精品解析：黑龙江省哈尔滨市风华中学校2025-2026学年 上学期九年级期中考试数学学科试题

风华中学九年级期中考试数学学科试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫二次函数，判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故A选项符合题意； B．，等式右边不是整式，故不是二次函数，故B选项不符合题意； C．自变量的最高次数是1，故不是二次函数，故C选项不符合题意； D．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， A、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点坐标．根据二次根式的顶点式“的顶点坐标为”直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故选：C． 4. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 5. 如图，AB是的直径，点C，D在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理求得∠2=2∠D=40°，然后由邻补角的定义求∠1的大小． 【详解】解：如图，∵∠D=20°， ∴∠2=2∠D=40°． ∴∠1=180°-∠2=140°． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ） A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，； 第②个图案中有5个圆圈，； 第③个图案中有8个圆圈，； 第④个图案中有11个圆圈，； …， 所以第⑦个图案中圆圈的个数为； 故选：B. 【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键. 8. 如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键；由及勾股定理得，，从而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴由勾股定理得，， ∴； 故选：C． 9. 如图是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（ ）． A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质，逐一判断各个选项，即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，AD∥BC， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵CD∥BE， ∴△CDF∽△EAF， ∴， ∵AB=CD， ∴，C选项正确，不符合题意； ∵CD∥BE， ∴∠E=∠FCD， 又∵∠B=∠D， ∴△CDF∽△EBC， ∴，B选项正确，不符合题意； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△EBC， ∴， ∴D错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为， ， ，③正确； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，①错误； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，②正确； 当时，， ， ， 即，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式求解即可． 【详解】解：根据题意得，若函数有意义， 可得，解得． 故答案为：． 12. 在中，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 13. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= _____ 度． 【答案】50 【解析】 【详解】连接OA，OB．PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°， 由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，∠P=180°﹣∠AOB=50°． 14. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程根的判别式，把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 16. 如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据相似三角形的性质结合，可求得的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 17. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 18. 扇形半径为3，圆心角为90°，则该扇形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积的计算公式直接解答即可． 【详解】解：扇形面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是熟记扇形面积的计算公式． 19. 在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为______． 【答案】3或21 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 20. 如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先得出，然后得出，然后结合得到，推出，然后利用求出，然后证明出，设，根据勾股定理求出，过点A作交于点G然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， 如图，过点A作交于点G ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是推出． 三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值；根据分式的运算法则把所给的分式化简，再求得的值，代入计算即可. 【详解】解：原式 当时 原式 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG=. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的判定作图可得； （2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求； （2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG=. 【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 23. 我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是． （1）若二次函数，将此函数图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______． （2）将“特征数”是的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． （3）在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长． 【答案】（1）【2，4，6】 （2） （3），14 【解析】 【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”，得出，再结合“特征数”的定义，即可作答． （2）因为函数的“特征数”是，所以这个函数是，再结合图象向上平移2个单位，所以，即可作答． （3）依题意，分别求出，；因为证明四边形是平行四边形，运用勾股定理列式，即可作答． 【小问1详解】 解：∵先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 结合定义：得出对应的函数“特征数”是【2，4，6】， 故答案为：【2，4，6】； 【小问2详解】 解：∵函数的“特征数”是， ∴这个函数是， ∵图象向上平移2个单位， ∴， ∴这个新函数的解析式是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：依题意，如图所示： ∴把分别代入， 得，， 则； ∴把分别代入， 得，， 则； 则 ∴四边形是平行四边形 则 ∴以、、、四点为顶点的四边形的周长是． 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，新定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 【答案】（1）见解析 （2）、、、 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，再根据线段的中点得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）结合平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可找出图中的全等三角形． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在与中 ∴． 综上，图中有以下全等三角形： 、、、． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、线段的中点，熟练掌握图形的性质和判定是解题的关键． 25. 某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． （1）若单价降低2元，则每天销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）120， （2）4元或6元 （3）当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用． （1）由每降低1元，则每天的销售量可增加列式即可； （2）根据（1）中所得关系式列方程计算出的值即可； （3）根据总利润与降价元的函数关系式，配方求出最大值即可； 【小问1详解】 解：若单价降低2元，则每天的销售量是千克； 若单价降低元，则每天的销售量是千克； 故答案为：120，； 【小问2详解】 解：设单价应降价元， ， 解得，， 答：单价应降价4元或6元； 【小问3详解】 解：设利润为元，单价降低元， ， ， 有最大值， 当时，的最大值是2250． 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 26. 已知内接于，于点D． （1）如图1，当经过圆心时，求证：； （2）如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，即可证明结论； （2）连接，根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，得到，再根据圆周角定理得到，即可证得结论； （3）作直径，连结，设，先证明，得到，进一步推理得到，可求得，再证明，即可利用相似三角形的性质列出方程，求得答案． 【小问1详解】 证明：当经过圆心时， ， 平分， 即； 【小问2详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：作直径，连结， 设，则，， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用圆周角定理及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，． （1）求的值； （2）如图2，点P为第三象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，过点作轴于，D为第二象限一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转90°，点至点，取中点，连接，当，时，求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由解析式可得，，由得，从而，代入解析式即可求解； （2）作轴于G，交直线于F，求出线的解析式，设，则，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，求出当时，S取得最大值，，证明得，作于点G，则，在中，求出，，，然后利用三角形中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，作轴于G，交直线于F， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴当时，S取得最大值， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 作于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵N是中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法，解直角三角形，二次函数与几何综合，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华中学九年级期中考试数学学科试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A B. C. D. 5. 如图，AB是的直径，点C，D在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ） A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 8. 如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9. 如图是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（ ）． A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 12. 在中，，，，则的值为______． 13. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= _____ 度． 14. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 15. 若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 16. 如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 __________． 17. 二次函数图象与轴交点坐标是______． 18. 扇形半径为3，圆心角为90°，则该扇形的面积为______．（结果保留） 19. 在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为______． 20. 如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为______． 三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长． 23. 我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是． （1）若二次函数，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______． （2）将“特征数”是函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． （3）在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长． 24. 在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 25. 某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 26. 已知内接于，于点D． （1）如图1，当经过圆心时，求证：； （2）如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，． （1）求的值； （2）如图2，点P为第三象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，过点作轴于，D为第二象限一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转90°，点至点，取中点，连接，当，时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $