精品解析：湖南省长沙市长沙县2025-2026学年高三上学期期中数学试题

2026届高三11月质量检测 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，满足，，则集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 11. 已知函数有且只有三个零点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列的前n项和，，，则______． 13. 若且，则的最小值为______. 14. 现定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与互为“零度函数”.已知函数与在区间上互为“零度函数”，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，若的最小正周期是． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 16. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 17. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 18. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 19. 已知函数. （1）求的值域； （2）当时，证明：； （3）若，且，求的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三11月质量检测 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，即可得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 2. 已知集合，，满足，，则集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的性质即可求解，根据子集的个数公式求解. 【详解】易知，于是集合的子集个数为. 故选：B. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求出结果即可. 【详解】有题意可得，解得，即解集为， 故选：B. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量坐标的数量积公式可得，再利用向量夹角公式计算即可得解. 【详解】依题意，由，有，解得， 所以. 故选：B． 5. 已知实数，，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【详解】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 6. 若，若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先令解得的值，再利用定义检验为偶函数. 【详解】， ， 若为偶函数，则， 左右两边同时乘以得，，即， 得，解得； 检验：当时，， ，则，故为偶函数. 故选：A 7. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 8. 已知数列满足，则（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】，令，利用函数的单调性来研究数列的单调性即可得到答案. 【详解】，令，则，易知在上单调递增，在 上单调递减， 当为奇数时，，故当且为奇数时，单调递减，且，此时的最大值， 当为偶数时，， 记函数， 由于当，，所以， 故， 故当时，单调递减，即当且为偶数时，单调递减，故， 又，， 且当时，，， 故的最大值为， 而最小值为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，B，C；结合指数函数性质举例判断大小即可判断D. 【详解】对于A选项，由，知，A正确； 对于B选项，因为，所以，由A可知， 所以，B正确； 对于C选项，注意到，故，，故，C正确； 对于D选项，取，，，则， 由于在R上单调递减，故，即，D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间及极值点判断A；求出极大值判断B；利用单调性判断C；利用导数的几何意义求出切线方程判断D. 【详解】对于A，，当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，与1为的两个极值点，A正确； 对于B，由选项A得函数的极大值，因此函数最多只有一个零点，B错误； 对于C，由及选项A，得，C正确； 对于D，，曲线在点处的切线方程为， 该切线过点，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数有且只有三个零点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设等价于和有且只有三个交点，再利用中心对称性并结合题意判断A；利用单调性与周期性结合反证法判断B；易得和相切时才满足题意，结合图象即可判断C，利用导数的几何意义得到，进而求出判断D即可. 【详解】对于A，由， 若有且只有三个零点， 则有且只有三个解， 即和有且只有三个交点， 而，则是的零点，即是两个函数的一个交点 由正弦函数性质得是的一个对称中心， 由一次函数性质得是的一个对称中心， 则两个函数的交点关于中心对称，得到，故A正确， 对于B，若，则， 可得， 而，则单调递增，且， 可得， 而是和的交点横坐标， 得到，， 即，发生矛盾，故B错误； 对于CD，由图可知，当和相切时才满足题意， 则，故C正确， 由，则， 因为，所以，且， 消去a得， 则， 又，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列的前n项和，，，则______． 【答案】100 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列下标和性质，即可求解. 【详解】已知，， 则. 故答案为： 13. 若且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 现定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与互为“零度函数”.已知函数与在区间上互为“零度函数”，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合“零度函数”的定义，将原问题转化为在上存在零点，利用导数知识即可求得m的取值范围. 【详解】令，则， 因为与在上为“零度函数”，所以在上存在零点， 即在上存在零点．又因为， 当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当时，；当时，； 又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上为“零度函数”． 综上，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，若的最小正周期是． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正余弦公式结合辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得； （2）由图象平移的性质结合正弦函数的单调性可得. 【小问1详解】 由的最小正周期，又，解得， 所以. 【小问2详解】 ， ，可得， ， 16. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域. （2）由求得，确定函数的单调性，进而求解不等式. 【小问1详解】 由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，可得，利用辅助角公式结合三角函数值即可求解； （2）（ⅰ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，利用余弦定理可得，由正弦定理化简可得即可求解；（ⅱ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，从而得到即可求解. 【小问1详解】 易得， 由正弦定理得， 而，故， 易知，故， 即，由可知 【小问2详解】 （ⅰ）记的面积为，则，即，， 而，即，故， 于是，解得， 而，故，同理， 故，得到 （ⅱ） ， 而，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 18. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）由构造法可得数列是等比数列，写出其通项公式后即可得解； （2）运用裂项相消法进行求和； （3）由题可得，求出其前项和后，根据数列单调性及特殊值法即可得解. 【小问1详解】 由，变形可得， 因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 即. 【小问2详解】 因为，由（1）知，， 所以， 故 . 【小问3详解】 由（1）知， 则， 设 ， ， 数列单调递增. 令 当时，， 当时，， 所以，使得不等式成立的最小正整数的值为10. 19. 已知函数. （1）求的值域； （2）当时，证明：； （3）若，且，求的取值集合. 【答案】（1） （2） 当时，，， 于是， 当时，. 综上，. （3）. 【解析】 【分析】（1）化简可得：，设，，结合导数研究函数单调性即可求解； （2）分和两种情况讨论即可证明； （3）结合（1）可得，即，结合单调性可得，从而得到在上单调递增，则，设，结合导数可得在上单调递增，即，化简可得，故，解方程即可求解. 【小问1详解】 由题可得：， 设，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 而，，， 故的值域为，于是的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可得的值域为， 若，且， 则，得. 注意到，于是， 而时，单调递减，于是在上单调递增，可得 而设，，在上单调递增， 故， 于是， 故，当且仅当时，等号成立. 经验证，符合题意. 故的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $