精品解析：河北沧州市、石家庄市部分学校2026-2027学年高三上学期11月过程性作业评价数学试题

高三年级过程性作业评价 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，为互不相等的正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，满足，，且在上的投影向量的模等于，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 10. 已知定义在上的函数满足：，，都有，且．设，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若函数的图象为一条直线，则不等式的解集为 11. 设为数列的前项和，且．从数列中去掉属于数列的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列．记数列的前项和为，则（参考数据：）（ ） A. B. 数列的最小项为 C. D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 13. 设是公差为的等差数列的前项和，已知，且恰有两个正整数，使得，则______，的取值范围为______． 14. 记表示，，中最大的数，表示，中最小的数．已知实数，，满足，，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在菱形中，，为的中点，已知，，且与的夹角为． （1）用向量、分别表示向量和； （2）求的值． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求函数的单调递减区间． 17. 已知函数． （1）求函数的零点； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）设函数，求的值． 18. 在中，已知． （1）求． （2），两点满足，，为线段的中点，直线与交于点． （i）若的周长为，且，求线段的长度； （ii）求的面积的最大值． 19. 已知函数，，定义集合． （1）求集合； （2）若，且在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级过程性作业评价 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数的周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期为 2. 已知平面向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行，则其坐标满足，代入计算即可求出的值. 【详解】由，，，则，解得. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】， ，所以 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在等比数列中，， 由，得，所以. 5. 已知，，为互不相等的正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先对给定不等式进行等价变形，再判断充分性和必要性． 【详解】解：已知，，为互不相等的正实数，故， ，即， 则， 整理得， 因为， 所以等价于， 即． 判断充分性： 若成立，即，存在两种情况： ①，即， ②，即， 因此无法推出，充分性不成立； 判断必要性： 若成立，则， 因此，即， 可推出，必要性成立． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 6. 已知向量，满足，，且在上的投影向量的模等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设向量，的夹角为，，根据投影向量的定义，及向量模的平方等于向量自身的平方即可求解． 【详解】设向量，的夹角为，， 由，， 则，， 整理两式得，则， 又在上的投影向量的模等于，则，即， 所以，解得． 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：可观察各个数的特征，通过构造函数利用函数的单调性比较大小． 【详解】法一：，，； 设，其中，则； 当时，，因此在上单调递增； 因为，则， 则． 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平方关系进行转化，通过整体换元转化可以将三角函数式转化为二次不等式，根据二次不等式的解确定其最小值． 【详解】设，因为， 则；令； 两式平方可得： ； 可得，因为，则； 不等式解得； 因为，综上； 当，即时，可解得可取， 故最小值可以取到， 综上则的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，根据共轭复数定义即可判断选项A；根据复数模长公式求出模长即可判断选项B；根据复数乘法运算性质，计算出即可判断选项C；根据复数的乘除运算计算出即可判断选项D. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，则复数，所以，选项A正确； 由，则，选项B错误； 由，则，所以为纯虚数，选项C正确； 由A知，则，选项D正确. 10. 已知定义在上的函数满足：，，都有，且．设，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若函数的图象为一条直线，则不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A,令,得,即,所以,A正确. 对于B,令,得,结合得对任意成立,所以为偶函数,B正确. 对于C,令,得,故. 再令,得,故. 再令,得,故. 于是,C错误. 对于D,若的图象为一条直线,设,则. 将的表达式代入题设等式, 左边, 右边. 由题设,两边对任意都相等,即恒成立,所以,从而,. 此时不等式即,也就是,解得,故解集为,D正确. 11. 设为数列的前项和，且．从数列中去掉属于数列的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列．记数列的前项和为，则（参考数据：）（ ） A. B. 数列的最小项为 C. D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用对题中等式变形，证明数列是等比数列，进而得到的通项公式即可判断选项A；通过作商得到数列的增减性，进而找出其最小项即可判断选项B；先根据等差数列和等比数列的求和公式得到数列的前项和及数列的前项和，从而结合题意得到，其中，进而通过确定和的值即可判断选项C，D． 【详解】由，则， 当时，，得， 当时，，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 对于A，所以，故A正确； 对于B，令，则，所以， 令，则，则，则， 所以当时，数列递增；当时，数列递减， 又，，则，所以最小项为，故B错误； 令，则数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以，其中． 对于C，由，且，，即只能去掉属于数列的前项， 所以，故C正确； 对于D，由，，而，， 则当时，应去掉属于数列的前项，且 此时，其中， 整理得，又，而，所以， 取，则，此时； 取，则，此时， 所以的最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数几何意义求切线方程即可. 【详解】已知函数，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 设是公差为的等差数列的前项和，已知，且恰有两个正整数，使得，则______，的取值范围为______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】根据，直接代入公式求；化简的前项和表达式，再根据不等式解的个数求的取值范围． 【详解】已知，则，即，解得， 将代入等差数列的前项和中，可得， 已知恰有两个正整数，使得， 若，当时，，不存在满足条件的正整数， 因此． 因为，， 所以． 因为，为正整数，当时不满足条件， 因此，， 则可变形为， 要使满足条件的正整数恰有2个，即满足不等式，不满足不等式： 当时，，解得， 当时，解得， 综上可得的取值范围是． 14. 记表示，，中最大的数，表示，中最小的数．已知实数，，满足，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式可得，由不等式的性质可得，进而分析讨论可解. 【详解】由题意可得， 由， 得，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立， 当时，，故， 当时，，故， 因为，故能取到区间上的所有值， 综上所述：的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在菱形中，，为的中点，已知，，且与的夹角为． （1）用向量、分别表示向量和； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合和，即可求解； （2）由（1）求得， 结合向量的运算法则和数量积的运算法则，即可求解. 【小问1详解】 因为为的中点，所以， 又因为，所以． 故． 【小问2详解】 由（1）知：向量，，所以， 因为四边形为菱形，可得． 即， 即，解得或（舍去）， 所以． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 由题图可知，函数的最小正周期为， 由，又，解得，则函数； 由题图可知，，即，， 解得，，又，所以； 故函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 又的单调递减区间为，， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为，. 17. 已知函数． （1）求函数的零点； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）设函数，求的值． 【答案】（1）零点为2 （2）证明：因为函数的定义域为， 且， 所以曲线关于点中心对称，故曲线是中心对称图形． （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域，令，运算求解即可； （2）根据题意结合对数运算可得，即可得对称中心； （3）整理可得，结合倒序相加法运算求解即可. 【小问1详解】 令，解得，所以函数的定义域为． 令，则，解得， 且，所以函数的零点为2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 设， 则， 可得， 则，所以的值为． 18. 在中，已知． （1）求． （2），两点满足，，为线段的中点，直线与交于点． （i）若的周长为，且，求线段的长度； （ii）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）切化弦，利用正弦定理边化角可得，即可得角A； （2）（ⅰ）根据题意结合余弦定理可得，，解方程即可得结果；（ii）作辅助线，分析可知，利用余弦定理结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且，则，， 可得，即，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）在中，因为的周长为，且，则， 由余弦定理可得， 则，即，解得， 可知，的长度分别是方程的两根，解得，， 且，所以，即线段的长度为； （ii）如图，过E作，交AD于点G． 因为E为CD的中点，可知GE为的中位线，则， 又因为，则， BH为的中位线， 可得， 在中，由余弦定理可得， 则． 当且仅当时，等号成立， 所以， 故的面积的最大值为． 19. 已知函数，，定义集合． （1）求集合； （2）若，且在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1）或 （2） （3）由可知，关于的不等式在上恒成立， 整理得， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递增. 因为，所以，， 所以存在唯一的，使得. 当时，，即； 当时，，即. 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，所以， 则， 令，又，则在上单调递增． 所以，所以， 即，， 所以, 所以得证. 【解析】 【分析】（1）代入参数，转化不等式，构造差函数，利用差函数的导函数分析差函数单调性及最值，结合题干集合定义确定满足条件的的取值范围，即所求集合； （2）代入参数，转化不等式，构造差函数，利用差函数的导函数构造新的函数，对新的构造函数求导，分析导函数单调性进而得到差函数的单调性，分类讨论参数的不同取值时导函数的正负，进而分析差函数的单调性结合不等式成立的条件得到的解集； （3）结合题干集合定义，得到两函数间的不等关系成立条件，分离参数后构造函数，根据在某区间内不等式恒成立条件，利用导函数结合函数单调性与零点存在定理求得所构造函数的最小值，进而证明不等式. 【小问1详解】 当，时，，， 令，， 则. 易知函数在上单调递减，且， 所以当时，，当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以. 所以由，得或． 故或. 【小问2详解】 当时，. 令，． 则，令， 则恒成立，所以在上单调递减. 当时，，又在上单调递减， 对于任意，有，故在上单调递减， ，满足条件； 当时，因为， 又在上单调递减， 时，使得，在该区间单调递增， 即存在，不满足条件； 当时，，又在上单调递减， 对于任意，有，故在上单调递减， 所以，所以满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $