16.3乘法公式（高频考点讲义）2026-2027人教版八年级上册数学

16.3 乘法公式 学习目标与重难点 1、经历平方差公式、完全平方公式的推导过程，能用多项式乘法法则解释公式的由来。 2、掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能用公式进行简单的乘法运算。 3、能根据公式特点进行变形应用，体会整体思想和数形结合在公式理解中的作用。 重点：平方差公式和完全平方公式的推导、结构特征及直接应用。 难点：准确识别公式中 a、b 所代表的代数式，避免符号错误；区分两个公式的结构差异，防止完全平方公式漏写中间项；灵活运用公式进行简便计算和变形。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 利用平方差公式计算 题型02 利用平方差公式求值 题型03 利用平方差公式简便运算 题型04 平方差公式的几何意义 题型05 利用完全平方公式计算 题型06 利用完全平方公式简便运算 题型07 利用完全平方公式变形求值 题型08 利用完全平方公式的特点求值 题型09 完全平方公式的几何意义 题型10 乘法公式的综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点1 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 【针对训练】 【典例精讲】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项去括号，最后计算单项式除以单项式即可； （2）先计算积的乘方和利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再计算单项式除以单项式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】实践应用： (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 ．（写出两数平方差的形式） (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ，（写成多项式乘法的形式） (3)比较图1，图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ，（用等式表达） (4)运用你所得的公式，计算下列各题： 【答案】(1) (2) (3) (4)99.91 【思路引导】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【规范解答】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）解：由图可知长方形的宽是，长是，所以面积是； 故答案为：，，； （3）解：由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4）解：原式 ． 知识点2 平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【针对训练】 【典例精讲】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)5 (3)120 【思路引导】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【规范解答】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 且， ∴ ． （3）解：如图3，延长，交于一点E， ∵四边形是正方形， ∴ ，， . 【变式训练1】乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用. （1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得； （2）根据矩形的面积公式计算即可； （3）根据阴影部分面积相同列等式即可； （4）根据平方差的公式进行分析计算即可． 【规范解答】（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积； 故答案为； （2）长方形的宽为，长为，面积=长×宽， 故答案为； （3）由（1）、（2）得到， 故答案为； （4）由（3）得到， ∴ = = =. 知识点3 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 【针对训练】 【典例精讲】已知：化简的结果中不含项和项． (1)求的值； (2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)式子不是完全平方式，理由见解析 【思路引导】（）根据多项式乘以多项式的运算法则化简式子，再根据结果中不含项和项，得出项和项的系数为，解方程即可求解； （）把（）所得结果代入式子即可说明； 本题考查了多项式乘以多项式不含某项的问题，完全平方式，正确计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ， ∵化简的结果中不含项和项， ∴，， 解得，； （2）解：式子不是完全平方式，理由如下： 由（）得，，， ∴， ∴式子不是完全平方式． 【变式训练1】（1）若，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）36；（2），4 【思路引导】本题考查了幂的运算，整式的化简求值，解题的关键是： （1）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可； （2）先根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，然后把x的值代入计算即可． 【规范解答】解∶（1）∵，， ∴ ； （2） ， 当时，原式． 知识点4 完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 【针对训练】 【典例精讲】数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 【答案】(1) (2)①3；②；③ 【思路引导】本题主要考查完全平方公式，数形结合及灵活应用是解题的关键． （1）分别用表示出图①和图②，从而即可得出等式； （2）①通过（1）中的结论变形即可求解； ②设，，则，，利用（1）中结论求解即可； ③设，通过等量代换及（1）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：图②大正方形得面积为，它由图①中种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成的， ∴图②大正方形的面积为， ∴； （2）解：①， ． ． ， ； ②设，，则，， ∵， ∴， 解得， 故； ③设，则，． ， ， ， ， ， 即， ． 【变式训练1】如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，求一个数的平方根，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）观察图意直接得出正方形的边长是； （2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积； （3）把（2）中的两个代数式联立得到，据此代值计算即可． 【规范解答】（1）解：由图形可得：图2的阴影部分的正方形的边长是； 故答案为：； （2）解：方法1：利用正方形面积面积公式可得； 方法2：利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，可得； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 高频考题典例精析 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】不能用平方差公式运算的是（　　） A．（x+2）（x﹣2） B．（2m+n）（﹣2m﹣n） C．（﹣2a+b）（2a+b） D．（y﹣x）（﹣y﹣x） 【答案】B 【解答】解：（x+2）（x﹣2）满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意， （2m+n）（﹣2m﹣n）＝﹣（2m+n）（2m+n），它不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B符合题意， （﹣2a+b）（2a+b）＝（b﹣2a）（b+2a），它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意， （y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y﹣x）（y+x），它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意， 故选：B． 【变式1】下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（　　） A．（3y﹣x）（﹣3y﹣x） B．（x+3y）（﹣x﹣3y） C．（x﹣5y）（﹣x+3y） D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y） 【答案】A 【解答】解：A、（3y﹣x）（﹣3y﹣x）＝﹣（3y﹣x）（3y+x）＝﹣9y2+x2，能用平方差公式计算，符合题意； B、（x+3y）（﹣x﹣3y）＝﹣（x+3y）2，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、（x﹣5y）（﹣x+3y），不能用平方差公式计算，不符合题意； D、（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y）＝（x+3y）2，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】若（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4，则m等于（　　） A．2 B．±2 C．±4 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：∵（x+m）（x﹣m）＝x2﹣m2，（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4， ∴x2﹣m2＝x2﹣4， ∴m2＝4， 解得：m＝±2． 故选：B． 【变式1】已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．7 D．﹣7 【答案】A 【解答】解：∵x+y＝5，x﹣y＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×2＝10． 故选：A． 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】简便运算：2025×2023﹣20242＝ 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝（2024+1）×（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式1】用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：依题意，5002﹣499×501＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣5002+1＝1， 故答案为：1． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，图①阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图②阴影部分面积为：AH•CH＝（a+b）（a﹣b）， ∵这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【变式1】以下四种方法中能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：图①中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的平行四边形的底为a+b，高为a﹣b，所以面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 图②中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的长方形的长为a+b，宽为a﹣b，所以面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 图③中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的平行四边形的底为a+b，高为a﹣b，所以面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 图④中，阴影部分的面积可以表示为两个正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼成的长方形的长为2a，宽为2b，所以面积为4ab，因此有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 综上所述，能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有①②③， 故答案为：①②③． 题型05 利用完全平方公式计算 【典例1】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【答案】D 【解答】解：A．（x+y）2＝x2+2xy+y2，因此选项A不符合题意； B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，因此选项B不符合题意； C．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2＝（x+y）2，因此选项C不符合题意； D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝（y﹣x）2，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 题型06 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2024+20242 ＝（2025﹣2024）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 【变式1】用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 【答案】（1）100；（2）90000． 【解答】解：（1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝（10.1﹣0.1）2＝100； （2）2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝（202+98）2＝3002＝90000． 题型07 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为　45　 ． 【答案】45． 【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∴x2+y2＝72﹣2×2＝45． 故答案为：45． 【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】A 【解答】解：∵a2﹣b2＝15， ∴（a+b）（a﹣b）＝15， ∵（a﹣b）2＝9， ∴a﹣b＝±3， ∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴a﹣b＝﹣3， ∴a+b＝﹣5， ∴（a+b）2＝25， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝25﹣9＝16， ∴ab＝4， 即ab的值为4， 故选：A． 题型08 利用完全平方公式的特点求值 【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】D 【解答】解：∵x2+ax+4是一个完全平方式， ∴x2+ax+4＝x2±2x×2+22， ∴a＝±2×2＝±4． 故选：D． 【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　） A．6或﹣8 B．13 C．﹣8 D．13或﹣15 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+49是完全平方式， ∴﹣（m+1）＝±14， 即m+1＝﹣14或m+1＝14， 解得：m＝13或﹣15， 故选：D． 题型09 完全平方公式的几何意义 【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】C 【解答】解：图中左下角的正方形面积可以表示为：（a﹣b）2，也可以表示为a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故选：C． 【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（　　） A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab 【答案】A 【解答】解：图②中，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四个图①长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故选：A． 题型10 乘法公式的综合应用 【典例1】计算： （1）（2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x+y﹣3z）2 ＝[（2x+y）﹣3z]2 ＝（2x+y）2﹣2•（2x+y）•3z+9z2 ＝4x2+4xy+y2﹣12xz﹣6yz+9z2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4） ＝[（x+4）﹣y][（x+4）+y] ＝（x+4）2﹣y2 ＝x2+8x+16﹣y2． 【变式1】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2 ＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc； （2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． 1．已知实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 2．下列各式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】寻找一组项相同、另一组项互为相反数的两个二项式相乘的选项． 【详解】解：A选项两项均相同，不符合要求． B、D选项的两个二项式两项均互为相反数，不符合要求． C选项中为相同项，与互为相反数，符合要求． 3．，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的变形运算把原式转化为，再代入已知计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 4．观察题图，从图1到图2可表示的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可得，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的平行四边形，再根据面积关系即可得结论． 【详解】解：由图可知，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的底为，高为的平行四边形，则图2的面积为， ∵图1中四个等腰梯形的面积和可以看作是两个正方形的面积差，即， ∴从图1到图2可表示的等式为． 5．已知，，则代数式的值为（     ） A．11 B． C． D．7 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ ． 6．已知，则常数的值为（     ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】B 【详解】解：∵，且， ∴． ∴，． 解得， ∴． 7．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：原式． 8．计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 9．计算：______． 【答案】 【分析】将和改写为与相关的式子，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ． 10．已知，则__________． 【答案】 【分析】将等式左边按完全平方公式展开，对比两边同类项的系数即可得到的值. 【详解】解：∵对等式左边用完全平方公式展开，得 计算整理得： ∵已知 ∴对比等式两边一次项系数，得. 11．求值： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，求与的值． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：， ， ， ， ． 12．下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的因式变形，判断是否可化为两个相同二项式的乘积，即可确定能否使用完全平方公式． 【详解】解：A选项：，可用完全平方公式计算，故该选项不符合题意； B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算，故该选项符合题意； C选项：，可用完全平方公式计算，故该选项不符合题意； D选项：，可用完全平方公式计算，故该选项不符合题意． 13．如图，小龙同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（     ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：①根据图1、2不能得，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③如图所示，可看作边长为的正方形的面积，图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意； 故选：D． 14．已知，，则的值（     ） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．无法确定 【答案】A 【分析】先计算的表达式，配方后结合平方的非负性判断符号． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴的值为正数． 15．下列算式不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合乘法公式的结构特征可快速排查可疑选项，再验证其余选项的正确性． 【详解】解：A选项，，运算正确； B选项，，运算正确； C选项，，故，运算正确； D选项，，原式展开错误． 16．已知实数满足，则代数式有（     ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，没有最小值 C．没有最大值，最小值为 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先利用平方差公式化简所求代数式，再结合已知条件通过完全平方的非负性确定的取值范围，进而得到代数式的最值． 【详解】解：． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴， ∴， ∴， 即代数式最大值为，最小值为． 17．某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出图1，图2阴影部分的面积，即可解答． 【详解】解：图1的面积为， 图2的面积为， 因此可以验证的乘法公式是． 18．已知：，求的值__________． 【答案】2023 【分析】由已知方程判断，将方程两边同除以得到的整体值，再利用完全平方公式的变形计算目标代数式的值． 【详解】解：∵ 若，代入的左边得， ∴ ， 根据等式的性质，可将方程两边同时除以，得到，整理得． ∵ 由完全平方公式展开，变形可得， ∴ 将代入上式，得． 19．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得请你再给赋不同的值，可计算得__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式赋值法或完全平方展开，两种方法均可求解． 【详解】方法一（赋值法）： 令，，得； 令，，即， 移项计算得． 方法二（展开对比）： ， 得， ． 20．若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 21．若，则_______ ． 【答案】 【分析】对两边同时平方，化简即可． 【详解】解：对已知等式两边同时平方，即， 根据完全平方公式展开，得， 化简后得， 移项整理得． 22．如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：________________． 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： (2)已知，，则的值为________； (3)两个正方形、如图3摆放．边长分别为，，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）根据题意求出的值，进而求出的值，再根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的边长为，则其面积为， 大正方形的面积等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， 则； （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ． 23．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形先求出，进而根据丙图求解即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：，即， ∴， 由乙得：， ∴，．， ∴， ∴， 由丙得知：． 24．已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把原式变形为，由得到平方和为. 又由即可求出答案． 【详解】解：将每个完全平方展开，得 分别合并同类项，个常数1相加得，故 原式． ∵ 的值为1或， ∴ ，即平方和为． ∵ ， ∴ 原式． 25．已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为； 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先推导两个连续正奇数的平方差的性质，再逐一分析三个说法的正确性． 【详解】解：设两个连续正奇数为和（为正整数）， 则它们的平方差为，故所有均为的正整数倍． ①由上述推导，是两个连续正奇数的平方差，必为的整数倍，故①正确； ②当时，，且，均为的正整数倍． 设，（为正整数，），则，即． 满足条件的有：，共组，对应个整式，故②正确； ③当时，，已知，故，且，均为的倍数． 设（为正整数，因），则，由得。 因是的倍数，除以余，故除以余，即为奇数，可取，对应． 时，，舍去； 时，，舍去； 时，，结合且是的倍数，得． 此时即，又，解得，． 多项式为完全平方式，则． 时，，结合且是的倍数，得或． 时，，，解得，，则． 时，，，解得，，则． 所有的和为，故③错误． 综上，正确的有个． 26．已知，则________． 【答案】 【分析】由已知等式得，将待求多项式的高次项逐步降次，化简后计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴， ． 将上述结果代入待求式： ． 27．已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 【答案】 【分析】求出，，…中，或的个数是个，，，…中，的个数是个，的个数是个，的个数是个，据此进行解答即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵个数，，…从，，中取值． ∴，，…中，或的个数是，，，…中，的个数是， ∵，或的个数是，，，…中，的个数是， ∴比多个， 即的个数是（个），的个数是（个）， ∴ 28．规定新运算：． （1）计算：_____． （2）若正数满足，则代数式的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）代入新运算解答即可； （2）根据新运算可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵正数满足， ∴， ∴，即， ∴， 即当时，代数式取得最小值，最小值为16． 29．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义可得，再根据完全平方式的特点即可得到答案； （3）根据定义得到，进一步可求出，再根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3 乘法公式 学习目标与重难点 1、经历平方差公式、完全平方公式的推导过程，能用多项式乘法法则解释公式的由来。 2、掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能用公式进行简单的乘法运算。 3、能根据公式特点进行变形应用，体会整体思想和数形结合在公式理解中的作用。 重点：平方差公式和完全平方公式的推导、结构特征及直接应用。 难点：准确识别公式中 a、b 所代表的代数式，避免符号错误；区分两个公式的结构差异，防止完全平方公式漏写中间项；灵活运用公式进行简便计算和变形。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 利用平方差公式计算 题型02 利用平方差公式求值 题型03 利用平方差公式简便运算 题型04 平方差公式的几何意义 题型05 利用完全平方公式计算 题型06 利用完全平方公式简便运算 题型07 利用完全平方公式变形求值 题型08 利用完全平方公式的特点求值 题型09 完全平方公式的几何意义 题型10 乘法公式的综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点1 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 【针对训练】 【典例精讲】计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】实践应用： (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 ．（写出两数平方差的形式） (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ，（写成多项式乘法的形式） (3)比较图1，图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ，（用等式表达） (4)运用你所得的公式，计算下列各题： 知识点2 平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【针对训练】 【典例精讲】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【变式训练1】乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 知识点3 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 【针对训练】 【典例精讲】已知：化简的结果中不含项和项． (1)求的值； (2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由． 【变式训练1】（1）若，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 知识点4 完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【针对训练】 【典例精讲】数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 【变式训练1】如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3)若，且，，求的值． 高频考题典例精析 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】不能用平方差公式运算的是（　　） A．（x+2）（x﹣2） B．（2m+n）（﹣2m﹣n） C．（﹣2a+b）（2a+b） D．（y﹣x）（﹣y﹣x） 【变式1】下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（　　） A．（3y﹣x）（﹣3y﹣x） B．（x+3y）（﹣x﹣3y） C．（x﹣5y）（﹣x+3y） D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y） 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】若（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4，则m等于（　　） A．2 B．±2 C．±4 D．以上都不对 【变式1】已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．7 D．﹣7 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】简便运算：2025×2023﹣20242＝ 　 　 ． 【变式1】用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　 　 ． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【变式1】以下四种方法中能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　 　 （填序号）． 题型05 利用完全平方公式计算 【典例1】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【变式1】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 题型06 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　 　 ． 【变式1】用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 题型07 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为　 　 ． 【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 题型08 利用完全平方公式的特点求值 【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　） A．6或﹣8 B．13 C．﹣8 D．13或﹣15 题型09 完全平方公式的几何意义 【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（　　） A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2ab D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab 题型10 乘法公式的综合应用 【典例1】计算： （1） （2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）． 【变式1】计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 1．已知实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．下列各式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．观察题图，从图1到图2可表示的等式为（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则代数式的值为（     ） A．11 B． C． D．7 6．已知，则常数的值为（     ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 7．计算：________． 8．计算：_____． 9．计算：______． 10．已知，则__________． 11．求值： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，求与的值． 12．下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 13．如图，小龙同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（     ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 14．已知，，则的值（     ） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．无法确定 15．下列算式不正确的是（     ） A． B． C． D． 16．已知实数满足，则代数式有（     ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，没有最小值 C．没有最大值，最小值为 D．以上说法都不对 17．某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 18．已知：，求的值__________． 19．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得请你再给赋不同的值，可计算得__________． 20．若是一个完全平方式，则的值是___________． 21．若，则_______ ． 22．如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：________________． 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： (2)已知，，则的值为________； (3)两个正方形、如图3摆放．边长分别为，，若，，求图中阴影部分的面积． 23．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．76 B．77 C．78 D．79 24．已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为； 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 26．已知，则________． 27．已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 28．规定新运算：． （1）计算：_____． （2）若正数满足，则代数式的最小值为_____． 29．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $