8x+16，中间项 −2·x·4=−8x，结构完全同差公式。 6．举例：(x−4)²=x²−8x+16；(a−3)²=a²−6a+9。 图示3 易错提醒：差公式与和公式只差中间一项的符号，两平方项都为正，别把尾平方也写负。 知识点四　添括号与公式变形：对称式的桥梁 1．添括号法则：括号前是正号，括到括号内的各项都不变符号；括号前是负号，括到括号内的各项都改变符号。 2．核心变形：a²+b²=(a+b)²−2ab=(a−b)²+2ab；两式相减得 (a+b)²−(a−b)²=4ab。 3．为什么能互化：完全平方展开后含 2ab，已知 a+b 或 a−b 与 ab，就能反推出平方和，是对称式换算的桥梁。 4．反例两则：“a²+b²=(a+b)²”不成立，少了 −2ab；“添括号时只改首项符号”也不成立，括号内各项都要变。 5．换一个条件：把“已知 a+b、ab 求 a²+b²”换成“已知 a−b、ab 求 a²+b²”，公式由 (a+b)²−2ab 变成 (a−b)²+2ab。 6．举例：a+b=5,ab=6，则 a²+b²=25−12=13；(a−b)²=25−24=1。 图示4 易错提醒：对称式三量 a+b、a−b、ab 知二可推第三，靠的是这两个完全平方变形，缺一不可。 知识点五　用乘法公式简便运算：把数凑成公式形状 1．简便运算思路：把接近整十整百的数写成（整十数±零头），套用平方差或完全平方，避免硬乘。 2．常见模型：99²=(100−1)²=10000−200+1=9801；102×98=(100+2)(100−2)=10000−4=9996。 3．为什么更省力：公式把二次乘积降为一次加减，省去长串笔算，且不易错位。 4．反例两则：“99²=100²−1”不成立，应为 (100−1)² 全展开；“102×98 直接算 100×100”也不成立，漏了 ±2 的交叉修正。 5．换一个条件：把“99²”换成“98²”，仍写成 (100−2)²=10000−400+4=9604，结构完全一样。 6．举例：101×99=(100+1)(100−1)=9999；198×202=(200−2)(200+2)=39996。 图示5 易错提醒：简便运算先把数“凑整”，再判该用平方差还是完全平方，别一上来就硬乘。 知识点六　阅读与思考：杨辉三角（二项式系数规律） 1．杨辉三角（贾宪三角）两腰上的数都是 1，其余每个数都等于它上方左右两个数之和。 2．第 n+1 行的各数，依次对应 (a+b)的n次方 展开式中各项的系数，如第 1 行 1 对应 (a+b)⁰。 3．为什么对应系数：二项展开每升一次方，新系数由上一行相邻两数相加得到，正是杨辉三角的生成规则。 4．反例两则：“(a+b)³ 系数是 1,2,1”不成立，应为 1,3,3,1（第三行）；“三角中间数随便写”也不成立，必须等上方两数和。 5．换一个条件：把“(a+b)³ 系数”换成“(a+b)⁴ 系数”，顺延一行得 1,4,6,4,1，规律不变只是行数下推。 6．举例：(a+b)² 系数 1,2,1；(a+b)³ 系数 1,3,3,1。 易错提醒：杨辉三角第 n+1 行就是 (a+b)的n次方 系数；记不住公式时数三角也能写出展开式。 知识点七　乘法公式的辨认：相同项与相反项 1．判断一个二项式乘积能用哪条公式，先找两因式里的相同项与相反项。 2．判平方差：两因式有一项完全相同、另一项互为相反数，则能用 (相同项)²−(相反项)²，无需展开。 3．相同项写在前面、相反项写在后面；套公式前先把两因式整理成同一顺序。 4．易错两则：(x+2)(x+2) 两项都同，该用完全平方公式而不是平方差公式；(−x+5)(x+5) 的相同项是 5、相反项是 x，得 25−x²。 5．换一个条件：把“判 (x+2)(x−2)”换成“判 (2x+1)(2x−1)”，相同项变 2x、相反项变 1，仍可用平方差，结论类型不变。 6．举例：(x+1)(x+2) 既没有相反项、两因式也不相同，两条公式都用不上，只能按多项式乘法展开。 图示6 易错提醒：先找相同项与相反项，再决定用平方差公式还是完全平方公式；整理顺序这一步最容易漏。 二、题型一　公式辨识·平方差公式 例1 1．计算 (x+3)(x−3) = （　　）。 A．x²−9　B．x²+9　C．x²−6x+9　D．x²+6x−9 变式1-1 2．计算 (2a+1)(2a−1) = ______。 变式1-2 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(a+b)(a+b)　B．(3−m)(3−m)　C．(3−m)(3+m)　D．(m+3)(m+3) 4．计算 (m+4)(m−4) = ______。 5．计算 (3y+2)(3y−2) = ______。 6．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(2x+1)(2x+1)　B．(2x+1)(2x−1)　C．(x+2)(2+x)　D．(2x−1)(1−2x) 7．计算 (a+b)(a−b) = ______。 8．计算 (5−t)(5+t) = ______。 9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(a−b)(b−a)　B．(a+b)(−a−b)　C．(a+b)(a−b)　D．(a+b)(a+b+c) 10．计算 (−4m+n)(4m+n) = ______。 三、题型二　公式辨识·完全平方公式 例2 1．计算 (a+2)² = （　　）。 A．a²+4　B．a²+4a+4　C．a²+2a+4　D．a²−4a+4 变式2-1 2．计算 (3x+1)² = ______。 变式2-2 3．计算：(2x＋3)²＝______。 4．计算 (2m+3)² = ______。 5．计算 (b+4)² = ______。 6．计算：(3x＋1)²＝______。 7．计算 (5+y)² = ______。 8．计算：(1x＋5)²＝______。 9．计算 (3t+2)² = ______。 10．计算：(2x＋5)²＝______。 四、题型三　公式辨识·公式变形与对称式 例3 1．已知 a+b=5，ab=6。先定解：a²+b² = (a+b)²−2ab = （　　）；再找一解：写出 (a−b)² 的一个值（　　）；接着找全：由 a+b=5、ab=6 还能得到的所有正整数有序对 (a,b)（　　）；最后改一个条件：只把 ab 改成 4，其余不变，则 a²+b² 变为（　　）。 变式3-1 2．只找一解：当 a+b=5，ab=6 时，写出一个满足条件的 (a,b)（　　）。 变式3-2 3．找全：a+b=5，ab=6 且 a,b 为正整数的所有有序对（　　），并说明为什么没有遗漏（　　）。 解答： 变式3-3 4．已知 a＋b＝5，ab＝3，求 a²＋b² 的值。 5．定解：已知 (a+b)²=36，(a−b)²=16，则 a²+b² =（　　）。 6．找全：由 (a+b)²=36，(a−b)²=16 可得 ab =（　　）。 7．改一个条件：只把 (a−b)² 改成 4，其余不变（(a+b)²=36），则 ab =（　　）。 8．找全：a+b=4 时，a²+b² 的最小值在 a=b=（　　）时取得，最小值为（　　）。 五、题型四　公式辨识·简便运算与杨辉三角 例4 1．简便计算 99² = （　　）。 A．9801　B．9901　C．9800　D．9810 变式4-1 2．已知 a＋b＝6，ab＝4，求 a²＋b² 的值。 变式4-2 3．若 a＋b＝7 且 ab＝2，则 a²＋b²＝______。 4．简便计算 101×99 = ______。 5．计算 (a+b)³ 的展开式各项系数（按杨辉三角第 3 行）是（　　）。 6．若 x²＋kx＋9 是完全平方式，则 k＝______。 7．简便计算 198×202 = ______。 8．若 x²＋kx＋16 是完全平方式，则 k＝______。 9．计算 (a−3)² = ______。 10．若 x²＋kx＋25 是完全平方式，则 k＝______。 六、A、公式辨识·平方差与完全平方直接应用 1．计算 (x+5)(x−5) = ______。 2．计算 (2a+3)² = ______。 3．利用完全平方公式简算：99²＝______。 4．计算 (y−4)² = ______。 5．计算 (4b+1)(4b−1) = ______。 6．利用完全平方公式简算：98²＝______。 7．计算 (t+6)² = ______。 8．计算 (7−c)(7+c) = ______。 9．利用完全平方公式简算：101²＝______。 10．计算 (3m−n)(3m+n) = ______。 七、B、公式辨识·改一个条件看公式变 1．原式 (x+2)²=x²+4x+4。只把 (x+2) 改成 (x−2)，其余不变，则新展开式中间项符号（　　）。 2．原式 (a+3)(a−3)=a²−9。只把 3 改成 5，其余不变，则常数项由 −9 变为（　　）。 3．原式 (x+1)(x−1)=x²−1。只把 (x−1) 改成 (x+1)，其余不变，则结果变为（　　）。 4．原式 (2a+1)²=4a²+4a+1。只把系数 2 改成 3，其余不变，则新式为（　　）。 5．原式 a²+b²=(a+b)²−2ab。只把 ab 改成 3（设 a+b=5），则 a²+b² 变为（　　）。 6．原式 99²=9801。只把 99 改成 98，其余不变，则结果变为（　　）。 7．原式 (m−n)²=m²−2mn+n²。只把 (m−n) 改成 (m+n)，其余不变，则中间项符号（　　）。 8．原式 (x+4)(x−4)=x²−16。只把 4 改成 −4，其余不变，则结果（　　）。 9．原式 102×98=9996。只把 102 改成 101、98 改成 99，其余不变，则结果变为（　　）。 10．原式 (3a+b)²=9a²+6ab+b²。只把 b 改成 2b，其余不变，则新式为（　　）。 八、C、公式辨识·找全与反例辨析 1．找全：使 (x+p)(x−p)=x²−16 成立的 p 值（　　）。 2．反例验证：有人说“(a+b)²=a²+b²”，举一个反例（　　）。 3．找全：a+b=3，ab=2 时 a²+b² 的值（　　）。 4．如图，从边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，再把剩余部分拼成一个长方形。这个剪拼过程验证的等式是______。 图7-4 5．找全：能用平方差计算的 (x+2)( ? ) 中，问号处填什么可使两因式有一项相同一项相反，写出一个（　　）。 6．反例验证：有人说“两个二项式相乘一定得到三项式”，举一个反例（　　）。 7．找全：由 (a+b)²=25，(a−b)²=9 可得 ab=（　　）。 8．如图，边长为 a＋b 的正方形被分成两个小正方形和两个长方形。由各部分面积之和可验证的等式是______。 图7-8 9．反例验证：有人说“平方差要求两数都为正”，举一个反例（　　）。 10．找全：(a+b)³ 展开各项系数之和（令 a=b=1 代入）是（　　）。 九、D、近年真题·乘法公式与杨辉三角 1．（2026年·北京·期中考试）计算 (x+3)(x−3) = ______。 2．（2025年·江苏·期末考试）计算 (2a+1)² = ______。 3．（2026年·浙江·期中考试）简便计算 99² = ______。 4．（2025年·广东·期末考试）已知 a+b=5，ab=6，则 a²+b² = ______。 5．（2026年·山东·期中考试）下列能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(x+2)(x+2)　B．(−x+3)(x+3)　C．(x−1)(x+2)　D．(2x+1)(2x−3) 6．（2025年·湖北·期末考试）计算 (a−b)² = ______（用 a,b 表示）。 7．（2026年·四川·期中考试）杨辉三角中 (a+b)³ 展开式各项系数是（　　）。 A．1,1,1　B．1,2,1　C．1,3,3,1　D．1,4,6,4,1 8．（2025年·湖南·期末考试）已知 (m+n)²=36，(m−n)²=16，则 mn = ______。 十、E、公式辨识·一条公式链三问收口 1．计算：(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)＋1＝______。 2．先化简，再求值：(2x＋3)²−(2x＋3)(2x−3)，其中 x＝−1。 3．对 a+b=5,ab=6：(1) 定解 a²+b²=（　　）；(2) 找一解 (a,b)=（　　）；(3) 改一个条件 ab=4，则 a²+b²=（　　）。 4．利用完全平方公式简算：102²＝______。 5．利用平方差公式简算：102×98＝______。 6．计算：(3x＋2)²＝______。 十一、课堂检测 1．计算：(4x＋1)²＝______。 2．计算 (a+3)² = ______。 3．计算 (4−t)(4+t) = ______。 4．计算：(1x＋3)²＝______。 5．简便计算 103×97 = ______。 6．计算 (m−2)² = ______。 7．计算：(2x＋7)²＝______。 8．已知 a+b=4，ab=3，则 a²+b² = ______。 9．计算 (5y+2)(5y−2) = ______。 10．利用乘法公式简算：103²＝______。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3 乘法公式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、公式辨识·知识与方法 2 二、题型一　公式辨识·平方差公式 6 三、题型二　公式辨识·完全平方公式 8 四、题型三　公式辨识·公式变形与对称式 10 五、题型四　公式辨识·简便运算与杨辉三角 11 六、A、公式辨识·平方差与完全平方直接应用 13 七、B、公式辨识·改一个条件看公式变 14 八、C、公式辨识·找全与反例辨析 15 九、D、近年真题·乘法公式与杨辉三角 17 十、E、公式辨识·一条公式链三问收口 18 十一、课堂检测 19 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、公式辨识·知识与方法 图0 知识点一　平方差公式：一项相同、一项相反，结果等于相同项平方减相反项平方 1．平方差公式：(a+b)(a−b)=a²−b²，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2．结构特征：两个二项式中，必须有一项完全相同（相同项），另一项互为相反数（相反项）；结果 = 相同项平方 − 相反项平方。 3．为什么是平方相减：展开 (a+b)(a−b)=a²−ab+ab−b²，中间两项 ab 与 −ab 抵消，只剩首尾平方差。 4．反例两则：“两项都相同时也能用”不成立，如 (a+b)(a+b) 是完全平方不是平方差；“无相同项”也不成立，如 (a+b)(c−d) 不能直接套。 5．换一个条件：把“(a+b)(a−b)”换成“(3+y)(3−y)”，相同项变 3、相反项变 y，公式由 a²−b² 变成 9−y²，结构不变。 6．举例：(x+3)(x−3)=x²−9；(2a+1)(2a−1)=4a²−1。 图示1 易错提醒：套平方差先找“相同项”和“相反项”，结果永远是 相同项平方 减 相反项平方。 知识点二　完全平方公式（和）：首平方，尾平方，首尾两倍放中央 1．和的完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，即两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的 2 倍。 2．结构特征：结果共三项，分别是首项平方、尾项平方、以及首尾乘积的 2 倍，中间项符号为正。 3．为什么多了 2ab：展开 (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²，两个 ab 合并为 2ab。 4．反例两则：“(a+b)²=a²+b² 漏掉中间项”不成立，如 (2+3)²=25 而非 4+9=13；“中间项符号随便写”也不成立，和公式中间必为正。 5．换一个条件：把“(a+b)²”换成“(2a+1)²”，首项变 2a、尾项变 1，得 4a²+4a+1，仍是首平方尾平方加两倍。 6．举例：(a+2)²=a²+4a+4；(3x+1)²=9x²+6x+1。 图示2 易错提醒：完全平方和绝对不能漏掉中间的 2ab；先把公式背成“首平方尾平方，首尾两倍放中央”。 知识点三　完全平方公式（差）：与和公式只差中间项符号 1．差的完全平方公式：(a−b)²=a²−2ab+b²，即两数差的平方，等于平方和减去它们积的 2 倍。 2．结构特征：与和公式相比，只有中间项符号由正变负，首尾平方项不变（平方后负号消失）。 3．为什么中间项为负：展开 (a−b)²=a²−ab−ab+b²，两个 −ab 合并为 −2ab。 4．反例两则：“(a−b)²=a²−b²”不成立，如 (3−1)²=4 而非 9−1=8；“把尾项平方也写成负”也不成立，b² 始终为正。 5．换一个条件：把“(a−b)²”换成“(x−4)²”，得 x²−8x+16，中间项 −2·x·4=−8x，结构完全同差公式。 6．举例：(x−4)²=x²−8x+16；(a−3)²=a²−6a+9。 图示3 易错提醒：差公式与和公式只差中间一项的符号，两平方项都为正，别把尾平方也写负。 知识点四　添括号与公式变形：对称式的桥梁 1．添括号法则：括号前是正号，括到括号内的各项都不变符号；括号前是负号，括到括号内的各项都改变符号。 2．核心变形：a²+b²=(a+b)²−2ab=(a−b)²+2ab；两式相减得 (a+b)²−(a−b)²=4ab。 3．为什么能互化：完全平方展开后含 2ab，已知 a+b 或 a−b 与 ab，就能反推出平方和，是对称式换算的桥梁。 4．反例两则：“a²+b²=(a+b)²”不成立，少了 −2ab；“添括号时只改首项符号”也不成立，括号内各项都要变。 5．换一个条件：把“已知 a+b、ab 求 a²+b²”换成“已知 a−b、ab 求 a²+b²”，公式由 (a+b)²−2ab 变成 (a−b)²+2ab。 6．举例：a+b=5,ab=6，则 a²+b²=25−12=13；(a−b)²=25−24=1。 图示4 易错提醒：对称式三量 a+b、a−b、ab 知二可推第三，靠的是这两个完全平方变形，缺一不可。 知识点五　用乘法公式简便运算：把数凑成公式形状 1．简便运算思路：把接近整十整百的数写成（整十数±零头），套用平方差或完全平方，避免硬乘。 2．常见模型：99²=(100−1)²=10000−200+1=9801；102×98=(100+2)(100−2)=10000−4=9996。 3．为什么更省力：公式把二次乘积降为一次加减，省去长串笔算，且不易错位。 4．反例两则：“99²=100²−1”不成立，应为 (100−1)² 全展开；“102×98 直接算 100×100”也不成立，漏了 ±2 的交叉修正。 5．换一个条件：把“99²”换成“98²”，仍写成 (100−2)²=10000−400+4=9604，结构完全一样。 6．举例：101×99=(100+1)(100−1)=9999；198×202=(200−2)(200+2)=39996。 图示5 易错提醒：简便运算先把数“凑整”，再判该用平方差还是完全平方，别一上来就硬乘。 知识点六　阅读与思考：杨辉三角（二项式系数规律） 1．杨辉三角（贾宪三角）两腰上的数都是 1，其余每个数都等于它上方左右两个数之和。 2．第 n+1 行的各数，依次对应 (a+b)的n次方 展开式中各项的系数，如第 1 行 1 对应 (a+b)⁰。 3．为什么对应系数：二项展开每升一次方，新系数由上一行相邻两数相加得到，正是杨辉三角的生成规则。 4．反例两则：“(a+b)³ 系数是 1,2,1”不成立，应为 1,3,3,1（第三行）；“三角中间数随便写”也不成立，必须等上方两数和。 5．换一个条件：把“(a+b)³ 系数”换成“(a+b)⁴ 系数”，顺延一行得 1,4,6,4,1，规律不变只是行数下推。 6．举例：(a+b)² 系数 1,2,1；(a+b)³ 系数 1,3,3,1。 易错提醒：杨辉三角第 n+1 行就是 (a+b)的n次方 系数；记不住公式时数三角也能写出展开式。 知识点七　乘法公式的辨认：相同项与相反项 1．判断一个二项式乘积能用哪条公式，先找两因式里的相同项与相反项。 2．判平方差：两因式有一项完全相同、另一项互为相反数，则能用 (相同项)²−(相反项)²，无需展开。 3．相同项写在前面、相反项写在后面；套公式前先把两因式整理成同一顺序。 4．易错两则：(x+2)(x+2) 两项都同，该用完全平方公式而不是平方差公式；(−x+5)(x+5) 的相同项是 5、相反项是 x，得 25−x²。 5．换一个条件：把“判 (x+2)(x−2)”换成“判 (2x+1)(2x−1)”，相同项变 2x、相反项变 1，仍可用平方差，结论类型不变。 6．举例：(x+1)(x+2) 既没有相反项、两因式也不相同，两条公式都用不上，只能按多项式乘法展开。 图示6 易错提醒：先找相同项与相反项，再决定用平方差公式还是完全平方公式；整理顺序这一步最容易漏。 二、题型一　公式辨识·平方差公式 例1 1．计算 (x+3)(x−3) = （　　）。 A．x²−9　B．x²+9　C．x²−6x+9　D．x²+6x−9 【答案】A 【解析】相同项是 x，相反项是 ±3，套平方差得 x²−3²=x²−9，选A。另一做法错在写成 (x−3)² 展开成三项；本题两因式相反项相消只剩两项。图1 把相同项 x 与相反项 3 圈出。 变式1-1 2．计算 (2a+1)(2a−1) = ______。 【答案】4a²−1 【解析】相同项 2a，相反项 1，得 (2a)²−1²=4a²−1。另一做法错在只把 a 平方漏掉系数 2；相同项是 2a 整体。图1-1 把 2a 当作一个整体标出。 变式1-2 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(a+b)(a+b)　B．(3−m)(3−m)　C．(3−m)(3+m)　D．(m+3)(m+3) 【答案】C 【解析】平方差要求“一项完全相同、另一项互为相反数”，选 C。两项都相同或都不相反时只能按多项式乘法展开，套公式会漏中间项。 4．计算 (m+4)(m−4) = ______。 【答案】m²−16 【解析】相同项 m、相反项 4，得 m²−4²=m²−16。另一做法错在写成 m²+16；平方差是相减。 5．计算 (3y+2)(3y−2) = ______。 【答案】9y²−4 【解析】相同项 3y，得 (3y)²−2²=9y²−4。另一做法错在把 3y 平方算成 3y²；系数也要平方。 6．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(2x+1)(2x+1)　B．(2x+1)(2x−1)　C．(x+2)(2+x)　D．(2x−1)(1−2x) 【答案】B 【解析】平方差要求“一项完全相同、另一项互为相反数”，选 B。两项都相同或都不相反时只能按多项式乘法展开，套公式会漏中间项。 7．计算 (a+b)(a−b) = ______。 【答案】a²−b² 【解析】相同项 a、相反项 b，直接得 a²−b²。另一做法错在把 a、b 也相加；公式就是平方相减。 8．计算 (5−t)(5+t) = ______。 【答案】25−t² 【解析】相同项 5、相反项 t，得 5²−t²=25−t²。另一做法错在写成 t²−25；相同项 5 的平方在前。 9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(a−b)(b−a)　B．(a+b)(−a−b)　C．(a+b)(a−b)　D．(a+b)(a+b+c) 【答案】C 【解析】平方差要求“一项完全相同、另一项互为相反数”，选 C。两项都相同或都不相反时只能按多项式乘法展开，套公式会漏中间项。 10．计算 (−4m+n)(4m+n) = ______。 【答案】n²−16m² 【解析】整理为 (n−4m)(n+4m)，相同项 n、相反项 4m，得 n²−(4m)²=n²−16m²。另一做法错在把顺序当不同；交换后相同项仍是 n。 三、题型二　公式辨识·完全平方公式 例2 1．计算 (a+2)² = （　　）。 A．a²+4　B．a²+4a+4　C．a²+2a+4　D．a²−4a+4 【答案】B 【解析】首平方 a²、尾平方 2²=4、两倍首尾 2·a·2=4a，得 a²+4a+4，选B。另一做法错在漏掉中间项 4a；完全平方必有三项。图2 把首、尾、中央三项分别标出。 变式2-1 2．计算 (3x+1)² = ______。 【答案】9x²+6x+1 【解析】首平方 (3x)²=9x²、尾平方 1、两倍 2·3x·1=6x，得 9x²+6x+1。另一做法错在把 (3x)² 算成 3x²；系数要平方。图2-1 把三项并列。 变式2-2 3．计算：(2x＋3)²＝______。 【答案】4x²＋12x＋9 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项是两数乘积的 2 倍。漏掉中间项、写成 a²＋b²，是完全平方公式最常见的错。 4．计算 (2m+3)² = ______。 【答案】4m²+12m+9 【解析】首平方 4m²、尾平方 9、两倍 2·2m·3=12m，得 4m²+12m+9。另一做法错在中间项算成 6m；忘乘系数 2 与 2m。 5．计算 (b+4)² = ______。 【答案】b²+8b+16 【解析】首平方 b²、尾平方 16、两倍 2·b·4=8b，得 b²+8b+16。另一做法错在尾平方写成 4；4 的平方是 16。 6．计算：(3x＋1)²＝______。 【答案】9x²＋6x＋1 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项是两数乘积的 2 倍。漏掉中间项、写成 a²＋b²，是完全平方公式最常见的错。 7．计算 (5+y)² = ______。 【答案】25+10y+y² 【解析】首平方 25、尾平方 y²、两倍 2·5·y=10y，得 25+10y+y²。另一做法错在中间项写成 5y；应是 2×5×y。 8．计算：(1x＋5)²＝______。 【答案】x²＋10x＋25 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项是两数乘积的 2 倍。漏掉中间项、写成 a²＋b²，是完全平方公式最常见的错。 9．计算 (3t+2)² = ______。 【答案】9t²+12t+4 【解析】首平方 9t²、尾平方 4、两倍 2·3t·2=12t，得 9t²+12t+4。另一做法错在尾平方写成 2；2 的平方是 4。 10．计算：(2x＋5)²＝______。 【答案】4x²＋20x＋25 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项是两数乘积的 2 倍。漏掉中间项、写成 a²＋b²，是完全平方公式最常见的错。 四、题型三　公式辨识·公式变形与对称式 例3 1．已知 a+b=5，ab=6。先定解：a²+b² = (a+b)²−2ab = （　　）；再找一解：写出 (a−b)² 的一个值（　　）；接着找全：由 a+b=5、ab=6 还能得到的所有正整数有序对 (a,b)（　　）；最后改一个条件：只把 ab 改成 4，其余不变，则 a²+b² 变为（　　）。 【答案】13；1；(2,3),(3,2)；17 【解析】定解：a²+b²=25−12=13。找一解：(a−b)²=(a+b)²−4ab=25−24=1。找全：正整数积 6 且和 5 只有 2 与 3，有序对 (2,3)、(3,2)，理由（教师版）：因数对有限且逐一取尽。改条件：ab=4 时 a²+b²=25−8=17。图3 把三量 a+b、ab、a²+b² 列成桥。 变式3-1 2．只找一解：当 a+b=5，ab=6 时，写出一个满足条件的 (a,b)（　　）。 【答案】(2,3)（或 (3,2)） 【解析】2+3=5，2×3=6，故 (2,3) 满足。另一做法错在只给 a 不给 b；有序对要两数齐。图3-1 把“2+3”“2×3”两格对照。 变式3-2 3．找全：a+b=5，ab=6 且 a,b 为正整数的所有有序对（　　），并说明为什么没有遗漏（　　）。 【答案】(2,3),(3,2)；正整数中积为6且和为5的只有2与3，顺序两种已穷尽 【解析】因数分解 6=2×3 唯一（正整数），有序排列两种。另一做法错在漏掉 (3,2)；有序对顺序不同算两组。理由（教师版）：正整数因数对有限，列全即无遗漏。图3-2 把两组圈出。 变式3-3 4．已知 a＋b＝5，ab＝3，求 a²＋b² 的值。 【答案】19 【解析】a²＋b²＝(a＋b)²−2ab＝25−6＝19。先解方程组求 a、b 再代入，运算量大且容易引入多余根。 5．定解：已知 (a+b)²=36，(a−b)²=16，则 a²+b² =（　　）。 【答案】26 【解析】两式相加：2(a²+b²)=52，得 a²+b²=26。另一做法错在两式直接相加得 52 当答案；要除以 2。 6．找全：由 (a+b)²=36，(a−b)²=16 可得 ab =（　　）。 【答案】5 【解析】两式相减：4ab=20，得 ab=5。另一做法错在把差 20 当 ab；要除以 4。 7．改一个条件：只把 (a−b)² 改成 4，其余不变（(a+b)²=36），则 ab =（　　）。 【答案】8 【解析】36−4=32=4ab，得 ab=8。另一做法错在沿用旧 ab=5；条件变了要重算。 8．找全：a+b=4 时，a²+b² 的最小值在 a=b=（　　）时取得，最小值为（　　）。 【答案】2；8 【解析】a²+b²=(a+b)²−2ab=16−2ab，ab 最大时值最小；a=b=2 时 ab=4 最大，值=16−8=8。另一做法错在取 a=0,b=4；此时 ab=0 值更大。 五、题型四　公式辨识·简便运算与杨辉三角 例4 1．简便计算 99² = （　　）。 A．9801　B．9901　C．9800　D．9810 【答案】A 【解析】99²=(100−1)²=10000−200+1=9801，选A。另一做法错在算成 100²−1=9999；遗漏中间 −200。图4 把 (100−1)² 三步拆开。 变式4-1 2．已知 a＋b＝6，ab＝4，求 a²＋b² 的值。 【答案】28 【解析】a²＋b²＝(a＋b)²−2ab＝36−8＝28。先解方程组求 a、b 再代入，运算量大且容易引入多余根。 变式4-2 3．若 a＋b＝7 且 ab＝2，则 a²＋b²＝______。 【答案】45 【解析】a²＋b²＝(a＋b)²−2ab＝49−4＝45。先解方程组求 a、b 再代入，运算量大且容易引入多余根。 4．简便计算 101×99 = ______。 【答案】9999 【解析】101×99=(100+1)(100−1)=10000−1=9999。另一做法错在把 99 写成 100+1；应是 100−1 才能配成平方差。 5．计算 (a+b)³ 的展开式各项系数（按杨辉三角第 3 行）是（　　）。 【答案】1,3,3,1 【解析】(a+b)³ 对应杨辉三角第 3 行（从第 0 行起），系数 1,3,3,1。另一做法错在写成 1,2,1；那是平方不是立方。 6．若 x²＋kx＋9 是完全平方式，则 k＝______。 【答案】±6 【解析】常数项是 (k/2)²，中间项系数 k＝±2√(常数项)。只写正数漏掉 (x−a)² 也能得到同样的常数项。 7．简便计算 198×202 = ______。 【答案】39996 【解析】198×202=(200−2)(200+2)=200²−2²=40000−4=39996。另一做法错在硬乘出错；凑整百最稳。 8．若 x²＋kx＋16 是完全平方式，则 k＝______。 【答案】±8 【解析】常数项是 (k/2)²，中间项系数 k＝±2√(常数项)。只写正数漏掉 (x−a)² 也能得到同样的常数项。 9．计算 (a−3)² = ______。 【答案】a²−6a+9 【解析】首平方 a²、尾平方 9、两倍 2·a·3=6a 带负，得 a²−6a+9。另一做法错在尾平方写成 −9；平方恒正。 10．若 x²＋kx＋25 是完全平方式，则 k＝______。 【答案】±10 【解析】常数项是 (k/2)²，中间项系数 k＝±2√(常数项)。只写正数漏掉 (x−a)² 也能得到同样的常数项。 六、A、公式辨识·平方差与完全平方直接应用 1．计算 (x+5)(x−5) = ______。 【答案】x²−25 【解析】相同项 x、相反项 5，得 x²−25。另一做法错在写成 x²+25；平方差相减。 2．计算 (2a+3)² = ______。 【答案】4a²+12a+9 【解析】首平方 4a²、尾平方 9、两倍 2·2a·3=12a，得 4a²+12a+9。另一做法错在中间项写成 6a；漏乘 2a。 3．利用完全平方公式简算：99²＝______。 【答案】9801 【解析】把 99 写成 (100−1)²，展开为 10000 ∓ 2×100×…＋…。直接竖式相乘既慢又易错；凑整才是本题要练的。 4．计算 (y−4)² = ______。 【答案】y²−8y+16 【解析】首平方 y²、尾平方 16、两倍 2·y·4=8y 带负，得 y²−8y+16。另一做法错在尾平方写成 −16；平方恒正。 5．计算 (4b+1)(4b−1) = ______。 【答案】16b²−1 【解析】相同项 4b，得 (4b)²−1²=16b²−1。另一做法错在把 4b 平方算成 4b²；系数要平方。 6．利用完全平方公式简算：98²＝______。 【答案】9604 【解析】把 98 写成 (100−2)²，展开为 10000 ∓ 2×100×…＋…。直接竖式相乘既慢又易错；凑整才是本题要练的。 7．计算 (t+6)² = ______。 【答案】t²+12t+36 【解析】首平方 t²、尾平方 36、两倍 2·t·6=12t，得 t²+12t+36。另一做法错在尾平方写成 6；6 的平方是 36。 8．计算 (7−c)(7+c) = ______。 【答案】49−c² 【解析】相同项 7、相反项 c，得 7²−c²=49−c²。另一做法错在写成 c²−49；相同项 7 的平方在前。 9．利用完全平方公式简算：101²＝______。 【答案】10201 【解析】把 101 写成 (100＋1)²，展开为 10000 ∓ 2×100×…＋…。直接竖式相乘既慢又易错；凑整才是本题要练的。 10．计算 (3m−n)(3m+n) = ______。 【答案】9m²−n² 【解析】相同项 3m、相反项 n，得 (3m)²−n²=9m²−n²。另一做法错在把 n 也平方前加 3；相反项是 n 本身。 七、B、公式辨识·改一个条件看公式变 1．原式 (x+2)²=x²+4x+4。只把 (x+2) 改成 (x−2)，其余不变，则新展开式中间项符号（　　）。 【答案】变负 【解析】改后 (x−2)²=x²−4x+4，中间项由 +4x 变 −4x。另一做法错在只改首项；整条因式的符号都影响中项。 2．原式 (a+3)(a−3)=a²−9。只把 3 改成 5，其余不变，则常数项由 −9 变为（　　）。 【答案】−25 【解析】改后 (a+5)(a−5)=a²−25，常数项 −25。另一做法错在沿用 −9；相反项平方变大了。 3．原式 (x+1)(x−1)=x²−1。只把 (x−1) 改成 (x+1)，其余不变，则结果变为（　　）。 【答案】x²+2x+1 【解析】改后 (x+1)²=x²+2x+1，由平方差变完全平方。另一做法错在只换符号不重算；因式关系已变。 4．原式 (2a+1)²=4a²+4a+1。只把系数 2 改成 3，其余不变，则新式为（　　）。 【答案】9a²+6a+1 【解析】改后 (3a+1)²=9a²+6a+1。另一做法错在只改首平方漏中项；中项也含系数 3。 5．原式 a²+b²=(a+b)²−2ab。只把 ab 改成 3（设 a+b=5），则 a²+b² 变为（　　）。 【答案】19 【解析】5²−2×3=25−6=19。另一做法错在仍用 ab=6；条件变了。 6．原式 99²=9801。只把 99 改成 98，其余不变，则结果变为（　　）。 【答案】9604 【解析】98²=(100−2)²=10000−400+4=9604。另一做法错在只减 1；平方差很大。 7．原式 (m−n)²=m²−2mn+n²。只把 (m−n) 改成 (m+n)，其余不变，则中间项符号（　　）。 【答案】变正 【解析】改后 (m+n)²=m²+2mn+n²，中间项由 −2mn 变 +2mn。另一做法错在只改一项；整体关系翻转。 8．原式 (x+4)(x−4)=x²−16。只把 4 改成 −4，其余不变，则结果（　　）。 【答案】不变，仍为 x²−16 【解析】(x+(−4))(x−(−4))=(x−4)(x+4)=x²−16，与原式相同。另一做法错在以为符号变了结果变；−4 的平方仍是 16。 9．原式 102×98=9996。只把 102 改成 101、98 改成 99，其余不变，则结果变为（　　）。 【答案】9999 【解析】101×99=(100+1)(100−1)=10000−1=9999。另一做法错在沿用 9996；两个零头都变了。 10．原式 (3a+b)²=9a²+6ab+b²。只把 b 改成 2b，其余不变，则新式为（　　）。 【答案】9a²+12ab+4b² 【解析】改后 (3a+2b)²=9a²+12ab+4b²。另一做法错在只改尾平方漏中项；中项也含 2b。 八、C、公式辨识·找全与反例辨析 1．找全：使 (x+p)(x−p)=x²−16 成立的 p 值（　　）。 【答案】±4 【解析】(x+p)(x−p)=x²−p²=x²−16，故 p²=16，p=±4。另一做法错在只取 p=4；平方方程有两解。 2．反例验证：有人说“(a+b)²=a²+b²”，举一个反例（　　）。 【答案】如 a=1,b=1 时左边4右边2，不等 【解析】(1+1)²=4，1²+1²=2，明显不等。另一说法错把平方当分配；中间 2ab 不能省。 3．找全：a+b=3，ab=2 时 a²+b² 的值（　　）。 【答案】5 【解析】a²+b²=(a+b)²−2ab=9−4=5。另一做法错在直接 3²−2=7；要减 2ab 而非减 ab。 4．如图，从边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，再把剩余部分拼成一个长方形。这个剪拼过程验证的等式是______。 图7-4 【答案】a²−b²＝(a＋b)(a−b) 【解析】剪拼前后面积不变：阴影面积既是 a²−b²，也是长 (a＋b)、宽 (a−b) 的长方形面积。把长写成 a＋2b 或宽写成 a−2b，面积就与原式对不上。 5．找全：能用平方差计算的 (x+2)( ? ) 中，问号处填什么可使两因式有一项相同一项相反，写出一个（　　）。 【答案】如 (x−2) 【解析】要使一项相同一项相反，相同项应是 x，相反项是 2 与 −2，故填 (x−2)。另一做法错在填 (2−x)；那变成两项都相反而非一同一反。 6．反例验证：有人说“两个二项式相乘一定得到三项式”，举一个反例（　　）。 【答案】如 (x+2)(x−2)=x²−4 只有两项 【解析】(x+2)(x−2) 用平方差只剩两项，说明并非都三项式。另一说法错把“一般情形三项”当“必然三项”；有相反项会消中项。 7．找全：由 (a+b)²=25，(a−b)²=9 可得 ab=（　　）。 【答案】4 【解析】两式相减：4ab=16，得 ab=4。另一做法错在把差 16 当 ab；要除以 4。 8．如图，边长为 a＋b 的正方形被分成两个小正方形和两个长方形。由各部分面积之和可验证的等式是______。 图7-8 【答案】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b² 【解析】四个分块面积相加正好是大正方形面积。漏掉两个 ab 中的任一个，就退化为错误的 a²＋ab＋b²。 9．反例验证：有人说“平方差要求两数都为正”，举一个反例（　　）。 【答案】如 (−3+2)(−3−2)=9−4=5 仍成立 【解析】(−3+2)(−3−2)=(−1)(−5)=5=(−3)²−2²，负号下照样成立。另一说法错把公式限制成正实数；字母可带符号。 10．找全：(a+b)³ 展开各项系数之和（令 a=b=1 代入）是（　　）。 【答案】8 【解析】(1+1)³=8，系数和 1+3+3+1=8。另一做法错在只加首尾 1+1=2；四项全加。 九、D、近年真题·乘法公式与杨辉三角 1．（2026年·北京·期中考试）计算 (x+3)(x−3) = ______。 【答案】x²−9 【解析】相同项 x、相反项 3，得 x²−9。易错：写成 (x−3)² 多出中项。 2．（2025年·江苏·期末考试）计算 (2a+1)² = ______。 【答案】4a²+4a+1 【解析】首平方 4a²、尾平方 1、两倍 2·2a·1=4a，得 4a²+4a+1。易错：漏中间项或系数不平方。 3．（2026年·浙江·期中考试）简便计算 99² = ______。 【答案】9801 【解析】99²=(100−1)²=10000−200+1=9801。易错：算成 100²−1 漏 −200。 4．（2025年·广东·期末考试）已知 a+b=5，ab=6，则 a²+b² = ______。 【答案】13 【解析】a²+b²=(a+b)²−2ab=25−12=13。易错：直接用 5² 当答案漏减 2ab。 5．（2026年·山东·期中考试）下列能用平方差公式计算的是（　　）。 A．(x+2)(x+2)　B．(−x+3)(x+3)　C．(x−1)(x+2)　D．(2x+1)(2x−3) 【答案】B 【解析】B 相同项 3、相反项 ∓x，可套；A 是完全平方，C、D 无相同项。易错：误把 A 当平方差。 6．（2025年·湖北·期末考试）计算 (a−b)² = ______（用 a,b 表示）。 【答案】a²−2ab+b² 【解析】差公式展开即 a²−2ab+b²。易错：尾平方写负或漏中项。 7．（2026年·四川·期中考试）杨辉三角中 (a+b)³ 展开式各项系数是（　　）。 A．1,1,1　B．1,2,1　C．1,3,3,1　D．1,4,6,4,1 【答案】C 【解析】(a+b)³ 对应第 3 行，系数 1,3,3,1，选C。易错：误选 B（那是平方）。 8．（2025年·湖南·期末考试）已知 (m+n)²=36，(m−n)²=16，则 mn = ______。 【答案】5 【解析】两式相减 4mn=20 得 mn=5。易错：把差 20 直接当 mn。 十、E、公式辨识·一条公式链三问收口 1．计算：(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)＋1＝______。 【答案】256 【解析】先乘 (2−1)＝1，连续用平方差得 2⁸−1，再加 1 得 2⁸＝256。逐项硬乘既繁又易错；补一个 (2−1) 是这类连乘题的钥匙。 2．先化简，再求值：(2x＋3)²−(2x＋3)(2x−3)，其中 x＝−1。 【答案】化简得 12x＋18；当 x＝−1 时值为 6 【解析】先分别按完全平方、平方差展开再合并同类项，最后代入。没化简就代入，展开式里的 x² 项没法抵消，容易算错。 3．对 a+b=5,ab=6：(1) 定解 a²+b²=（　　）；(2) 找一解 (a,b)=（　　）；(3) 改一个条件 ab=4，则 a²+b²=（　　）。 【答案】13；(2,3)；17 【解析】第(1)问 25−12=13。第(2)问 (2,3) 满足。第(3)问 25−8=17；只改 ab。 4．利用完全平方公式简算：102²＝______。 【答案】10404 【解析】把 102 写成 (100＋2)²，展开为 10000 ∓ 2×100×…＋…。直接竖式相乘既慢又易错；凑整才是本题要练的。 5．利用平方差公式简算：102×98＝______。 【答案】9996 【解析】102×98＝(100＋2)(100−2)＝100²−2²＝9996。写成 (100＋2)² 就把乘积算大了 8。 6．计算：(3x＋2)²＝______。 【答案】9x²＋12x＋4 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项系数是 12。漏写中间项、或把 2ab 写成 ab，都是套公式不熟。 十一、课堂检测 1．计算：(4x＋1)²＝______。 【答案】16x²＋8x＋1 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项系数是 8。漏写中间项、或把 2ab 写成 ab，都是套公式不熟。 2．计算 (a+3)² = ______。 【答案】a²+6a+9 【解析】首平方 a²、尾平方 9、两倍 2·a·3=6a，得 a²+6a+9。另一做法错在中间项写成 3a；漏乘 2。 3．计算 (4−t)(4+t) = ______。 【答案】16−t² 【解析】相同项 4、相反项 t，得 16−t²。另一做法错在写成 t²−16；相同项 4 的平方在前。 4．计算：(1x＋3)²＝______。 【答案】x²＋6x＋9 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项系数是 6。漏写中间项、或把 2ab 写成 ab，都是套公式不熟。 5．简便计算 103×97 = ______。 【答案】9991 【解析】103×97=(100+3)(100−3)=10000−9=9991。另一做法错在硬乘出错；凑整百最稳。 6．计算 (m−2)² = ______。 【答案】m²−4m+4 【解析】首平方 m²、尾平方 4、两倍 2·m·2=4m 带负，得 m²−4m+4。另一做法错在尾平方写成 −4；平方恒正。 7．计算：(2x＋7)²＝______。 【答案】4x²＋28x＋49 【解析】(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项系数是 28。漏写中间项、或把 2ab 写成 ab，都是套公式不熟。 8．已知 a+b=4，ab=3，则 a²+b² = ______。 【答案】10 【解析】a²+b²=(a+b)²−2ab=16−6=10。另一做法错在直接用 4²=16 当答案；要减 2ab。 9．计算 (5y+2)(5y−2) = ______。 【答案】25y²−4 【解析】相同项 5y，得 (5y)²−2²=25y²−4。另一做法错在把 5y 平方算成 5y²；系数要平方。 10．利用乘法公式简算：103²＝______。 【答案】10609 【解析】把 103 凑成 100±3，用 (100±3)²＝10000±600＋9。直接列竖式既慢又容易在进位上出错。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $