1.5.1等腰三角形的性质（课件）--2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版数学八年级上册 1.5.1 等腰三角形的性质 专项练习（约1600字） ## 一、知识梳理 1. **等腰三角形定义**：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫**腰**，另一边叫**底边**，两腰的夹角叫**顶角**，腰与底边的夹角叫**底角**。 2. **性质1（等边对等角）**：等腰三角形的两个底角相等。几何语言：在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C。 3. **性质2（三线合一）**：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 即：AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC且BD＝CD；三者只要给出一个，另外两个就同时成立。 4. 三线合一的用法：证线段相等、证角相等、证垂直，常常一句话解决，不必再证全等。 5. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（顶角平分线、底边中线）所在的直线，注意是**直线**。 6. 常见计算模型：设顶角为x，则底角为(180°－x)÷2；设底角为x，则顶角为180°－2x。 7. 与等边三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，三个角都是60°。 ## 二、选择题 1. 等腰三角形的两个底角（ ） A．互余 B．相等 C．互补 D．不一定相等 2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ） A．40° B．50° C．70° D．100° 3. 等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为（ ） A．50° B．65° C．80° D．100° 4. 下列关于等腰三角形"三线合一"的说法，正确的是（ ） A．三条中线互相重合 B．顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 C．任意一个角的平分线都与高重合 D．三条高互相重合 5. 等腰三角形的顶角为80°，则一个底角为（ ） A．40° B．50° C．80° D．100° 6. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A．13 B．17 C．13或17 D．无法确定 7. 等腰三角形的一个角为100°，则它的另外两个角分别为（ ） A．40°、40° B．100°、80° C．50°、30° D．无法确定 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝8，则BD的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 9. 已知等腰三角形的周长为16，一边长为6，则它的腰长为（ ） A．6 B．4 C．5 D．6或5 ## 三、填空题 10. 等腰三角形的两个底角______，简写成"等边对等角"。 11. 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A＝______。 12. 等边三角形的每一个内角都等于______。 13. 等腰三角形的顶角为120°，则它的一个底角为______。 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝3，则BC＝______。 15. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高所在的______。 ## 四、解答题 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B、∠C的度数。 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D。求证：BD＝CD，AD⊥BC。 18. 已知等腰三角形的一个角为70°，求它的另外两个角的度数。 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD。若∠B＝35°，求∠BAC的度数。 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。求证：△BDC是等腰三角形。 ## 五、参考答案与解析 1. **B**。性质1：等边对等角，两底角相等。 2. **C**。∠B＝(180°－40°)÷2＝70°。 3. **C**。顶角＝180°－50°×2＝80°。 4. **B**。三线合一指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，不是三条中线或三条高。 5. **B**。底角＝(180°－80°)÷2＝50°。 6. **B**。若腰为3，则3＋3＜7，不能构成三角形；若腰为7，则周长＝7＋7＋3＝17。 7. **A**。100°是钝角，只能是顶角，底角＝(180°－100°)÷2＝40°。 8. **C**。三线合一：AD是底边上的高，也是底边上的中线，BD＝BC÷2＝4。 9. **A**。若腰为6，则底边＝16－12＝4，6＋6＞4，成立；若底边为6，则腰＝(16－6)÷2＝5，5＋5＞6，也成立，故腰长为6或5，选**D**。 10. 相等。 11. 50°。∠A＝180°－65°×2＝50°。 12. 60°。 13. 30°。(180°－120°)÷2＝30°。 14. 6。三线合一，AD是底边中线，BC＝2BD＝6。 15. 直线。 16. **解**：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C。因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°，所以∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°。答：∠B＝∠C＝65°。 17. **证明**：因为AB＝AC，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD。在△ABD和△ACD中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，所以△ABD≌△ACD（SAS）。所以BD＝CD，∠ADB＝∠ADC。又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝90°，AD⊥BC。 18. **解**：分两种情况。①若70°是顶角，则底角＝(180°－70°)÷2＝55°，另外两个角都是55°；②若70°是底角，则另一个底角也是70°，顶角＝180°－70°×2＝40°，另外两个角是70°和40°。答：另外两个角为55°、55°或70°、40°。 19. **解**：因为AB＝AC，所以∠C＝∠B＝35°，∠BAC＝180°－35°－35°＝110°。因为AD＝BD，所以∠BAD＝∠B＝35°。所以∠DAC＝110°－35°＝75°，而∠C＝35°，不矛盾。因∠ADB＝180°－35°－35°＝110°，∠ADB＝∠DAC＋∠C＝75°＋35°＝110°，检验成立。答：∠BAC＝110°。 20. **证明**：因为AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝(180°－36°)÷2＝72°。因为BD平分∠ABC，所以∠DBC＝36°。在△BDC中，∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，所以∠BDC＝∠C，故BD＝BC，△BDC是等腰三角形。 ## 六、易错提醒 1. 等腰三角形已知"一个角"，要先判断它是顶角还是底角，能有两种情况就要分类讨论，钝角只能作顶角。 2. 已知两边求周长或求第三边，两种情况都要用"两腰之和大于底边"检验，不合的舍去。 3. "三线合一"只对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高成立，腰上的中线、腰上的高没有这个结论。 4. 等腰三角形的对称轴是**直线**，不是高这条线段。 5. 计算角度先设未知数用内角和列式，比死记公式更稳，最后要回代检查是否符合三角形内角和180°。 苏科版（新教材）数学8年级上册 1.5.1等腰三角形的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/7 第1章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 活动 新知探究 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征？ ✂️ 这个三角形是轴对称图形，对应边相等，对应角相等。 探究新知 新知探究 等腰三角形： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形， 相等的边叫作腰。 提分笔记 探究新知 新知探究 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC。 提分笔记 B C A 探究新知 思考 新知探究 如图，AB = AC，∠B与∠C是否相等，请说明理由。 解：相等，理由如下： 作边BC的中线AD。 在△ABD和△ACD中， AB = AC，BD = CD，AD = AD， 通过“SSS”，可以证明△ABD≌△ACD， ∴∠B = ∠C。 B C A D 还有其他方法说明∠B = ∠C吗？ 探究新知 思考 新知探究 作顶角的平分线， 通过“SAS”证明△ABD≌△ACD，进一步∠B = ∠C； 也可以作底边上的高， 通过“HL”证明△ABD≌△ACD，进一步∠B = ∠C。 探究新知 新知探究 等腰三角形中两个相等的角叫作底角。 提分笔记 B C A D 也可以用等腰三角形对称性证明。 探究新知 新知探究 等腰三角形的性质定理1： 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等 ( 简称“等边对等角” )。 提分笔记 探究新知 1.若等腰三角形有一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第2题） 2.如图，在中， ， ，，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 （第3题） 3. 在如图的房屋人字梁架中， ，点在 上，下列条件不能说明 的是( ) B A. B. C. D.平分 返回 举一反三 11 新知探究 符号语言：如图， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠C。 提分笔记 B C A 探究新知 思考 新知探究 如图，AB = AC，作边BC的中线AD，你还能得到什么结论？ B C A D 解：如图，根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD = ∠CAD， ∴AD是△ABC的角平分线。 根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB = ∠ADC， ∵∠ADB + ∠ADC = 180°， ∴∠ADB = ∠ADC = 90°， ∴AD⊥BC， 即AD是△ABC的高。 探究新知 新知探究 等腰三角形的性质定理2： 于是，我们得到等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 ( 简称“三线合一” )。 提分笔记 探究新知 新知探究 符号语言：如图， ① ∵AB = AC，AD⊥BC， ∴BD = CD，AD平分∠BAC； ② ∵AB = AC，BD = CD， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC； ③ ∵AB = AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD = CD。 提分笔记 B C A D 探究新知 典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且AD = BD。 求证：∠ADB = ∠BAC。 证明：∵AB = AC，AD = BD， ∴∠B = ∠C，∠B = ∠BAD ( 等边对等角 )。 ∴∠C = ∠BAD。 ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB = ∠C + ∠CAD。 ∴∠ADB = ∠BAD + ∠CAD。 ∴∠ADB = ∠BAC。 B C A D 探究新知 题型探究 例1 已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是________。 根据等腰三角形求线段长 题型一 解：分两种情况： ① 当腰为4时， 4 + 4 < 9，不能构成三角形； ② 当腰为9时， 4 + 9 > 9，能构成三角形， 周长为：9 + 9 + 4 = 22。 22 探究新知 题型探究 例2-1 若等腰三角形中有一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为____________。 根据性质1求角度 题型二 解：分两种情况： ① 50°为顶角； ② 50°是底角， 则顶角为：180° - 50° × 2 = 80°； 综上，顶角的度数为50°或80°。 50°或80° 探究新知 4. 如图，在中，若， ， ，则____ . 52 （第4题） 返回 举一反三 19 5.如图，在中，是上一点，，垂直平分 ， 于点.若的周长为，，则 的长为___ . 5 （第5题） 返回 举一反三 20 6.如图，在中，， ，是 边上的中 线，是边上的一点，且，求 的度数. 举一反三 21 解：， ， . ， . ，是 边上的中线， . . 返回 举一反三 22 7.如图，在中，， ，是 边上的高.线 段的垂直平分线交于点，交于点，连接 . 举一反三 23 （1）线段与 的长相等吗？请说明理由. 解：线段与的长相等.理由如下：连接，是 边 上的高，垂直平分点在上， . 垂直平分， . . 举一反三 24 （2）求 的度数. 解：， ， . ，是 边上的高， 平分 . . ， . . 返回 举一反三 25 （第8题） 8. 图①是实验室利用过滤法除杂的 装置图，图②是其简化示意图，在图②中，若 ，， ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 26 9.如图，在中，，的垂直平分线分别交， 于 点，，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则 的度 数是_____. （第9题） 返回 举一反三 27 等腰三角形： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰。 等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等 ( 简称“等边对等角” )。 等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 ( 简称“三线合一” )。 课 堂 总 结 探究新知 谢谢观看 THANKS $