2026-2027学年人教版数学八年级上册11月 月考试卷

人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称、第16章 整式的乘法、第17章 因式分解 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称、第16章 整式的乘法、第17章 因式分解 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 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学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称、第16章 整式的乘法、第17章 因式分解 参考答案与解析 1．（3分）我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（　　） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边 C．三角形的内角和为180° D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：由“为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构”可知，这样操作主要利用了三角形的稳定性，故选：D． （来源：2026•浦北县二模） 2．（3分）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【解答】解： ∵m、n均为正整数，且2m+3n＝5， ∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32．故选：C． （来源：2024秋•康县期末） 3．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；⑧三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④每边上的高也是这边上中线的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解： ∵①有两个角等于60°， ∴第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于60°的等腰三角形， ∴根据等腰三角形的性质得，若顶角为60°，则底角为=60°；若底角为60°，则另一个底角为60°，顶角为60°， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等，设每个外角为x，则每个内角为180°﹣x， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为60°，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，BC边上的高也是中线，则AB＝AC），同理，从其他边可得AB＝BC、AC＝BC， ∴三边相等，为等边三角形，综上所述，①②③④都是等边三角形，所以只有选项D正确，符合题意．故选：D． （来源：2025秋•西城区校级月考） 4．（3分）下列各式计算正确的有（　　）①（3a2）3＝27a6；②（﹣5a5b5）2＝﹣25a25b25；③（2x2y3）4＝16x8y12；④(-ab2)3=-ab6． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解答】解： ∵（3a2）3＝27a6，（﹣5a5b5）2＝25a10b10，（2x2y3）4＝16x8y12；（-ab2）3=-a3b6， ∴①，③式计算正确，②，④式计算错误，故选：B． （来源：2026春•玄武区校级月考） 5．（3分）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+)(1+)(1+)(1+)+=（　　） A．2- B．2+ C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：原式＝2×（1-）×(1+)(1+)(1+)(1+)+＝2×（1-）（1+）(1+)(1+)+＝2×（1-）（1+）（1+）+＝2×（1-）（1+）+＝2×（1-）+＝2-+＝2，故选：D． （来源：2024春•胶州市校级月考） 6．（3分）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米， ∵a＞b， ∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab， ∴面积变小了，故选：A． （来源：2023秋•蓬溪县期末） 7．（3分）点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（　　） A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】A 【解答】解：点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝2对称，故选：A． （来源：2019秋•越城区期末） 8．（3分）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，13＝32+22，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（　　） A．17是和谐数 B．a2﹣2ab+2b2（a，b是整数）不一定是和谐数 C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当k＝13时，x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）是“和谐数” 【答案】B 【解答】解：定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断可得：A． ∵17＝12+42， ∴17是和谐数，故该说法正确，不符合题意；B． ∵a2﹣2ab+2b2＝（a﹣b）2+b2， ∴a2﹣2ab+2b2（a，b是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意；C． ∵= ＝mn， ∵m，n都是“和谐数”，设m＝a2+b2，n＝c2+d2， ∴原式＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd﹣2acbd＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2， ∴也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意；D． ∵k＝13， ∴x2+4y2+4x﹣12y+k＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9）＝（x+2）2+（2y﹣3）2， ∴当k＝13时，x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意．故选：B． （来源：2025秋•泸州期末） 9．（3分）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 ． 【答案】②④ 【解答】解，① ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）， ∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°-（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①错误；② ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH． ∵EF∥BC， ∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF， ∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF， ∴BE＝EH，HF＝CF， ∴EF＝EH+HF＝BE+CF， ∴EF﹣BE＝CF，故②正确；③ ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴点H是△ABC的内心， ∴点H到△ABC各边的距离相等，到各顶点的距离不一定相等故③错误；④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AB＝AC， ∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②④； （来源：2025秋•天元区校级期末） 10．（3分）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝2，∠ABD＝30°，取AB中点E，连结CE，若CE平分∠ACB，则BC＝ ． 【答案】4 【解答】解：过点E作EF⊥BC，EG⊥AC， ∵BD⊥AC，AD＝2，∠ABD＝30°， ∴AB＝2AD＝4，∠A＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝2， ∴∠AGE＝∠EFB＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴EG＝EF， ∴△AGE≌△BFE（HL）， ∴∠A＝∠EBF＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，故答案为4． （来源：2025秋•渝北区期末） 11．（3分）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ． 【答案】11 【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b． ∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项， ∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0． ∴a=-，b=-． ∴a﹣b=--（-）=-+ ＝11．故答案为：11． （来源：2024•重庆模拟） 12．（3分）已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为 ． 【答案】 【解答】解： ∵3x+2＝3x×32＝9×3x， ∴9×3x＝m． ∴3x=．故答案为：． （来源：2025秋•洛江区校级月考） 13．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 ． 【答案】3 【解答】解：如图，作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由题意，知∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCH＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCH＝∠OAC， ∵∠BHC＝∠COA＝90°，BC＝CA， ∴△BCH≌CAO（AAS）， ∴HB＝OC＝m，HC＝OA＝3， ∴点B（m，3+m），则BO+BA=+，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣3），到N（3，﹣3）的距离和最小，如图，作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣3，0）， ∴M′N==3， ∵PM+PN＝PM′+PN≥M′N， ∴PM+PN的最小值为M′N的长，即3， ∴OB+AB的最小值是3．故答案为：3． （来源：2026•江阳区校级模拟） 14．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点P从点A出发，沿着此三角形的三边顺时针运动回到A点，记点P运动的路程为x，点P到此三角形的重心O的距离的平方为d．根据学习函数的经验，d可以看作是x的函数．请回答下列问题：（1）d的最小值为 ；（2）关于x的方程d＝kx+1最多有 个实数根． 【答案】1 【解答】解：（1）已知等边三角形ABC的边长AB=2．设BC边上的高为AD，垂足为D．根据等边三角形性质，D为BC中点，BD=BC=．在Rt△ABD中，根据勾股定理：AD===，点O是重心，根据重心的性质，重心到顶点的距离是高的，到边的距离是高的，到顶点的距离：OA=OB=OC=×3=2．O到边的距离：h=×3=1．d表示点P到重心O的距离的平方，即d＝OP2，当点P在三角形边上运动时，OP的长度在“O到边的距离”和“O到顶点的距离”之间变化．当P运动到边的中点时，OP最短，此时OP＝1． ∴，d的最小值为12＝1；故答案为：1；（2）方程 d＝kx+1 的实数根个数，等价于函数y＝d的图象与直线y＝kx+1的交点个数．直线y＝kx+1：当 x＝0时，y＝1．说明无论k取何值，直线恒过定点M（0，1）．x＝0对应点P在起点A，此时d＝OA2＝22＝4，即函数图象起点为A'（0，4），定点M（0，1）位于起点A'（0，4）的正下方．函数y＝d的图象走势：点P的运动路径为A→B→C→A，总路程为3×2=6．第一段A→B：x从0到2，d从4减小到1（中点），再增加到4，图象呈“V”字形．第二段B→C：x从2到4．d从4减小到1，再增加到4．图象呈“V”字形．第三段C→A：x从4到6．d从4减小到1，再增加到4o图象呈“V”字形．整个图象由三个连续的“V”字形组成，最低点纵坐标均为1，最高点纵坐标均为4．直线y＝kx+1绕点M（0，1）旋转．由于M（0，1）的纵坐标恰好等于函数图象的最低点纵坐标，直线从最低点下方穿过．当直线斜率k适当变化时，直线可以依次穿过每一个“V”字形的两条边．直线可以分别与第一段、第二段、第三段的“V”字形各产生2个交点．因此，直线与函数图象最多可以有2+2+2＝6个交点．故答案为：6． （来源：2026春•海淀区校级期末） 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，CD＝2AD，CD=，∠CBD＝30°，则BC的长是 ，若点E在BC延长线上，连接DE，∠E＝∠ABD，则CE的长是 ． 【答案】3 【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥BC于点H，如图1所示： ∴AF∥DH，∠DHB＝∠DHC＝90°， ∴△DHB和△DHC都是直角三角形，根据平行线分线段成比例定理得：=， ∵CD＝2AD， ∴==，设FH＝a，则CH＝2a，其中a＞0， ∴CF＝CH+FH＝3a，在Rt△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于点F， ∴BF＝CF＝3a， ∴BH＝BF+FH＝4a，BC＝BF+CF＝6a，在△DHB中，∠CBD＝30°， ∵tan∠CBD=， ∴DH＝BH•tan∠CBD＝4a×tan30°=，在Rt△DHC中，CD=，由勾股定理得：DH2+CH2＝CD2， ∴()2+(2a)2=()2，整理得：a2=， ∴a=，a=-（不合题意，舍去）， ∴BC＝6a=3；过点D作DK∥BC，交AB于点K，如图所示： ∴∠KDB＝∠CBD＝30°，△AKD∽△ABC， ∴==， ∵AB＝AC，由=，得AK＝AD， ∴AB﹣AK＝AC﹣AD， ∴BK＝CD=， ∵CD＝2AD， ∴AC＝CD+AD＝3AD，由=，得：=， ∴DK=，在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE，又 ∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+30°， ∴∠E+∠CDE＝∠ABD+30°， ∵∠E＝∠ABD， ∴∠CDE＝30°， ∴∠CDE＝∠KDB＝30°，在△CDE和△KDB中，∠CDE＝∠KDB＝30°，∠E＝∠ABD， ∴△CDE∽△KDB， ∴=， ∴=， ∴CE=，BC的长是3；CE的长是=．故答案为：3；． （来源：2026•武昌区一模） 16．（3分）如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是 ． 【答案】30°或150° 【解答】解：分两种情况：如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE＝DE=BC，即BC＝2AE＝2DE，又 ∵BC＝2AD， ∴AD＝AE＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°，又 ∵BC垂直平分AD， ∴∠AEC＝30°，又 ∵BE＝AE， ∴∠ABC=∠AEC＝15°， ∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，又 ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD＝150°，故答案为：30°或150°． （来源：2017秋•余姚市期末） 17．（6分）因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【答案】见解析 【解答】解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3＝3（x﹣y）2（2x﹣x+y）＝3（x﹣y）2（x+y）． （来源：2025春•凌河区校级期中） 18．（6分）计算： （1）﹣12x3y4•（﹣xy）2÷（﹣3x2y3）； （2）4（2x﹣1）2﹣（4x﹣1）（4x+1）﹣5． 【答案】见解析 【解答】解： （1）原式＝﹣12x3y4•x2y2÷（﹣3x2y3）＝4x3y3； （2）原式＝4（4x2﹣4x+1）﹣（16x2﹣1）﹣5＝16x2﹣16x+4﹣16x2+1﹣5＝﹣16x． （来源：2025秋•忠县期末） 19．（6分）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如图2，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图1，等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴a2+ab＞c2， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； （2）如图2， ∵等腰三角形ABC为“类直角三角形”， ∴a2+ab＝c2， ∵AC＝BC， ∴a＝b， ∴a2+b2＝c2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°． （来源：2026春•凌海市期末） 20．（6分）阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：x2+的值．解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0∴x-3-=0，即x-=3．∴x2+=(x-)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，求： （1）a2+的值； （2）的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0，整理得：a2﹣2a﹣1＝0 ∴a-=2， ∴a2+=(a-)2+2=4+2=6； （2）解：的倒数为， ∵=5a2++1=5(a2+)+1=5×6+1=31， ∴=． （来源：2015春•金堂县期末） 21．（6分）若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解．例：∵15＝42﹣12，∴15可平方差表示，42﹣12是15的一个平方差分解． （1）请写出15的另一个平方差分解； （2）试证明：若M＝x2+6x，（其中x是正整数），则M可平方差表示； （3）已知N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+2），要使N可平方差表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵15＝82﹣72， ∴15的另一个平方差分解是82﹣72； （2） ∵M＝x2+6x， ∴M＝x2+6x＝（x+3）2﹣9＝（x+3）2﹣32， ∵x为正整数， ∴x+3也是正整数， ∴M可平方差表示． （3）k＝﹣16，理由如下：N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k＝（x+3）2﹣（y+5）2+k+16，若N可平方差表示，则k+16＝0， ∴k＝﹣16． （来源：2025秋•龙亭区校级期末） 22．（6分）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠A＝∠D＝90°．在△ABC和△DCE中， ∴△ABC≌△DCE（SAS）． ∴∠B＝∠DCE． ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°． ∴∠BCE＝90°，即BC⊥CE； （2） ∵AB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠A＝∠CDE＝90°．在△ABC和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（SAS）． ∴∠B＝∠DCE． ∵∠B+∠ADB＝90°， ∴∠ADB+∠DCE＝90°．BD⊥CE． （来源：2019秋•北流市期末） 23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，求出△ABP是等腰三角形时t的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，BQ是∠ABC的角平分线； （2）如图，过点P作PM⊥AB于点M， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB==10， ∵∠ACB＝90°， ∴PC⊥BC， ∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB， ∴PC＝PM，又 ∵PB＝PB， ∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL）， ∴CB＝MB， ∴AM＝AB﹣MB＝AB﹣BC＝10﹣6＝4， ∵AP＝2t，则PM＝PC＝AC﹣AP＝8﹣2t，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2， ∴42+（8﹣2t）2＝（2t）2，解得：t＝2.5，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为2.5； （3）当AB作为底边时，如图所示：则PA＝PB，设PA＝2t，则PC＝AC﹣AP＝8﹣2t，在Rt△PCB中，PB2＝PC2+CB2，（2t）2＝（8﹣2t）2+62，解得：t=，当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝10，此时t＝10÷2＝5，AB＝BP2时， ∵BC⊥AP2， ∴AP2＝2AC＝16，此时t＝16÷2＝8，综上分析可知，t的值为5或或8． （来源：2026春•和平区校级期中） 24．（8分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值； （2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值． （3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式 ∴x＝3时，x2+kx+12＝0 ∴9+3k+12＝0 ∴3k＝﹣21 ∴k＝﹣7 ∴k的值为﹣7． （2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式 ∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0 ∴解得 ∴m、n的值分别为﹣7和0． （3） ∵m＝﹣7，n＝0， ∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x ∴x3﹣7x2+12x＝x（x2﹣7x+12）＝x（x﹣3）（x﹣4） （来源：2025春•青原区期末） 25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC． （1）用含a、b的代数式表示GC＝ ； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长； （3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝ ． 【答案】a+b（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100∴a+b＝10∴GC＝10（3）S△AFC＝S△A 【解答】解： （1） ∵GC＝GB+BC， ∴GC＝a+b故答案为：a+b（2） ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100 ∴a+b＝10 ∴GC＝10（3）S△AFC＝S△AFE+S▱FGBE+S△ABC﹣S△FGC=b（a﹣b）+b2+a2-b（b+a）=ab-b2+b2+a2-b2-ab=a2=×82＝32故答案为：32 （来源：2023秋•城关区校级期末） 26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】90 【解答】解： （1）90．理由： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又 ∵∠BAC＝90° ∴∠BCE＝90°；故答案为：90． （2）①α+β＝180°，理由： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°；②当点D在射线BC上时，α+β＝180°；理由： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°， ∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°， ∴α+β＝180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．理由： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β． （来源：2009•本溪） 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： ． 【答案】180 【解答】解： （1）作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，在Rt△BMQ和Rt△BPC中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL）， ∴∠BQA＝∠BPC，又 ∵∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BQA+∠BPA＝180°，故答案为：180； （2）AQ﹣AP＝2AC，理由如下，作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，在Rt△BMQ和Rt△BCP中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL）， ∴PC＝QM， ∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝AM+AC＝2AC； （3）当点P在线段AC上时，如图，AQ﹣AP＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴，∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AQ﹣AP＝AM+QM﹣（AC﹣PC）＝QM+PC＝2PC；当P在线段AC的延长线上，如图，AP﹣AQ＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BQM+∠BQA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AP﹣AQ＝AC+CP﹣（AM﹣QM）＝MQ+PC＝2PC．故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC． （来源：2026秋•单元） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称、第16章 整式的乘法、第17章 因式分解 参考答案与解析 1．（3分）我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（　　） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边 C．三角形的内角和为180° D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：由“为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构”可知，这样操作主要利用了三角形的稳定性，故选：D． （来源：2026•浦北县二模） 2．（3分）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【解答】解： ∵m、n均为正整数，且2m+3n＝5， ∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32．故选：C． （来源：2024秋•康县期末） 3．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；⑧三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④每边上的高也是这边上中线的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解： ∵①有两个角等于60°， ∴第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于60°的等腰三角形， ∴根据等腰三角形的性质得，若顶角为60°，则底角为=60°；若底角为60°，则另一个底角为60°，顶角为60°， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等，设每个外角为x，则每个内角为180°﹣x， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为60°，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，BC边上的高也是中线，则AB＝AC），同理，从其他边可得AB＝BC、AC＝BC， ∴三边相等，为等边三角形，综上所述，①②③④都是等边三角形，所以只有选项D正确，符合题意．故选：D． （来源：2025秋•西城区校级月考） 4．（3分）下列各式计算正确的有（　　）①（3a2）3＝27a6；②（﹣5a5b5）2＝﹣25a25b25；③（2x2y3）4＝16x8y12；④(-ab2)3=-ab6． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解答】解： ∵（3a2）3＝27a6，（﹣5a5b5）2＝25a10b10，（2x2y3）4＝16x8y12；（-ab2）3=-a3b6， ∴①，③式计算正确，②，④式计算错误，故选：B． （来源：2026春•玄武区校级月考） 5．（3分）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+)(1+)(1+)(1+)+=（　　） A．2- B．2+ C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：原式＝2×（1-）×(1+)(1+)(1+)(1+)+＝2×（1-）（1+）(1+)(1+)+＝2×（1-）（1+）（1+）+＝2×（1-）（1+）+＝2×（1-）+＝2-+＝2，故选：D． （来源：2024春•胶州市校级月考） 6．（3分）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米， ∵a＞b， ∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab， ∴面积变小了，故选：A． （来源：2023秋•蓬溪县期末） 7．（3分）点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（　　） A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】A 【解答】解：点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝2对称，故选：A． （来源：2019秋•越城区期末） 8．（3分）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，13＝32+22，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（　　） A．17是和谐数 B．a2﹣2ab+2b2（a，b是整数）不一定是和谐数 C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当k＝13时，x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）是“和谐数” 【答案】B 【解答】解：定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断可得：A． ∵17＝12+42， ∴17是和谐数，故该说法正确，不符合题意；B． ∵a2﹣2ab+2b2＝（a﹣b）2+b2， ∴a2﹣2ab+2b2（a，b是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意；C． ∵= ＝mn， ∵m，n都是“和谐数”，设m＝a2+b2，n＝c2+d2， ∴原式＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd﹣2acbd＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2， ∴也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意；D． ∵k＝13， ∴x2+4y2+4x﹣12y+k＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9）＝（x+2）2+（2y﹣3）2， ∴当k＝13时，x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意．故选：B． （来源：2025秋•泸州期末） 9．（3分）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 ． 【答案】②④ 【解答】解，① ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）， ∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°-（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①错误；② ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH． ∵EF∥BC， ∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF， ∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF， ∴BE＝EH，HF＝CF， ∴EF＝EH+HF＝BE+CF， ∴EF﹣BE＝CF，故②正确；③ ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H， ∴点H是△ABC的内心， ∴点H到△ABC各边的距离相等，到各顶点的距离不一定相等故③错误；④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AB＝AC， ∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②④； （来源：2025秋•天元区校级期末） 10．（3分）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝2，∠ABD＝30°，取AB中点E，连结CE，若CE平分∠ACB，则BC＝ ． 【答案】4 【解答】解：过点E作EF⊥BC，EG⊥AC， ∵BD⊥AC，AD＝2，∠ABD＝30°， ∴AB＝2AD＝4，∠A＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝2， ∴∠AGE＝∠EFB＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴EG＝EF， ∴△AGE≌△BFE（HL）， ∴∠A＝∠EBF＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，故答案为4． （来源：2025秋•渝北区期末） 11．（3分）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ． 【答案】11 【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b． ∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项， ∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0． ∴a=-，b=-． ∴a﹣b=--（-）=-+ ＝11．故答案为：11． （来源：2024•重庆模拟） 12．（3分）已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为 ． 【答案】 【解答】解： ∵3x+2＝3x×32＝9×3x， ∴9×3x＝m． ∴3x=．故答案为：． （来源：2025秋•洛江区校级月考） 13．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 ． 【答案】3 【解答】解：如图，作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由题意，知∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCH＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCH＝∠OAC， ∵∠BHC＝∠COA＝90°，BC＝CA， ∴△BCH≌CAO（AAS）， ∴HB＝OC＝m，HC＝OA＝3， ∴点B（m，3+m），则BO+BA=+，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣3），到N（3，﹣3）的距离和最小，如图，作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣3，0）， ∴M′N==3， ∵PM+PN＝PM′+PN≥M′N， ∴PM+PN的最小值为M′N的长，即3， ∴OB+AB的最小值是3．故答案为：3． （来源：2026•江阳区校级模拟） 14．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点P从点A出发，沿着此三角形的三边顺时针运动回到A点，记点P运动的路程为x，点P到此三角形的重心O的距离的平方为d．根据学习函数的经验，d可以看作是x的函数．请回答下列问题：（1）d的最小值为 ；（2）关于x的方程d＝kx+1最多有 个实数根． 【答案】1 【解答】解：（1）已知等边三角形ABC的边长AB=2．设BC边上的高为AD，垂足为D．根据等边三角形性质，D为BC中点，BD=BC=．在Rt△ABD中，根据勾股定理：AD===，点O是重心，根据重心的性质，重心到顶点的距离是高的，到边的距离是高的，到顶点的距离：OA=OB=OC=×3=2．O到边的距离：h=×3=1．d表示点P到重心O的距离的平方，即d＝OP2，当点P在三角形边上运动时，OP的长度在“O到边的距离”和“O到顶点的距离”之间变化．当P运动到边的中点时，OP最短，此时OP＝1． ∴，d的最小值为12＝1；故答案为：1；（2）方程 d＝kx+1 的实数根个数，等价于函数y＝d的图象与直线y＝kx+1的交点个数．直线y＝kx+1：当 x＝0时，y＝1．说明无论k取何值，直线恒过定点M（0，1）．x＝0对应点P在起点A，此时d＝OA2＝22＝4，即函数图象起点为A'（0，4），定点M（0，1）位于起点A'（0，4）的正下方．函数y＝d的图象走势：点P的运动路径为A→B→C→A，总路程为3×2=6．第一段A→B：x从0到2，d从4减小到1（中点），再增加到4，图象呈“V”字形．第二段B→C：x从2到4．d从4减小到1，再增加到4．图象呈“V”字形．第三段C→A：x从4到6．d从4减小到1，再增加到4o图象呈“V”字形．整个图象由三个连续的“V”字形组成，最低点纵坐标均为1，最高点纵坐标均为4．直线y＝kx+1绕点M（0，1）旋转．由于M（0，1）的纵坐标恰好等于函数图象的最低点纵坐标，直线从最低点下方穿过．当直线斜率k适当变化时，直线可以依次穿过每一个“V”字形的两条边．直线可以分别与第一段、第二段、第三段的“V”字形各产生2个交点．因此，直线与函数图象最多可以有2+2+2＝6个交点．故答案为：6． （来源：2026春•海淀区校级期末） 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，CD＝2AD，CD=，∠CBD＝30°，则BC的长是 ，若点E在BC延长线上，连接DE，∠E＝∠ABD，则CE的长是 ． 【答案】3 【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥BC于点H，如图1所示： ∴AF∥DH，∠DHB＝∠DHC＝90°， ∴△DHB和△DHC都是直角三角形，根据平行线分线段成比例定理得：=， ∵CD＝2AD， ∴==，设FH＝a，则CH＝2a，其中a＞0， ∴CF＝CH+FH＝3a，在Rt△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于点F， ∴BF＝CF＝3a， ∴BH＝BF+FH＝4a，BC＝BF+CF＝6a，在△DHB中，∠CBD＝30°， ∵tan∠CBD=， ∴DH＝BH•tan∠CBD＝4a×tan30°=，在Rt△DHC中，CD=，由勾股定理得：DH2+CH2＝CD2， ∴()2+(2a)2=()2，整理得：a2=， ∴a=，a=-（不合题意，舍去）， ∴BC＝6a=3；过点D作DK∥BC，交AB于点K，如图所示： ∴∠KDB＝∠CBD＝30°，△AKD∽△ABC， ∴==， ∵AB＝AC，由=，得AK＝AD， ∴AB﹣AK＝AC﹣AD， ∴BK＝CD=， ∵CD＝2AD， ∴AC＝CD+AD＝3AD，由=，得：=， ∴DK=，在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE，又 ∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+30°， ∴∠E+∠CDE＝∠ABD+30°， ∵∠E＝∠ABD， ∴∠CDE＝30°， ∴∠CDE＝∠KDB＝30°，在△CDE和△KDB中，∠CDE＝∠KDB＝30°，∠E＝∠ABD， ∴△CDE∽△KDB， ∴=， ∴=， ∴CE=，BC的长是3；CE的长是=．故答案为：3；． （来源：2026•武昌区一模） 16．（3分）如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是 ． 【答案】30°或150° 【解答】解：分两种情况：如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE＝DE=BC，即BC＝2AE＝2DE，又 ∵BC＝2AD， ∴AD＝AE＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°，又 ∵BC垂直平分AD， ∴∠AEC＝30°，又 ∵BE＝AE， ∴∠ABC=∠AEC＝15°， ∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，又 ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD＝150°，故答案为：30°或150°． （来源：2017秋•余姚市期末） 17．（6分）因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【答案】见解析 【解答】解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3＝3（x﹣y）2（2x﹣x+y）＝3（x﹣y）2（x+y）． （来源：2025春•凌河区校级期中） 18．（6分）计算： （1）﹣12x3y4•（﹣xy）2÷（﹣3x2y3）； （2）4（2x﹣1）2﹣（4x﹣1）（4x+1）﹣5． 【答案】见解析 【解答】解： （1）原式＝﹣12x3y4•x2y2÷（﹣3x2y3）＝4x3y3； （2）原式＝4（4x2﹣4x+1）﹣（16x2﹣1）﹣5＝16x2﹣16x+4﹣16x2+1﹣5＝﹣16x． （来源：2025秋•忠县期末） 19．（6分）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如图2，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图1，等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴a2+ab＞c2， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； （2）如图2， ∵等腰三角形ABC为“类直角三角形”， ∴a2+ab＝c2， ∵AC＝BC， ∴a＝b， ∴a2+b2＝c2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°． （来源：2026春•凌海市期末） 20．（6分）阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：x2+的值．解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0∴x-3-=0，即x-=3．∴x2+=(x-)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，求： （1）a2+的值； （2）的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0，整理得：a2﹣2a﹣1＝0 ∴a-=2， ∴a2+=(a-)2+2=4+2=6； （2）解：的倒数为， ∵=5a2++1=5(a2+)+1=5×6+1=31， ∴=． （来源：2015春•金堂县期末） 21．（6分）若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解．例：∵15＝42﹣12，∴15可平方差表示，42﹣12是15的一个平方差分解． （1）请写出15的另一个平方差分解； （2）试证明：若M＝x2+6x，（其中x是正整数），则M可平方差表示； （3）已知N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+2），要使N可平方差表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵15＝82﹣72， ∴15的另一个平方差分解是82﹣72； （2） ∵M＝x2+6x， ∴M＝x2+6x＝（x+3）2﹣9＝（x+3）2﹣32， ∵x为正整数， ∴x+3也是正整数， ∴M可平方差表示． （3）k＝﹣16，理由如下：N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k＝（x+3）2﹣（y+5）2+k+16，若N可平方差表示，则k+16＝0， ∴k＝﹣16． （来源：2025秋•龙亭区校级期末） 22．（6分）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠A＝∠D＝90°．在△ABC和△DCE中， ∴△ABC≌△DCE（SAS）． ∴∠B＝∠DCE． ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°． ∴∠BCE＝90°，即BC⊥CE； （2） ∵AB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠A＝∠CDE＝90°．在△ABC和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（SAS）． ∴∠B＝∠DCE． ∵∠B+∠ADB＝90°， ∴∠ADB+∠DCE＝90°．BD⊥CE． （来源：2019秋•北流市期末） 23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，求出△ABP是等腰三角形时t的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，BQ是∠ABC的角平分线； （2）如图，过点P作PM⊥AB于点M， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB==10， ∵∠ACB＝90°， ∴PC⊥BC， ∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB， ∴PC＝PM，又 ∵PB＝PB， ∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL）， ∴CB＝MB， ∴AM＝AB﹣MB＝AB﹣BC＝10﹣6＝4， ∵AP＝2t，则PM＝PC＝AC﹣AP＝8﹣2t，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2， ∴42+（8﹣2t）2＝（2t）2，解得：t＝2.5，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为2.5； （3）当AB作为底边时，如图所示：则PA＝PB，设PA＝2t，则PC＝AC﹣AP＝8﹣2t，在Rt△PCB中，PB2＝PC2+CB2，（2t）2＝（8﹣2t）2+62，解得：t=，当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝10，此时t＝10÷2＝5，AB＝BP2时， ∵BC⊥AP2， ∴AP2＝2AC＝16，此时t＝16÷2＝8，综上分析可知，t的值为5或或8． （来源：2026春•和平区校级期中） 24．（8分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值； （2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值． （3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式 ∴x＝3时，x2+kx+12＝0 ∴9+3k+12＝0 ∴3k＝﹣21 ∴k＝﹣7 ∴k的值为﹣7． （2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式 ∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0 ∴解得 ∴m、n的值分别为﹣7和0． （3） ∵m＝﹣7，n＝0， ∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x ∴x3﹣7x2+12x＝x（x2﹣7x+12）＝x（x﹣3）（x﹣4） （来源：2025春•青原区期末） 25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC． （1）用含a、b的代数式表示GC＝ ； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长； （3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝ ． 【答案】a+b（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100∴a+b＝10∴GC＝10（3）S△AFC＝S△A 【解答】解： （1） ∵GC＝GB+BC， ∴GC＝a+b故答案为：a+b（2） ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100 ∴a+b＝10 ∴GC＝10（3）S△AFC＝S△AFE+S▱FGBE+S△ABC﹣S△FGC=b（a﹣b）+b2+a2-b（b+a）=ab-b2+b2+a2-b2-ab=a2=×82＝32故答案为：32 （来源：2023秋•城关区校级期末） 26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】90 【解答】解： （1）90．理由： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又 ∵∠BAC＝90° ∴∠BCE＝90°；故答案为：90． （2）①α+β＝180°，理由： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°；②当点D在射线BC上时，α+β＝180°；理由： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°， ∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°， ∴α+β＝180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．理由： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β． （来源：2009•本溪） 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： ． 【答案】180 【解答】解： （1）作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，在Rt△BMQ和Rt△BPC中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL）， ∴∠BQA＝∠BPC，又 ∵∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BQA+∠BPA＝180°，故答案为：180； （2）AQ﹣AP＝2AC，理由如下，作BM⊥AE于点M， ∵AB平方∠EAF，BC⊥AF， ∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，在Rt△BMQ和Rt△BCP中，， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL）， ∴PC＝QM， ∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝AM+AC＝2AC； （3）当点P在线段AC上时，如图，AQ﹣AP＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴，∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BPC+∠BPA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AQ﹣AP＝AM+QM﹣（AC﹣PC）＝QM+PC＝2PC；当P在线段AC的延长线上，如图，AP﹣AQ＝2PC，作BM⊥AE于点M， ∵BC⊥AF， ∴∠BMA＝∠BCA＝90°， ∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BQM+∠BQA＝180°， ∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，， ∴△QBM≌△PBC（AAS）， ∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL）， ∴AM＝AC， ∴AP﹣AQ＝AC+CP﹣（AM﹣QM）＝MQ+PC＝2PC．故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC． （来源：2026秋•单元） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称、第16章 整式的乘法、第17章 因式分解 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（　　） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边 C．三角形的内角和为180° D．三角形具有稳定性 2．（3分）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 3．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；⑧三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④每边上的高也是这边上中线的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 4．（3分）下列各式计算正确的有（　　）①（3a2）3＝27a6；②（﹣5a5b5）2＝﹣25a25b25；③（2x2y3）4＝16x8y12；④(-ab2)3=-ab6． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 5．（3分）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+)(1+)(1+)(1+)+=（　　） A．2- B．2+ C．1 D．2 6．（3分）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 7．（3分）点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（　　） A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 8．（3分）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，13＝32+22，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（　　） A．17是和谐数 B．a2﹣2ab+2b2（a，b是整数）不一定是和谐数 C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当k＝13时，x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）是“和谐数” 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 　　　　 ． 10．（3分）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝2，∠ABD＝30°，取AB中点E，连结CE，若CE平分∠ACB，则BC＝　　　　 ． 11．（3分）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝　　　　 ． 12．（3分）已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为　　　　 ． 13．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 　　　　 ． 14．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点P从点A出发，沿着此三角形的三边顺时针运动回到A点，记点P运动的路程为x，点P到此三角形的重心O的距离的平方为d．根据学习函数的经验，d可以看作是x的函数．请回答下列问题： （1）d的最小值为　　　　 ；（2）关于x的方程d＝kx+1最多有　　　　 个实数根． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，CD＝2AD，CD=，∠CBD＝30°，则BC的长是 　　　　 ，若点E在BC延长线上，连接DE，∠E＝∠ABD，则CE的长是 　　　　 ． 16．（3分）如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 18．（6分）计算： （1）﹣12x3y4•（﹣xy）2÷（﹣3x2y3）； （2）4（2x﹣1）2﹣（4x﹣1）（4x+1）﹣5． 19．（6分）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如图2，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小． 20．（6分）阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：x2+的值．解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0∴x-3-=0，即x-=3．∴x2+=(x-)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，求： （1）a2+的值； （2）的值． 21．（6分）若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解．例：∵15＝42﹣12，∴15可平方差表示，42﹣12是15的一个平方差分解． （1）请写出15的另一个平方差分解； （2）试证明：若M＝x2+6x，（其中x是正整数），则M可平方差表示； （3）已知N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+2），要使N可平方差表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 22．（6分）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由． 23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，求出△ABP是等腰三角形时t的值． 24．（8分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值； （2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值． （3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解． 25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC． （1）用含a、b的代数式表示GC＝　　　　 ； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长； （3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝　　　　 ． 26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 　　　　 度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝　　　　 °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为：　　　　 ． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 人教版2026-2027学年数学八上_11月 月考 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称、第16章 整式的乘法、第17章 因式分解 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（　　） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边 C．三角形的内角和为180° D．三角形具有稳定性 2．（3分）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 3．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；⑧三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④每边上的高也是这边上中线的三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 4．（3分）下列各式计算正确的有（　　）①（3a2）3＝27a6；②（﹣5a5b5）2＝﹣25a25b25；③（2x2y3）4＝16x8y12；④(-ab2)3=-ab6． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 5．（3分）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+)(1+)(1+)(1+)+=（　　） A．2- B．2+ C．1 D．2 6．（3分）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 7．（3分）点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（　　） A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 8．（3分）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，13＝32+22，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（　　） A．17是和谐数 B．a2﹣2ab+2b2（a，b是整数）不一定是和谐数 C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当k＝13时，x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）是“和谐数” 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 　　　　 ． 10．（3分）如图，△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝2，∠ABD＝30°，取AB中点E，连结CE，若CE平分∠ACB，则BC＝　　　　 ． 11．（3分）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝　　　　 ． 12．（3分）已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为　　　　 ． 13．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转90°后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点A的坐标为（3，0），点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“垂等点”，连接OB，AB，则OB+AB的最小值是 　　　　 ． 14．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点P从点A出发，沿着此三角形的三边顺时针运动回到A点，记点P运动的路程为x，点P到此三角形的重心O的距离的平方为d．根据学习函数的经验，d可以看作是x的函数．请回答下列问题： （1）d的最小值为　　　　 ；（2）关于x的方程d＝kx+1最多有　　　　 个实数根． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，CD＝2AD，CD=，∠CBD＝30°，则BC的长是 　　　　 ，若点E在BC延长线上，连接DE，∠E＝∠ABD，则CE的长是 　　　　 ． 16．（3分）如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 18．（6分）计算： （1）﹣12x3y4•（﹣xy）2÷（﹣3x2y3）； （2）4（2x﹣1）2﹣（4x﹣1）（4x+1）﹣5． 19．（6分）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如图2，等腰三角形ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小． 20．（6分）阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：x2+的值．解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0∴x-3-=0，即x-=3．∴x2+=(x-)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，求： （1）a2+的值； （2）的值． 21．（6分）若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解．例：∵15＝42﹣12，∴15可平方差表示，42﹣12是15的一个平方差分解． （1）请写出15的另一个平方差分解； （2）试证明：若M＝x2+6x，（其中x是正整数），则M可平方差表示； （3）已知N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+2），要使N可平方差表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 22．（6分）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由． 23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，求出△ABP是等腰三角形时t的值． 24．（8分）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解： （1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值； （2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值． （3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解． 25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC． （1）用含a、b的代数式表示GC＝　　　　 ； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长； （3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝　　　　 ． 26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 　　　　 度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 27．（10分）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP． （1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝　　　　 °； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为：　　　　 ． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $