精品解析：广东深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2026 — 2027 学年第一学期期中学情调研试卷 九年级数学

2026—2027学年第一学期期中学情调研试卷 九年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共4页，共20道题，考试时间90分钟，满分100分． 3．选择题答案用2B铅笔涂到答题卡的相应位置上，非选择题答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题卡指定位置，否则其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠；考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 3. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 有一个锐角相等的两个直角三角形 C. 两个菱形 D. 有一个角相等的两个等腰三角形 4. 方程根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的两个不相等的实数根，，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点D，于点E，下列线段的比等于的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一张长、宽的长方形硬纸片，四个角上裁去四个小正方形后折成无盖长方体纸盒，下列说法正确的是（ ）． A. 裁去的小正方形边长越大，纸盒体积越大． B. 当纸盒表面积为时，纸盒体积为． C. 设纸盒高为，则底面积可以表示为． D. 若纸盒底面面积为，则纸盒的高为． 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分） 9. 太阳光线可以看成平行光线．若同一时刻，身高的小明影长为，旁边一棵树影长为，则这棵树的高度为______． 10. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则代数式的值为_____． 11. 一个五角星如图所示，则____． 12. 用一根长为的绳子，能围出面积为______的矩形．（写出一个即可） 13. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，，交于点，交的延长线于点，若，则的长为_____． 三、解答题（本题共有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 已知方程的一个根是． （1）求方程的另一个根及k的值； （2）在如图所示的网格中有，用无刻度直尺画一个，以点A为位似中心使它与位似，且相似比为k． 16. 某种植基地2024年草莓平均每株产量是10千克，若每斤草莓卖15元，每天可售出200斤．在专业种植技术人员的指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长． （1）若每年的增长率基本相同，2026年达到了平均每株产量16.9千克，求草莓产量的年平均增长率； （2）某商铺以9元/斤的价格购进一批草莓，随着草莓产量的提高，该商铺开始进行打折销售，根据市场调查显示：每斤售价降低1元，则可多售出60斤．为最大程度让利顾客，当草莓每斤降价多少元时，该商铺的日利润可达到1280元． 17. 如图，已知和线段，以为边作，使．用两种不同的方法作出符合要求的（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在，上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 19. 如图1，公园广场上有一棵树，底部可到达但顶部不可到达，数学活动小组想利用皮尺、标杆等工具测量树的高度． （1）“龙腾”组选择图2方法进行测量，可测量数据有：，，，，则需测量的数据为              ，根据所选择的数据，求树高（结果用字母表示）； （2）“高远”组选择图3方法进行测量，将长度分别为和的两根标杆分别放在和处，两杆之间的距离，点距离点，点，，三点共线，点距离点，点，，也三点共线，求树高． 20. 探究纸片中的数学奥秘： （1）如图1，将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点，得到矩形，实验小组发现：矩形与矩形相似．若，求的长； （2）如图2，将矩形纸片沿折叠，顶点落在边的中点，顶点落在纸片外的点．求证：； （3）如图3，将一张长为40，宽为30的矩形纸片沿对角线剪开，得到，点在上，点在上，点，在上，能否继续剪裁得到一个矩形，使其与原矩形纸片相似？若能，求出矩形的长与宽；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中学情调研试卷 九年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共4页，共20道题，考试时间90分钟，满分100分． 3．选择题答案用2B铅笔涂到答题卡的相应位置上，非选择题答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题卡指定位置，否则其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠；考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从正上方观察该组合几何体，确定其投影形状． 【详解】解：该几何体由上部的圆锥和下部的圆柱组合而成， ∵从上往下看，圆锥的俯视图是一个圆及其圆心，圆柱的俯视图是一个圆， ∴该几何体的俯视图是一个圆，且圆心处有一点，观察选项，只有B符合， 故选B． 2. 下列图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合，即可选出正确选项． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． 3. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 有一个锐角相等的两个直角三角形 C. 两个菱形 D. 有一个角相等的两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：A、∵两个矩形对应角均为，但对应边不一定成比例，∴不一定相似； B、∵两个直角三角形均有角，且有一个锐角相等，∴两角分别相等，两三角形一定相似； C、∵两个菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，∴不一定相似； D、∵有一个角相等的两个等腰三角形，相等的角可能分别为顶角和底角，对应角不一定相等，∴不一定相似． 4. 方程根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，即可求解． 【详解】解：， ， ， 该方程无实数根． 5. 如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意可知菱形的对角线分别为，， 则菱形的面积为：． 6. 一元二次方程的两个不相等的实数根，，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无需解方程，直接利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和与两根之积，对比选项判断． 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根为，，且，，. ∴ 由根与系数的关系得 ，． 7. 如图，在中，，于点D，于点E，下列线段的比等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出，结合垂直定义证明，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论； 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 8. 如图，一张长、宽的长方形硬纸片，四个角上裁去四个小正方形后折成无盖长方体纸盒，下列说法正确的是（ ）． A. 裁去的小正方形边长越大，纸盒体积越大． B. 当纸盒表面积为时，纸盒体积为． C. 设纸盒高为，则底面积可以表示为． D. 若纸盒底面面积为，则纸盒的高为． 【答案】D 【解析】 【详解】解：设小正方形的边长为，长方体纸盒的长为：，宽为，且， 则纸盒的体积为：， 当接近于8时，纸盒的体积接近于0，故A项说法错误； 纸盒的表面积等于原长方形纸张的面积减去四个小正方形的面积，则：， 解得：， 则体积为：，故B项错误； 纸盒高为，即小正方形的边长为，底面积可以表示为，故C项错误； 令， 解得：，（，大于8，舍去）， 则：纸盒的高为，则D项正确． 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分） 9. 太阳光线可以看成平行光线．若同一时刻，身高的小明影长为，旁边一棵树影长为，则这棵树的高度为______． 【答案】8 【解析】 【分析】同一时刻平行投影下，物体与自身影长构成的直角三角形相似，对应边成比例，可通过建立比例等式求解树的高度． 【详解】解：∵太阳光线为平行光线，人和树都垂直于地面， ∴人与自身的影子构成的直角三角形和树与自身的影子构成的直角三角形相似， ∴两个直角三角形的对应边成比例，即物体高度与对应影长的比值相等， 设这棵树的高度为， 根据题意列比例式：， 计算得， 解得． 10. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则代数式的值为_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程求出的整体值，再通过整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程，得， 整理得， ∴． 11. 一个五角星如图所示，则____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，可知五边形为正五边形，，先通过正多边形的内角和公式，求得，接着利用三角形内角和定理和等边对等角求得，，接着证明，不妨设，那么，利用相似三角形对应边成比例求得，从而得到，继而求得答案． 【详解】解：由题意可知，五边形为正五边形，， ∵五边形为正五边形， ∴其内角和为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 不妨设，那么， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∴． 12. 用一根长为的绳子，能围出面积为______的矩形．（写出一个即可） 【答案】18（答案不唯一，满足的数值均可） 【解析】 【分析】根据矩形周长公式得到邻边长度和，推导面积的取值范围，选取范围内的合理值即可． 【详解】解：∵ 绳子总长为，即围成的矩形周长为， ∴ 矩形相邻两边的长度之和为， 设矩形的一边长为，则邻边长为，对应面积为， 当时，面积取得最大值， 取，则邻边长为，此时面积为，符合围建要求． 13. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，，交于点，交的延长线于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O，过点P作于点H，利用正方形性质和互余关系证明，通过相似比求出的长，进而求得． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点P作于点H， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 三、解答题（本题共有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）移项整理后通过因式分解求解方程； （2）通过配方法求解方程； 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 15. 已知方程的一个根是． （1）求方程的另一个根及k的值； （2）在如图所示的网格中有，用无刻度直尺画一个，以点A为位似中心使它与位似，且相似比为k． 【答案】（1）， （2）即为所作 【解析】 【分析】（1）将代入原方程即可求出k，再将k代入原方程，整理后利用因式分解法即可求出另外一个根； （2）利用平行线分线段成比例，作答即可． 【小问1详解】 解：∵方程的一个根是， ∴， ∴， 即， ， 即，或者， ∴，， ∴方程的另一个根为：； 【小问2详解】 根据（1）可知，即相似比为， 如图，取格点，再连线，构造两组平行线，即：，， 直线与线段交于点E，直线与线段交于点F，连接， 即为所作． 证明：∵， ∴结合网格有：， ∴， 同理：， ∴是以点A为位似中心与位似，相似比为． 16. 某种植基地2024年草莓平均每株产量是10千克，若每斤草莓卖15元，每天可售出200斤．在专业种植技术人员的指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长． （1）若每年的增长率基本相同，2026年达到了平均每株产量16.9千克，求草莓产量的年平均增长率； （2）某商铺以9元/斤的价格购进一批草莓，随着草莓产量的提高，该商铺开始进行打折销售，根据市场调查显示：每斤售价降低1元，则可多售出60斤．为最大程度让利顾客，当草莓每斤降价多少元时，该商铺的日利润可达到1280元． 【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为 （2）当草莓每斤降价元时，该商铺的日利润可达到元 【解析】 【分析】（1）根据增长率问题的数量关系列一元二次方程求解； （2）根据总利润与单斤利润、销售量的等量关系列方程，结合最大让利的要求选取符合题意的解. 【小问1详解】 解：设草莓产量的年平均增长率为x， 由题意得 解得（舍去）， 答：草莓产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设草莓每斤降价元， 由题意得， 解得， ∵要最大程度让利顾客， ∴， 答：当草莓每斤降价2元时，该商铺的日利润可达到1280元． 17. 如图，已知和线段，以为边作，使．用两种不同的方法作出符合要求的（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】方法一： 解：如图所示，为所求． 方法二： 解：如图所示，为所求． 【解析】 【分析】利用相似的判定定理进行作图． 【详解】解：方法一：作，， 理由：两角分别相等的两个三角形相似； 作法：以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点M、N， 以点E为圆心，保持上一步的半径画弧，和交于点P， 以点P为圆心，长为半径画弧，和上一步的弧交于点S， 连接并延长， 以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点Z、U， 以点F为圆心，保持上一步的半径画弧，和交于点L， 以点L为圆心，长为半径画弧，和上一步的弧交于点O， 连接并延长和的延长线交于点D， 则为所求． 方法二：相似比， 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P、S， 以点E为圆心，保持上一步的半径画弧，和交于点N， 以点N为圆心，长为半径画弧，和上一步的弧交于点T， 连接并延长， 作的垂直平分线，分别以A、B为圆心，任意长为半径在线段两侧画弧，两组弧各交于一点， 连接两组弧的交点，交于点M，则， 以点E为圆心，长为半径画弧，和的延长线交于点D， 则为所求． ，，， 理由：两组对边对应成比例，且交角相等的两个三角形相似． 18. 如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在，上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用四边形的对角线相等且互相平分的性质证明即可； （2）先求出矩形面积，进而得出，再根据，可求出的面积，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴矩形的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图1，公园广场上有一棵树，底部可到达但顶部不可到达，数学活动小组想利用皮尺、标杆等工具测量树的高度． （1）“龙腾”组选择图2方法进行测量，可测量数据有：，，，，则需测量的数据为              ，根据所选择的数据，求树高（结果用字母表示）； （2）“高远”组选择图3方法进行测量，将长度分别为和的两根标杆分别放在和处，两杆之间的距离，点距离点，点，，三点共线，点距离点，点，，也三点共线，求树高． 【答案】（1）a、h、c， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得据此确定需测量的数据，即可作答； （2）先用表示出，，再证明，，根据相似的性质即可作答． 【小问1详解】 解：根据图形可知，， 即有，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴需要测量的数据为：a、h、c， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，， 根据图形可知，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 解得， 即：树高为． 20. 探究纸片中的数学奥秘： （1）如图1，将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点，得到矩形，实验小组发现：矩形与矩形相似．若，求的长； （2）如图2，将矩形纸片沿折叠，顶点落在边的中点，顶点落在纸片外的点．求证：； （3）如图3，将一张长为40，宽为30的矩形纸片沿对角线剪开，得到，点在上，点在上，点，在上，能否继续剪裁得到一个矩形，使其与原矩形纸片相似？若能，求出矩形的长与宽；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）根据折叠有：，， ∵矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）能，矩形的长与宽分别为和或者和； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似的性质，矩形的性质，折叠的性质等知识． （1）先用表示出，根据矩形与矩形相似，即可得，进而可得关于的一元二次方程，解方程即可求解； （2）利用对顶角相等，直角三角形中两余角互补等知识证明，即可证明； （3）设，证明，之后表示出，，进而表示出，，再证明，表示出，则可表示出，根据矩形与矩形纸片相似，分情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：根据折叠有：， ∵矩形纸片，，矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 整理得：， 解得：（负值舍去）， 经检验：是原分式方程的解， ∴； 【小问2详解】 见答案 【小问3详解】 如图，设， 根据题意有：，，，即， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵矩形与矩形纸片相似， 则应分情况讨论： 第一种情况：当时，有：， 解得：，经检验，此解是原分式方程的解； 则：，； 第二种情况：当时，有：， 解得：，经检验，此解是原分式方程的解； 则：，； 综上：矩形的长与宽分别为和或者和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $