湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中数学模拟测试（十二）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（十二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如下图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为（    ） A．380 B．360 C．340 D．320 3．已知正四面体，点在上，且，点为的中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 4．平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 5．已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线和直线，则“或”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在中，，，，为边的6等分点（），则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 8．已知圆与圆相交于A､B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．图像关于点对称 D．当时，取得最小值 10．设，，是非零向量，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 11．已知二次曲线表示一个椭圆，则（    ） A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在上时， D．的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，设直线，，若，则______． 13．若平面向量，，其中，，且满足，则的最小值为_________． 14．已知椭圆的左焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角所对的边分别为，已知，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 16．已知为坐标原点，点和直线，点是点关于直线的对称点，且点满足. (1)求点的坐标及点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 17．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为．求； 18．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 19．已知过点的椭圆的离心率为. (1)求的方程； (2)已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（十二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D B B A ABC ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以. 2．B 【详解】由图可知，前三个矩形的面积依次为0.02，0.18，0.4， ， 故所求中位数为. 故选：B 3．D 【详解】由点为的中点，故， 则. 故选：D.    4．C 【详解】因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以. 5．D 【详解】根据球的体积公式，可得，已知圆锥底面半径为，母线长， 可得圆锥的高， 所以，得， ，即球与圆锥的体积之比为. 6．B 【详解】直线和直线， 当时，，两直线重合，不是平行； 当时，，化简，两直线平行不重合， 所以“或”不能推出“”，充分性不成立； 若，首先满足，得，得或， 当时，，两直线重合，不是平行； 当时，，化简，两直线平行不重合， 所以等价于，所以“”能推出“或”，必要性成立； 所以“或”是“”的必要不充分条件. 7．B 【详解】 如图，为边的6等分点（）， 是线段的中点， 所以是的中线， 所以，， 所以， 在中，，为边的中点， ， ， 所以． 8．A 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，，即圆与相交，直线AB方程为：， 圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离， 所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为. 故选：A 9．ABC 【详解】函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象， ， ，故选项A正确； ，是偶函数，故选项B正确； 当时，，图像关于点对称，故选项C正确； 当时，为最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 10．ABC 【详解】选项A：表示与共线的向量，表示与共线的向量，故不正确. 选项B：当时，，所以不正确. 选项C：若，此时与不一定是相等向量，如，故不正确. 选项D：因为，，是非零向量，若，，则，故正确. 11．ACD 【详解】对于A，设是二次曲线上任意一点， 将代入二次曲线， 化简可得，所以在二次曲线上， 则二次曲线的对称中心为，故A正确； 对于B，令，则， 因为，得， 所以，解得，即， 所以二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误； 对于C，将曲线方程视为关于的方程， 因为为实数，所以， 解得，当点在二次曲线上时， 可得，故C正确； 对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则， 而绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为， 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， 为， 又， 所以，即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得， 而，解得，设， 代入曲线，化简可得， 故二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到， 如图所示，作出符合题意的图形， 在椭圆中， 故二次曲线的离心率为，故D正确. 12． 【详解】因为直线，，， 所以，即， 当时，直线重合，舍去， 当时，符合题意； 故； 故答案为： 13． 【详解】因为平面向量，，且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 14．或 【详解】不妨设焦距为2c，记右焦点为，易知，， 由定义知，记，显然其为锐角， 故由，解得. 在中由余弦定理得，化简得，即，可得离心率或. 15．(1). (2)6 【详解】（1）由，得，即， 若，则，与矛盾，故， 由此可得，又，故. （2）由(1)知，结合三角形面积公式得，化简得， 由余弦定理得，整理得， 代入，得，解得，负根舍去， 故的周长为. 16．(1)，轨迹方程为； (2)或 【详解】（1）设，则， 解得，故， 设，则， 整理得， 故点的轨迹方程为； （2）与直线有公共点， 则圆心到的距离小于等于半径， 即，解得或， 的取值范围是或. 17．(1) (2) 【详解】（1）设事件​为“第天选米饭套餐”，事件为“第天选米饭套餐” ，则事件​为“第天选面食套餐”，. 由题意得： ​，因此； 已知前一天选米饭后一天仍选米饭的概率​，前一天选面食后一天选米饭的概率. 根据全概率公式： . 因此该同学第二天中午选择米饭套餐的概率为 （2）第天选米饭套餐的概率为，则第天选面食套餐的概率为​. 根据题意，第天选米饭套餐的情况分为两类： 第天选米饭，第天仍选米饭，概率为； 第天选面食，第天选米饭，概率为 因此得到递推关系：，即 所以， 即，， 所以数列是首项为​，公比为​的等比数列， 因此：，整理得通项：. 18．【详解】(1)取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 19．【详解】(1)依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； (2)由，消去整理得， 则， 设，，则，， 所以 ； （i）因为直线与圆相切，所以，即， 所以， 所以，即， 所以以为直径的圆经过坐标原点； （ii）因为椭圆的左顶点为， 所以 ， 所以，即， 所以或； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，此时，符合题意； 故直线恒过定点，定点坐标为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $