精品解析：黑龙江哈尔滨市风华中学校2026-2027学年度九年级上学期期中测试数学试卷

哈尔滨市风华中学校2026—2027学年度上学期期中测试 九学年数学学科试卷 满分120分 时间120分钟 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，在同一条直线上，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与交于点B，与相切于点C，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 一个正六边形的周长为12，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，点D在上，交于点E，点F在上，连接，，若，，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 如图，与交于点，，，，那么_______________． 13. 如图，是半圆的直径，，是半圆上的点，连接，，，，，则等于_______________． 14. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______． 15. 如图，已知是的斜边上的高，，，则________． 16. 如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米． 17. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 19. 在中，，，，则的长为_______________． 20. 如图，四边形为的内接四边形，平分，连接交于点，有如下结论： ①；②； ③当为的直径时，； ④当为的直径时，点在上，连接，，，，则的最大值为15．上述结论中，所有正确结论的序号是_______________． 三、解答题（其中21～22每题7分，23～24每题8分，25～27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图的网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点都在小正方形的顶点上． （1）画出以为一边的，满足，且的面积为，点在小正方形的顶点上． （2）画出的高线，仅用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （3）直接写出线段的长． 23. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生； （2）请将上面的条形统计图补充完整； （3）如果全校共有学生3000名，请估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有多少人？ 24. 定义：有一组邻边相等的四边形称为邻美四边形．在正方形中，点，分别在和上，连接、、，． （1）如图1，求证：四边形是邻美四边形； （2）如图2，若，，点在线段上，连接，当四边形是邻美四边形时，请直接写出的长． 25. 某学校采购、两种体育用品，购买一件种用品比购买一件种用品多20元，购买两件种用品比购买一件种用品多50元． （1）求购买一件种用品和一件种用品分别需要多少元； （2）若该学校要购买种用品和种用品共30件，且种用品的件数不超过种用品件数的4倍，请问购买多少件种用品时，花费最少，最少费用是多少？ 26. 已知：内接于，，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，若，，求的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）如图1，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点在上，连接，点在上，连接，，，，，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市风华中学校2026—2027学年度上学期期中测试 九学年数学学科试卷 满分120分 时间120分钟 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标规律求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 2. 如图，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 则． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C. 该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； 4. 抛物线经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：把点代入，得． 5. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，在同一条直线上，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出相等的角，然后利用平角定义求解． 【详解】解：根据题意以及旋转的性质得，， ∴． 7. 如图，与交于点B，与相切于点C，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由切线性质得到，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，然后根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵与相切于点C， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如图，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 9. 一个正六边形的周长为12，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正六边形可分割为6个全等等边三角形的性质求解． 【详解】解：正六边形的边长为， 连接正六边形中心与各顶点，中心角为，且中心到各顶点距离相等， 故分割得到6个边长为2的全等等边三角形， 等边三角形的高为，单个面积为， ∴ 正六边形的面积为． 10. 如图，在等边中，点D在上，交于点E，点F在上，连接，，若，，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，然后证明，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 是等边三角形， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，与交于点，，，，那么_______________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，是半圆的直径，，是半圆上的点，连接，，，，，则等于_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】解：连接， 由网格可得 ，， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， 故答案为1. 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 15. 如图，已知是的斜边上的高，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形对应边成比例计算的长． 【详解】解：是斜边上的高 ， ． 16. 如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造矩形和两个直角三角形，利用三角函数分别求出和的长，相加即可得到的高度． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，四边形为矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即大楼的高度为米． 17. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 19. 在中，，，，则的长为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，垂足为，结合已知的值与长度求出、的长度，利用勾股定理求出的长度，再分垂足在线段上、垂足在线段的延长线上两种情况，进而计算的长． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在中，， ∴设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴，， 在中，， 由勾股定理得 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时，； ②当垂足在线段的延长线上时，． 综上所述，的长为或． 20. 如图，四边形为的内接四边形，平分，连接交于点，有如下结论： ①；②； ③当为的直径时，； ④当为的直径时，点在上，连接，，，，则的最大值为15．上述结论中，所有正确结论的序号是_______________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据角平分线定义及圆周角定理推导弧相等，进而得弦相等； ②根据相似三角形的性质判断；③延长至点H，使得，结合等腰直角三角形性质证明； ④利用轴对称性质将转化为，求出的最大值并与15比较． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，都是所对的圆周角， ， 又， ， ， ，故②正确； 当为的直径时，如图，延长至点H，使得， 为的直径， ， 平分， ． 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，故③正确； 作点C关于的对称点，连接，，则， ， ， 点，F，D三点共线， ， 由题意知，点在关于对称的上， 点，，D三点共线时，取最大值， 如图所示： 与关于对称， ， ， ，， ， ， 即的最大值为，故④错误， 综上可知，所有正确结论的序号是①②③． 三、解答题（其中21～22每题7分，23～24每题8分，25～27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先用分式的四则混合运算法则化简，再根据特殊角的三角函数值求出x，然后把x的值代入化简后的最简分式中求解； 【详解】解：原式 ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的法则，属于中考常考题型 22. 如图的网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点都在小正方形的顶点上． （1）画出以为一边的，满足，且的面积为，点在小正方形的顶点上． （2）画出的高线，仅用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （3）直接写出线段的长． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，高线即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）取格点，格点，连接，由网格特点可得，，，，再结合三角形面积公式以及正切的定义计算即可得出结果； （2）取格点，连接交于点，高线即为所求； （3）由勾股定理可得，再利用等面积法计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：取格点，格点，连接， 由网格特点可得，，，， ∴，， 故即为所求； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由网格特点可得， ∵， ∴． 23. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生； （2）请将上面的条形统计图补充完整； （3）如果全校共有学生3000名，请估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有多少人？ 【答案】（1）名 （2） 补充条形统计图如下： （3）750人 【解析】 【分析】（1）从扇形图可知文艺占，从条形统计图可知文艺有80人，可求出总人数． （2）求出科普的人数，画出条形统计图； （3）全校共有人数×科普所占的百分比，就是要求的人数． 【小问1详解】 （人）， ∴在这次问卷调查中，一共抽查了200名学生； 【小问2详解】 科普的人数为（人） 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有750人． 【点睛】本题考查从扇形统计图和条形统计图获取信息的能力，以及画条形统计图的能力，关键知道扇形统计图考查的部分占总体的百分比，条形统计图考查的是每组里面的具体数． 24. 定义：有一组邻边相等的四边形称为邻美四边形．在正方形中，点，分别在和上，连接、、，． （1）如图1，求证：四边形是邻美四边形； （2）如图2，若，，点在线段上，连接，当四边形是邻美四边形时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是邻美四边形； （2）或或或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，再证明得出，即可得证； （2）先求出，，再结合邻美四边形的定义，分情况计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是邻美四边形， 当时，如图， 此时； 当时，作于，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当时，作于，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当时，作于点，如图： ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或或． 25. 某学校采购、两种体育用品，购买一件种用品比购买一件种用品多20元，购买两件种用品比购买一件种用品多50元． （1）求购买一件种用品和一件种用品分别需要多少元； （2）若该学校要购买种用品和种用品共30件，且种用品的件数不超过种用品件数的4倍，请问购买多少件种用品时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）购买一件种用品需要90元，购买一件种用品需要70元 （2）购买24件种用品时花费最少，最少费用是2220元 【解析】 【分析】（1）设购买一件种用品需要x元，购买一件种用品需要y元，根据等量关系，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买种用品a件，费用为w元，先根据不等关系，列出不等式，求出a的范围，再根据题意，列出费用w与a的一次函数关系，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设购买一件种用品需要x元，购买一件种用品需要y元， 根据题意，得， 解得， 答：购买一件种用品需要90元，购买一件种用品需要70元； 【小问2详解】 解：设购买种用品a件，费用为w元，则购买A种用品件， ， ， ， ， w随着a的增大而减小， 当时，花费最少，为（元）， 答：购买24件种用品时花费最少，最少费用是2220元． 26. 已知：内接于，，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，若，，求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接、， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：由（1）可得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，则点、点在的垂直平分线上，再由两点确定一条直线即可得证； （2）由（1）可得垂直平分，则，证明出，由题意可得，再证明，即可得证； （3）由（1）可得垂直平分，证明出，设，则，证明得出，结合勾股定理可得，求出，从而可得，则，在上截取一点，使得，连接，证明出，由正切的定义并结合勾股定理可得，求出，作于，设，则，，从而可得，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（1）可得垂直平分， ∴，，， ∴， 由（2）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，在上截取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）如图1，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点在上，连接，点在上，连接，，，，，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出该直线的解析式为，当时，，从而即可得出结果； （2）由题意可得，点与点关于原点对称，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）连接，证明得出，再证明，求出，作于，则，结合勾股定理求出 作于，等面积法求出，证明，得出，从而可得，即可得出，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，交轴于点，则轴，，，由（2）可得，证明，求出，再证明，得出，求出，从而可得，最后利用待定系数法计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴该直线的解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，直线的解析式为， ∵点在线段上，设点的横坐标为， ∴， ∵连接并延长至点，使， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点，于点，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，交轴于点，则轴，，， 由（2）可得， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $