河北省沧州市部分学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

2027届高三质量检测 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题：，，则为 A．， B．， C．， D．， 2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．的最小值为 A．25 B．27 C．32 D．36 4．已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 A． B． C． D． 6．已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为，经过分钟过滤后，硼浓度满足，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤 （参考数据：，，） A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟 7．已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为 A． B． C． D． 8．已知，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是 A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．若，则 11．设数列前项和为，．如图，在中，为边中点，点在线段上， 且有，则 A． B．数列是等比数列 C．数列单调递增 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某科研机构测试7台人形机器人步态精度综合得分（满分10分）如下：9.4，8.5，8.7，9.1，9.6，9.2，9.4，则这组数据的中位数为__________． 13．定义非空数集的“跨度”为，即数集中的最大值与最小值的差．已知集合，，若，则实数__________． 14．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数．当时，，且，则不等式的解集是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同．为探究产线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下列联表： 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 50 乙自动化产线 40 合计 （1）将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析自动化产线类型与电芯合格情况是否有关； （2）用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯的个数为，求的分布列与期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，底面，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数的最小正周期为． （1）求的单调区间和图象的对称轴． （2）记函数． （i）若在上恰有3个零点，求实数的取值范围； （ii）将的正零点按从小到大的顺序依次记作，，，…，设，求数列的前10项和． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若正实数，满足，证明：． （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D A D A B C B ABD BCD BCD 12．9.2 13．或6 14． 15．解：（1）将列联表补充完整为 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 45 50 乙自动化产线 10 40 50 合计 15 85 100 2分 零假设：自动化产线类型与电芯合格情况无关， 由列联表，得， 5分 所以根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立．可以认为自动化产线类型与电芯合格情况无关． 6分 （2）依题意，从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率． 7分 由已知的可能取值有0，1，2，随机变量． 8分 ． 9分 ， 10分 ． 11分 则的分布列为 0 1 2 12分 ． 13分 16．解：（1）证明：如图，连接，交于点，连接． 1分 在梯形中，因为，所以， 所以， 3分 又因为，所以， 即在中，，所以． 5分 又因为平面，平面， 所以平面． 6分 （2）如图，以为原点，为轴，为轴，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，． 7分 设，则，，，． 8分 设平面的一个法向量为， 则即取． 10分 设平面的一个法向量为， 则即取． 依题意，，则， 12分 于是，． 13分 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17．解：（1）， 2分 其最小正周期为，则，故， 3分 令，得，所以的递增区间是； 4分 同理的递减区间是． 5分 令，得图象的对称轴是直线． 6分 （2）（i），即，，当时，． 7分 在上恰有3个零点，因此，所以实数的取值范围是． 10分 （ii）由（i）知，，，，，，…，易知，，，，，成公差为的等差数列，又，所以，，，，，成公比为的等比数列，且； 12分 同理，，，，，，成公差为的等差数列，所以，，，，，成公比为的等比数列，且． 13分 数列的前10项和中奇数项与偶数项各有5项，且奇数项和中相互抵消后只剩下一项，偶数项和中相互抵消后只剩下一项，因此． 15分 18．解：（1）由，知， 1分 因为为直角三角形，所以， 2分 由，可得， 3分 故的方程为． 4分 （2）（i）设直线的方程，，， 联立整理得． 5分 其中，即． 6分 且，， 7分 则的面积 ， 令，，则， 8分 所以， 9分 当且仅当，即时，等号成立，且满足， 所以面积的最大值为． 10分 （ii）证明：由题意得，． 11分 由（i）可知，， 12分 直线的方程为，直线的方程为，设交点， 13分 联立 得， 解得， 16分 即直线与的交点在定直线上． 17分 19．解：（1）（i）当时，， 则，，， 2分 所以曲线在点处的切线方程为，即． 4分 （ii）证明：，所以在上单调递增， 又，所以． 5分 若，都大于1，则，不合题意， 同理，都小于1也不满足． 6分 设，欲证，即证，即证， 即证，即证． 7分 令，， ， 8分 所以在区间上单调递增，所以，则原不等式得证． 9分 （2）由题令， 10分 若对任意的恒成立，则，解得． 11分 下面证明：时符合题意． 当时，， 以下证明：， 12分 令， 则． 13分 令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以． 14分 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 15分 所以，即当时符合题意． 16分 当时，，不满足对任意的恒成立． 综上，的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $