精品解析：江苏泰州市（兴化、靖江）2026～2027学年度第一学期期中调研测试高三数学试卷

2026~2027学年度第一学期期中调研测试 高三数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，务必将自己的考场号、座位号、姓名、准考证号涂写在答题卷上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. －5 B. －1 C. i D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】，所以虚部为1. 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 . 由 得 ，化简得 ，即 . 又 ，而 ，所以 . 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别化简集合中的所有元素，再依据集合并集的定义计算. 【详解】，，由此可得集合， ，， 由此可得集合， 因此. 4. 若一个圆锥的底面积为，体积为，则该圆锥的母线与底面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥的高为底面半径为， 因为圆锥的底面积为，体积为 ， 因此计算得圆锥的高为，圆锥的底面半径为， 故母线与底面夹角的正切值为， 因此圆锥母线与底面所成角为. 5. 二项式展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令通项中的指数为0，求解对应的参数，代入计算即可得到常数项. 【详解】二项式展开式的通项为  ， 令的幂次等于0，得 ， 解得，得 ， 因此该二项式展开式的常数项为40. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【解析】 【分析】由导函数的奇偶性和单调性确定原函数的对称性及单调性，再将函数值比较转化为自变量到对称轴的距离比较. 【详解】因为为奇函数，所以，且. 令，则. 又，所以，即，故的图象关于直线对称. 因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. 结合对称性，原不等式等价于，即. 整理得，解得，因此原不等式的解集为. 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将所求的正弦平方比值化简，结合三角形内角和关系与已知的正切等式，代入计算即可得到结果. 【详解】在中，，故，因此， ， 故 结合，可得 ， 由，得 ，得，即， 所以 . 8. 已知实数，满足，则（其中）的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】将等式同构为，根据的单调性可得，进而将问题转化为图像上一点与平行的切线到的距离，即可利用导数求解切点，进而根据点到直线距离公式求解. 【详解】由可得， 令，则， 由于函数为单调递增函数，故，因此，则， 故 在函数上，而在上， 因此的最小值可以看作直线上的点到上的最小距离的平方，故距离的最小值为图像上一点与平行的切线到的距离， 对求导可得，设切点为，故，解得（负值舍去）， 因此切点为，到直线的距离为， 故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知A，B，C，D为平面上不同的四点，则下列说法正确的是（ ） A. 若向量与共线，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则向量与共线 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理、数乘向量的性质、向量垂直关系逐项分析判断即可. 【详解】选项A：因为A，B，C，D为平面上不同的四点，所以，. 根据共线向量定理，若与共线，则存在唯一的实数使得，A正确. 选项B：因为，，若，则与一定共线. 数乘向量与原向量方向相同或相反，B正确. 选项C：因为，若，此时，C正确. 选项D：由题意知，，；若，则，故D错误. 10. 某篮球运动员练习定点投篮，共投篮次，每次投篮命中的概率均为，各次投篮互不影响. 已知随机变量，. 则下列说法正确的是（ ） A. 对任意正整数，都有 B. 对任意，都有 C. 随机变量的方差 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据每次投篮对应的两点分布及命中次数的二项分布计算均值、方差，再利用方差公式判断各项. 【详解】对于选项A，服从两点分布，所以，因此A错误. 对于选项B，各次投篮命中的概率相同，所以，因此B正确. 对于选项C，各次投篮相互独立，所以，从而，因此C正确. 对于选项D，，由方差公式得，因此D正确. 11. 已知四边形的顶点都在抛物线上，对边，分别与轴交于点和点，对角线和均过轴上的点，则下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值为 C. 当，时， D. 当，时， 【答案】AC 【解析】 【分析】先设抛物线上各点，以纵坐标为参数，推导出抛物线弦交轴时两点纵坐标乘积的结论；然后根据对角线同过定点，对边分别交轴于的条件，列出四个纵坐标关系式，消元得到核心等式；再逐项分析各选项：选项A，利用斜率参数表达式结合纵坐标乘积计算斜率乘积；选项B，联立直线与抛物线，把整理成函数求最小值；选项C，用抛物线弦斜率公式，结合纵坐标之间的等量关系，推导两条直线斜率的倍数关系；选项D，以轴上线段为底、纵坐标差为高表示三角形面积，对比面积倍数，最后选出正确选项即可. 【详解】设抛物线上点， 先证明若抛物线上两点连线交轴于 ，则， 设抛物线上两点，直线过点， 由已知斜率不为，设直线的方程为，联立， 整理消得：，则由韦达定理：， 由题意：过点，所以， 过点，所以， 过点，所以， 过点，所以， 则：，代入， 选项A：时，，，A正确； 选项B：时，直线， 联立，，， ， ，的最小值为，B错误； 选项C：，， ， ， 抛物线上两点连线斜率：，即， ， ，C正确； 选项D：时，， ， ，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果. 【详解】因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知点在双曲线上，其左、右焦点分别为，，若的三边长分别为6，8，10，则的离心率的一个可能值为_________． 【答案】2（或3、5，写出任意一个即可） 【解析】 【分析】分情况讨论三角形三边中焦距的取值，再利用双曲线的定义得到，即可求得离心率的可能值. 【详解】的三边长分别为6，8，10，分三种情况： 当时，可得，即.此时另两边，的长为和. 满足，由双曲线的定义得，即. 因此离心率； 当时，可得，即.此时另两边，的长为和. 满足，由双曲线的定义得，即. 因此离心率； 当时，可得，即.此时另两边，的长为和. 满足，由双曲线的定义得，即. 因此离心率； 综上双曲线的离心率可能为，，. 14. 已知高斯函数表示不超过实数的最大整数．设函数，，集合，记为集合中的元素个数，则_________；数列的通项公式为_________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）令根据定义写出函数的值，即可写出集合，然后得到； （2）根据定义写出函数的取值集合，根据定义写出的取值集合，即可求得 【详解】当时，， 当时，，所以，所以， 当，的取值集合为， 因为，时， 的取值集合为， 每一个对应个不重叠的元素，集合是上述所有取值集合的并集 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1）如图所示，以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 可知， 则， 设面的法向量为， 可知，即， 令，解得，即面的一个法向量， 可得，即，不在平面内， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出直线方向向量和平面的法向量，进而根据线面平行的向量表示，证明结果即可； （2）根据点到平面的距离公式，直接求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以直线到平面的距离即点到平面的距离， 可知，所以点到平面的距离为. 16. 已知函数（其中，）． （1）若的图象在处与直线相切，求，的值； （2）当时，若在区间上单调，求的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【小问1详解】 函数的定义域为. 由得. 因为图象在处与直线相切,所以切点为,切线斜率为. 于是有,. 由第二式得,代入第一式得,从而. 【小问2详解】 当时,,. 在区间上,所以的符号由决定. 若在上单调递增,则,即对任意成立. 令,则. 该式在处取得最小值,所以. 若在上单调递减,则,即对任意成立. 由在上的最大值为,得. 综上，的取值范围为. 17. 在中，已知，． （1）求证：为等腰钝角三角形； （2）设点为内一点，且满足． ①求的值； ②求证：为定值． 【答案】（1）证明：由题设第一个条件，两边同乘 得 . 把 写成 ，则 ，整理得 ，即 . 因为 , 是三角形内角且 ，所以 . 把 代入 ，得 ， 即 . 又 ，故 ，从而 ，. 所以 有两个角相等且最大角为钝角，即 为等腰钝角三角形. （2）① . ② 证明：由（1）及正弦定理得 . 在 中，，，故 ， 由正弦定理得 ，所以 ，即 . 由① 且 ，得 ，代入得 . 由于 只由 的三个内角确定，与 的长无关，故 为定值. 【解析】 【分析】（1）把 拆成 展开，第一个条件即可化为 ，由此得 ；再代入第二个条件定出 ，三角形形状随之确定. （2）由（1）知 ，，先用正弦定理把 与 都用 表示，可免去设边长的麻烦；再由等角条件写出 与 各角，其中 、 都与 无关，是省算的关键；在两个三角形中分别用正弦定理表示 ，消去 即可解出 ，回代便得 的定值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①由（1）知 ，，由正弦定理得 . 由题设 ，且 在 内， 故 ，，于是 ，. 在 中，由正弦定理得 ，即 ； 在 中，由正弦定理得 ，即 . 由 消去 ，得 ，即 ，整理得 ，所以 ，. ② 略. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，，分别为椭圆的左、右顶点．，是椭圆上异于，的两点，满足，直线与交于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求的取值范围，并求外接圆面积的最小值． 【答案】（1） （2）设，当直线斜率存在时，设方程为， 联立方程组得，消去得， 可知时，可得， 可知椭圆左右顶点，则， 可得，即，化简得，解得或， 当时，直线过，不符合题意， 即直线方程为，即直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线轴，此时点， 则， 可得，消去得， 解得或（舍），即直线方程为，过， 综上：原命题得证 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆上的点，列出方程组，求出参数，写出标准方程即可； （2）设出点的坐标，根据斜率的情况进行分类讨论，设出直线方程，联立方程组，根据韦达定理和题目条件，求出参数之间的关系，证明直线过定点. （3）.设出点的坐标和直线方程，联立方程组，求出，再由倒角公式求出角的范围，求出半径的范围，进而写出外接圆面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知，则，得，解得， 因为椭圆过点，得， 联立方程组得，解得，所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则直线方程为， 因为，所以，则直线方程为， 联立方程组得，消去得， 解得（与点重合），所以，则， 则， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 所以外接圆面积的最小值为. 19. 若存在正整数，使得对任意正整数，都有（且），则称数列为阶跳跃等比数列． （1）若数列是1阶跳跃等比数列，且，，； ①求，； ②求数列的前项和． （2）若数列为阶跳跃等比数列，，且，．从该数列的前项中随机选取一项，记该项数值大于的概率为．当且时，求证：． 【答案】（1）①② （2）由题意可得，把下标按模 的剩余类分组，对 ，记 （），则 对 ：（时，则，这与矛盾）， 对 ：（时，由于，显然不满足， 时 ）， 所以：数值大于 的项，恰好是每个剩余类中 的那些项. 在前项中，剩余类 （即满足 的下标）共有项，其中 的恰有项.故所求"好项"总数， 因为 是 个连续整数，它们除以 的余数恰为 的一个排列，所以 于是 记 , 则 两式相减整理，得 于是 由于 ，所以 【解析】 【分析】（1）根据，即可列举求解根据奇偶项分别成等比数列，即可利用分组求和以及等比求和公式得解， （2）根据题意可写出数列的通项，进而根据剩余类判断哪些项是大于的，进而计算个数，利用错位相减法求和化简，即可求证. 【小问1详解】 时定义即为：对任意正整数 ，, 于是 由 知：奇数项与偶数项各自成公比为4的等比数列，即 当为偶数时， 当为奇数时， 综上： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中调研测试 高三数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，务必将自己的考场号、座位号、姓名、准考证号涂写在答题卷上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. －5 B. －1 C. i D. 1 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若一个圆锥的底面积为，体积为，则该圆锥的母线与底面所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 二项式展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A.  B.  C.  D.  7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则（其中）的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知A，B，C，D为平面上不同的四点，则下列说法正确的是（ ） A. 若向量与共线，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则向量与共线 C. 若，则 D. 若，则或 10. 某篮球运动员练习定点投篮，共投篮次，每次投篮命中的概率均为，各次投篮互不影响. 已知随机变量，. 则下列说法正确的是（ ） A. 对任意正整数，都有 B. 对任意，都有 C. 随机变量的方差 D. 若，则 11. 已知四边形的顶点都在抛物线上，对边，分别与轴交于点和点，对角线和均过轴上的点，则下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值为 C. 当，时， D. 当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值是____________． 13. 已知点在双曲线上，其左、右焦点分别为，，若的三边长分别为6，8，10，则的离心率的一个可能值为_________． 14. 已知高斯函数表示不超过实数的最大整数．设函数，，集合，记为集合中的元素个数，则_________；数列的通项公式为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离． 16. 已知函数（其中，）． （1）若的图象在处与直线相切，求，的值； （2）当时，若在区间上单调，求的取值范围． 17. 在中，已知，． （1）求证：为等腰钝角三角形； （2）设点为内一点，且满足． ①求的值； ②求证：为定值． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，，分别为椭圆的左、右顶点．，是椭圆上异于，的两点，满足，直线与交于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求的取值范围，并求外接圆面积的最小值． 19. 若存在正整数，使得对任意正整数，都有（且），则称数列为阶跳跃等比数列． （1）若数列是1阶跳跃等比数列，且，，； ①求，； ②求数列的前项和． （2）若数列为阶跳跃等比数列，，且，．从该数列的前项中随机选取一项，记该项数值大于的概率为．当且时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $