精品解析：上海中学东校2026-2027学年第一学期期中素质评估高二数学试题

上海中学东校 2026 学年度 第一学期中期素质评估 高二数学　 2026.11 （满分：110 分　　时间：90 分钟） 一、填空题（每题 3 分，共 42 分） 1. 已知向量，设，向量，若，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 由，可得. 2. 直线的倾斜角是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的斜率，得出对应的倾斜角. 【详解】由直线可知直线的斜率为， 故对应的倾斜角为. 故答案为：. 3. 函数的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 4. 直线经过点且一个法向量为 ，则直线的一般式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】因为直线的法向量为， 则直线的方向向量为， 直线的斜率为，又直线经过点， 由点斜式可得：， 即. 5. 已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 【答案】 【解析】 【详解】点的中点为，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 6. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】求出椭圆的左焦点坐标，进而求出值. 【详解】椭圆的半焦距，其左焦点为， 抛物线的准线，则， 所以. 故答案为：6 7. 圆 ： 与 轴相切于点，点在圆上运动，则的中点的轨迹方程为________（当点运动到与重合时，规定点与点重合）. 【答案】 【解析】 【分析】将点的轨迹转化为以为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解. 【详解】依题意得，， 因为为中点，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆， 又中点为，，即圆心为，， 所以点M的轨迹方程为. 8. 已知点在直线上，则的最小值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解. 【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题. 9. 已知向量 ， 满足 ，在方向上的投影数量为 ，则 的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】使用数量积的运算，投影数量的定义求解. 【详解】，，则， 设与的夹角为，，故，因为，所以， ，， 即 的最小值为：10. 10. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得的重心和外心，进而求得的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解. 【详解】由的顶点为， 可得的重心为，即为， 由为直角三角形，所以外心在斜边的中点，即， 又，所以三角形的欧拉线方程为，即， 因为直线与平行， 可得，解得或. 当时直线与重合，不符合题意； 当时直线与平行，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 11. 已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】焦点，根据椭圆定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值. 【详解】抛物线的焦点，根据题意，. 设椭圆和抛物线的交点为，到抛物线准线的距离为， 离心率最大，即最小，， 当与准线垂直时等号成立，此时. 故答案为： 13. 已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 14. 如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义与题中条件可得，根据椭圆的光学性质和对称性可得，两式联立解得的值，进而求得比值. 【详解】 如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由题意，根据椭圆的定义可得：， 所以, 因为，则，那么①， 因为点关于的对称点为，所以， 因为，所以，即②， 联立①②，解得，则. 故答案为：. 二、选择题（每题 3 分，共 12 分） 15. 三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或2条 【答案】D 【解析】 【分析】画图可得，当三个平面两两相交或有两个平面平行时满足题意 【详解】 当三个平面两两相交（交线重合）或有两个平面平行时满足题意， 由图可得它们的交线有1条或2条， 故选：D 【点睛】本题考查平面的基本性质.属于基础题. 16. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 17. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 的最大值是5 B. 的最小值是5 C. 的最大值是7 D. 的最小值是7 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，根据图象利用两边之和、差与第三边的关系分析最大值与最小值即可得解. 【详解】如图， 由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确. 故选：D 18. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④. 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 三、解答题（8+10+12+12+14=56 分） 19. 在中，角､､所对的边分别为､､，，. （1）求函数的最大值及对应的值； （2）若，，，求的周长. 【答案】（1）的最大值为，此时 （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据角A的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的性质，分析可得当时，有最大值，计算即可得答案. （2）根据（1），结合题意，可得角A的大小，根据正弦定理，结合条件，可得的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，即时，， 所以的最大值为，此时. 【小问2详解】 由（1）得，因为， 所以，解得， 又，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长为. 20. （1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标. （2）已知直线，直线，且，求的值. 【答案】 （1）或.（2）或. 【解析】 【详解】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，故，即， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. 21. 已知双曲线的方程为 ，直线 与双曲线交于 、 两点. （1）若直线 与双曲线的左、右支各有一个公共点，求实数 的取值范围； （2）是否存在实数 使得 、 两点关于直线 对称，若存在，求出 ，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在. 理由如下： 由（1）知， 解得. 由（1）知，，. 假设存在实数 使得 、 两点关于直线 对称， 则，即， 所以，. 当时，直线 ， 此时，所以直线与直线不垂直， 即 、 两点不关于直线 对称， 所以不存在实数 使得 、 两点关于直线 对称. 【解析】 【分析】（1）将双曲线方程与直线方程联立，得相应的一元二次方程，由题意列出满足的不等式组，求解可得； （2）假设存在实数 满足题意，结合根与系数的关系及中点坐标公式，写出的中点坐标，根据中点在直线上求得，并利用两直线垂直，斜率乘积为检验即可. 【小问1详解】 设， 由，得， 题意可得， 即，解得. 所以实数 的取值范围是. 【小问2详解】 略 22. 已知圆 和圆 （）. （1）若圆 与圆 相交，求 的取值范围； （2）若 ，设 为平面上的点，且满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求得圆和圆的圆心、半径，根据两圆相交确定圆心距与半径间的关系，从而求得的取值范围； （2）设，，，根据弦长相等，可得圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等，再根据点到直线的距离公式列出相应方程组，求解可得. 【小问1详解】 圆 ， 即， 所以圆心，半径为； 圆 （）， 即， 所以圆心，半径为. 所以. 若圆 与圆 相交， 则， 所以，得， 解得. 所以 的取值范围为. 【小问2详解】 若，则圆 . 设， 因为存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ， 所以可分析斜率均存在时的情况. 设，， 即，. 由直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，且圆 与圆 的半径相等， 所以圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等， 所以， 即或， 所以或， 因为满足条件的有无穷多个， 所以或， 解得或. 所以满足条件的点 的坐标为或. 23. 已知椭圆 ，左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，其中，分别在轴上方和下方，，，为坐标原点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （1）若的周长是，求椭圆的方程. （2）若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆于点，，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标. （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 椭圆的方程为. （2） 的坐标为. （3） 的取值范围为. 【解析】 【分析】(1)由椭圆定义，焦点三角形周长为求出，结合得椭圆方程； (2)设，，设直线，联立椭圆，利用韦达定理与，由恒成立求参数，验证斜率不存在情况； (3)由中点条件推出分别为的重心，根据面积关系得到，设直线联立椭圆，借助韦达定理、对勾函数转化为不等式对任意参数恒成立，求得的范围. 【小问1详解】 由椭圆的定义，的周长为， 由题意得，得， 已知，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当时，椭圆的方程为， 设点，过点的直线：， 设，，定点，， 联立，消去整理得，， 由韦达定理，，， 因为以为直径的圆恒过点，所以， 即， 代入，， ， 展开整理：， 将韦达定理结果代入，按，常数项整理： ， 该等式对任意实数恒成立，故各项系数均为， 由的一次项系数：，，得， 将代入，由项系数化简可得， 结合解得， 所以定点的坐标为. 【小问3详解】 由，知为线段中点， ，知为线段中点， 又是的中点，故是的重心，是的重心， 由重心性质，，， 记，，， 代入面积表达式： ， 化简得， 左边不等式：， 右边不等式：， 即， 设，，设过的直线， 联立椭圆，代入得， 设，，，， 则，， 因为，，所以， 即，令，则， ， 又，则， 所以， 右侧不等式：恒成立， 左侧不等式：，化简得， ，将代入得，， 即对任意实数恒成立， 所以，，，结合已知，得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学东校 2026 学年度 第一学期中期素质评估 高二数学　 2026.11 （满分：110 分　　时间：90 分钟） 一、填空题（每题 3 分，共 42 分） 1. 已知向量，设，向量，若，则__________ 2. 直线的倾斜角是__________. 3. 函数的最小正周期为________． 4. 直线经过点且一个法向量为 ，则直线的一般式方程为________. 5. 已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 6. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 7. 圆 ： 与 轴相切于点，点在圆上运动，则的中点的轨迹方程为________（当点运动到与重合时，规定点与点重合）. 8. 已知点在直线上，则的最小值为_______. 9. 已知向量 ， 满足 ，在方向上的投影数量为 ，则 的最小值为________. 10. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________ 11. 已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 12. 抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______. 13. 已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为______. 14. 如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______． 二、选择题（每题 3 分，共 12 分） 15. 三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或2条 16. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 17. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 的最大值是5 B. 的最小值是5 C. 的最大值是7 D. 的最小值是7 18. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（8+10+12+12+14=56 分） 19. 在中，角､､所对的边分别为､､，，. （1）求函数的最大值及对应的值； （2）若，，，求的周长. 20. （1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标. （2）已知直线，直线，且，求的值. 21. 已知双曲线的方程为 ，直线 与双曲线交于 、 两点. （1）若直线 与双曲线的左、右支各有一个公共点，求实数 的取值范围； （2）是否存在实数 使得 、 两点关于直线 对称，若存在，求出 ，若不存在，请说明理由. 22. 已知圆 和圆 （）. （1）若圆 与圆 相交，求 的取值范围； （2）若 ，设 为平面上的点，且满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标. 23. 已知椭圆 ，左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，其中，分别在轴上方和下方，，，为坐标原点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （1）若的周长是，求椭圆的方程. （2）若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆于点，，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标. （3）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $