精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

华东师大二附中2025学年第一学期期中考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再根据斜率公式可得到倾斜角. 【详解】将直线方程化为： 因此，斜率 . 直线倾斜角  满足：， 所以：. 故答案为： 2. 双曲线的实轴长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6 【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题. 3. 若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为： 4. 已知圆的面积为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的面积得到圆的半径，由圆的一般方程得到圆的标准方程，从而解出的值. 【详解】因为圆的面积为，所以 由得，即， 所以，解得. 故答案为：. 5. 焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用焦点到准线的距离公式得到答案. 【详解】焦点到准线的距离为4，则 又焦点在x轴的正半轴，故抛物线标准方程为 故答案为 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，属于简单题. 6. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长. 【详解】 由椭圆方程为，得， 因为点在椭圆上，所以，， 所以的周长为， 故答案为：. 7. 若圆与圆内切，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解. 【详解】圆，圆心为（0,0），半径为2； 圆，转化为标准形式： ，即圆心为（a，0），半径为1； 当两圆内切时，圆心距 ，解得 故填： 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值. 8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________. 【答案】## 【解析】 【分析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； 【详解】 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 9. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题中条件得到关系式，进一步计算即可. 【详解】因为是边长为1的等边三角形， 则， 所以， 又， 所以， 则 故答案为： 10. 若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___． 【答案】6 【解析】 【分析】 根据焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设，则，抛物线中， 所以． 故答案为：6． 11. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得到，进一步可得到线段的垂直平分线的方程，令，可得到，再根据的范围可得答案. 【详解】设， 因为 和  在椭圆上，所以：，两式相减得： ， 设  的中点为 ， 则：，  的斜率 ，因此：， 设线段的垂直平分线的斜率  满足 ，因此： 线段的垂直平分线过中点 ，其方程为：， 令 ：， 因为 的中点在椭圆内部，所以 所以. 故答案为： 12. 设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理得动点到两定点的距离之差为常数，从而确定轨迹为双曲线并求得其方程，根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，结合双曲线的定义列出方程组，求解得到的值. 【详解】在中， ， 则， 故点的轨迹是以和为焦点， 实轴长为的双曲线， 方程为， 在中， 设 因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 则， 由②和③得 则， 由⑤得， 即， 解得，符合题意， 故答案为： 二､选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13~14题每题选对得4分，第15~16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（ ）最接近圆. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则； B：，则； C：即，，则； D：即，，则； 因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：B 14. 已知曲线．下列结论错误的为（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则是两条直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，由，方程变形为， 该方程表示半径为的圆，故A错误； 对于B，当时，有， 方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 对于C，由知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确； 对于D，当时，方程变为表示两条直线，故D正确． 故选：A 15. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 【答案】C 【解析】 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知当点P的纵坐标大于等于1、小于1时，确定点的位置，结合图形，可得点的轨迹方程；记，则，当且仅当共线时取等号. 【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图， 当点在曲线上是以为圆心以为半径的圆， 当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图， 取，则，所以四边形是平行四边形，所以， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的圆弧， 此时点的轨迹方程为； 当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图，    此时点的轨迹方程为， 所以点的轨迹方程为，故①错误； 记，如图，    结合图形，则， 又，所以， 左侧等号当且仅当依次共线时取到， 右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确. 故选：C. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【答案】（1）或 （2），距离为 【解析】 【分析】（1）由垂直得到，解出的值； （2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离. 【小问1详解】 因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或. 【小问2详解】 因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，，符合题意， 此时平行直线和之间的距离. 18. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到渐近线的距离公式求得半径，结合圆心坐标求解； （2）得到直线方程，利用弦长公式计算. 【小问1详解】 因为双曲线， 故右顶点的坐标为， 其渐近线方程为， 则点到渐近线的距离为， 即所求圆的半径为， 则所求圆的标准方程为 【小问2详解】 依题可知直线的斜率为， 又的坐标为， 所以直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为 19. 在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. （1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； （2）已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据双曲线的定义判断，最后根据双曲线的标准方程即可求出； （2）根据题意求出线段的垂直平分线的方程，再联立双曲线方程，解方程即可. 【小问1详解】 设船的坐标为，导航台和相距500海里，即，即， 两台同时发出的无线电信号到达的时间差为，无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒， 可得海里，即， ,根据双曲线的定义可知船所在的曲线是以为焦点的双曲线， ， 双曲线的焦点在轴上，故其标准方程为， 故船所在的曲线的方程为. 【小问2详解】 船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0， ，船在线段的垂直平分线上， 又，线段的中点坐标为， 直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的垂直平分线的方程为， 联立，得，得， 解得或， 当时，；当时，， 船先收到了发来的信号，故船在双曲线的右支上， 故船的位置为. 20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； （3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【答案】（1）； （2） 设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据准线方程求出，即可求出抛物线的方程. （2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）设，用表示，再借助二次函数的性质求出. 【小问1详解】 由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，求； （2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2），， （3） 证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程， 得到 ， 设，由韦达定理 ，所以， 代入，得到，所以， 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到， 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即， 点到直线的距离为 ， 所以的面积为. 因为点在椭圆上，所以， 所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据条件写出椭圆的方程，利用点斜式写出直线的方程，将两者联立消元得到关于x的一元二次方程，解出x的值，便可得到坐标，再由与关于x轴对称，所以，坐标，所以得到得值； （2）先写出椭圆的方程，得到的长度，是等腰三角形，分三种情况求解，当时，点在椭圆的短轴上顶点，直接得到点坐标；当时，设出点坐标，利用点在椭圆上和列方程求出点坐标，当，根据椭圆的对称性得到点坐标； （3）先假设出的坐标，利用点斜式得到直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到坐标，进而得到，类比得到坐标，由两点间的距离公式得到，点斜式得到直线，算出的高，利用三角形面积公式写出表达式，证明其为定值. 【小问1详解】 当时，椭圆， 因为，所以直线为，即， 代入椭圆方程，得，即， 当时，所以， 因为与关于轴对称，所以，所以. 【小问2详解】 若，则椭圆，焦点为，则， 因为是等腰三角形. 当时，点在椭圆的短轴上顶点，故； 当时，设，则 ，① 因为在椭圆上，所以， ② 由①、②得到，解得，（舍去） ，所以. 所以； 当时，根据椭圆的对称性得到； 综上得，点的坐标为，，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大二附中2025学年第一学期期中考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角为__________. 2. 双曲线的实轴长为__________． 3. 若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 4. 已知圆的面积为，则实数__________. 5. 焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________. 6. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 7. 若圆与圆内切，则等于__________. 8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________. 9. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________. 10. 若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___． 11. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________. 12. 设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则__________. 二､选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13~14题每题选对得4分，第15~16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（ ）最接近圆. A. B. C. D. 14. 已知曲线．下列结论错误的为（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则是两条直线 15. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 18. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 19. 在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. （1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； （2）已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； （3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，求； （2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $