江苏省连云港高级中学2026-2027学年第一学期期中考前模拟高三数学试题

连云港高级中学2026-2027学年第一学期期中考前模拟 高三数学试题答案 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. D 2. D 3. B 4. C 5. C 6. B 7.D 8. A 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ABD 10. AC 11. ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2 13.1 14. 5 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题13分)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值． 解：（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 16. (本题15分)如图，在四棱锥中，四边形为菱形，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 解：（1）证明：设，则是和的中点，连接， 四边形是菱形，，， 是等边三角形，， ，， 在中，，即， ，即， 又四边形是菱形，， 平面，平面， 平面. （2），， 由（1）得两两互相垂直， 故以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，可得， 设平面的一个法向量， 则，得，故， 同理，平面的一个法向量， 则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. (本题15分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求和； (2)求证：是等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 解：（1）依题意，， ， . （2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球， 表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球， 表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球， 当时，， 则 ， ， ， 因此，即，， 所以是为首项为公比的等比数列. （3）依题意，的分布列为 0 1 2 期望，由（2）得， 所以. 18. (本题17分)已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 解：（1）已知双曲线的离心率为，且与轴交于点. 则，，则， 所以双曲线的标准方程是：； （2）如图所示： ①由，得， 则恒成立， 且，. 设，，由，得，即. 则，. 即. 即. 解得（舍）或，即直线的方程是. ②设经过，，三点的动圆方程， 将代入，得， 设，，则， 消去得， 由，得， 即， 即，. 所以，，. 所以圆的方程为， 即， 令，（舍）或 所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点. 19. (本题17分) 设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． （1）若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； （2）若函数具有性质，且在上严格增，证明：； （3）若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 解：（1）将代入性质的恒等式中展开计算： ， 由恒等式对任意实数成立，对应系数相等，可得， 解第一个方程，得或， 结合条件，得， 代入第二个方程得，即． 所以，； （2）证明：假设存在实数使得，分两种情况讨论： 若，因为严格递增，可得， 结合性质的等式， 代入得， 整理得，即，与矛盾． 若，因为严格递增，可得， 结合，代入得， 整理得， 即，与矛盾， 因此假设不成立， 所以对任意都有，得证． （3）证明：设的次迭代为， 即， 由性质可得递推关系：， 这是二阶线性递推，结合初始条件，， 可得， 由题设条件对任意成立， 若存在某个使得， 令，则， 当时，该式的值呈指数级增长趋向于无穷大，和全局有界性矛盾， 因此必须有，即， 所以该性质的函数是唯一的，其解析式为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 连云港高级中学2026-2027学年第一学期期中考前模拟 高三数学试题 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 已知向量，满足，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 5. 已知中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A. 31 h B. 33 h C. 35 h D. 37 h 7. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则的实部为2 B. 若，则为实数 C. 若，则 D. 若，则的最大值为2 10. 若数列的首项，且，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列为递增数列 D. 存在正整数、、，使得 11. 已知，若，且，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列，则___________． 13.若函数的一个零点为，则________；________． 14.已知函数则函数的零点个数为___________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题13分)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值． 16. (本题15分)如图，在四棱锥中，四边形为菱形，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. (本题15分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求和； (2)求证：是等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 18. (本题17分)已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 19. (本题17分) 设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． （1）若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； （2）若函数具有性质，且在上严格增，证明：； （3）若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $