湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期数学期中考后针对训练（一）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中考后针对训练（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C C B C ABC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 2．B 【详解】. 3．A 【详解】 ， 由可得：分子为， 分母为， 因此原式. 4．D 【详解】当该球体为正方体内切球时，体积最大， 因为正方体棱长为2，则内切球半径为1， 则对应体积为. 5．C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 6．C 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 7．B 【详解】， 以，为邻边作平行四边形，如图： 所以，因此， 所以平行四边形是菱形． 设，，所以， 在中，， ， 设，因为，所以， 当时，是增函数，故． 8．C 【详解】， 令，则， 因为，若，则， 则在上单调递减，则； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增； 则， 当时，，则； 因为，所以当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，即时，的最小值不为，故A错误； 若，则，得， 若，则，此时存在两个不同的值使得， 此时存在两个不同的零点； 若或，则或，此时存在一个值使得， 此时存在一个零点； 若，则，此时不存在值使得，此时无零点； 故C正确，D错误； ， 若，因为，所以是的极值点， 但，故的极值点不一定是其零点，故B错误. 9．ABC 【详解】函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象， ， ，故选项A正确； ，是偶函数，故选项B正确； 当时，，图像关于点对称，故选项C正确； 当时，为最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 10．ACD 【详解】选项A，因为正八面体的所有棱长均为6，截去的四棱锥都是全等的，所以截去后，剩余棱长为2，A正确. 选项B，根据立体图形可知，阿基米德多面体共有8个正六边形面和6个正方形面，B错误. 选项C，阿基米德多面体由8个全等的正六边形面和6个全等的正方形面组成. 单个正六边形面积为,单个正方形面积为. 所以阿基米德多面体表面积为，C正确. 选项D，阿基米德多面体体积为正八面体体积减去6个全等的四棱锥体积. 正八面体体积为两个全等的四棱锥的体积之和： 单个截去的四棱锥体积为. 所以阿基米德多面体体积为，即D正确. 11．ABD 【详解】因为是偶函数，所以， 即，即. 又， 所以，且. 所以是奇函数，且是周期为的周期函数. 所以选项A正确. ，所以选项B正确. ，所以选项C不正确. 作一个周期内的图象，可得与一个周期内的图象有4个交点， 所以与在内的图象有个交点. 即方程在区间内恰有1013个实数解. 所以选项D正确. 12． 【详解】令，则， 可得：， ∵函数的对称轴为， ∴当时，函数取到最大值， 即函数的最大值为，故函数的值域为. 故答案为：. 13． 【详解】依题意，函数，由， 得，令， 函数在内的4个零点依次为， 函数的最大值点在内，不在此区间内， 因此，解得， 所以的取值范围是 14． 【详解】设，由条件可得， 因为在边上且不含端点，正方形边长为，因此， 在中，斜边，的面积为， 底面五边形的面积为， 翻折过程中，点在过点且垂直于的平面内运动， 因此点到底面的距离，不会超过点到直线的垂线段长度， 当且仅当平面平面时，取得最大值， 由三角形等面积法，点到直线的距离为， 即点到底面的最大高为， 故多面体是以五边形为底、为顶点的五棱锥， 体积公式为，将高的最大值代入，得到体积为， ，令，解得，即（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此时，体积取得最大值，故. 15．【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以，，所以为等比数列. （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以的前项和为. 16．(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 17．【详解】（1）因为，要使，各满足一次和即可，. （2），, ，， . 18．【详解】（1）设的方程为， 由题意知，，，，解得， 故的方程为. (2)（i）证明：【方法一】由，得， 求导得，把代入得， 因为，所以，即； 【方法二】设代入到得 （※） 因为与相切，所以方程（※）有两个相等实根，即化简得 （ii）设，，    则，， 所以的中点的坐标为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 19．(1)集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素，，均为奇数时，为奇数，不满足条件③． （ii）从集合中任取三个元素，，有一个为2，另外两个为奇数时， 不妨设，，则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质． (2)由是偶数，得正整数是奇数， 当时，，此时，不满足，舍去， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，，，解得，，， 显然，，，所以集合是集合的“期待子集”，得证． (3)先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，根据期待子集的定义结合知，存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质． 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，，，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得，，均为整数， 因为， 所以，且，，均为整数，所以，，， 因为，，， 所以，，均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”． 综上所述，“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的‘期待子集’”． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中考后针对训练（一） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知复数（i为虚数单位），则（     ） A．2 B． C．4 D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．将一个棱长为2的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 7．中，，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为0 B．若，则的极值点也是其零点 C．可能存在两个不同的零点 D．可能存在三个不同的零点 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．图像关于点对称 D．当时，取得最小值 10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，是由两种及以上正多边形围成的、所有棱长完全相等的多面体，有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的所有棱长均为6，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ） A．棱长为2 B．共有8个正六边形面和8个正方形面 C．表面积为 D．体积为 11．设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则（     ） A．是奇函数 B． C．的最小值是 D．方程在区间内恰有1013个实数解 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为______. 13．已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，则的取值范围是_________ 14．已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．定义：若一个数列满足其首项为，且对于，可取或的概率均为，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． (1)求的概率； (2)在“可取数列”中，设随机变量是的值，求的概率分布； 18．在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线在第一象限上的动点，曲线在点处的切线与，轴的交点分别为点，. （i）证明：的斜率. （ii）设为中点， 求的中线的长度取值范围． 19．若集合中存在三个元素，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合，证明：“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的‘期待子集’”． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $