第1章 三角形（复习课件）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件以三角形为核心，通过知识图谱系统整合三角形概念、全等三角形判定、等腰及直角三角形性质等内容，将特殊线段、三边关系、判定方法等知识点串联成逻辑网络，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”模式，如全等三角形判定通过例题与变式对比培养推理能力，针对训练分层设计满足不同学生需求，融入模型构建思想，助力教师精准教学，有效提升学生知识应用与创新意识。

单元复习课件 第一章 三角形 苏科版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 理解三角形的三边关系、边角关系；知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、三角形的高、三角形的交平分线； 3.掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法；掌握含30度角的直角三角形的性质。 2.掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法． 单元学习目标 三边关系 三角形 角平分线 性质 定义 特殊线段 全等三角形 判定方法 等腰三角形 等腰三角形的性质与判定 直角三角形的性质 等边三角形的性质与判定 线段垂直 平分线 概念 三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线 单元知识图谱 考点一、三角形的三边关系 1.三角形的三边关系文字语言： 三角形的_______两边之和______第三边． 注意：（1）三边关系对于任意三角形这三个式子都成立；（2）判断三条线段能否组成三角形时只需判断： 小+中>大成立即可 任意 大于 2.几何语言： 3.应用： （1）判断三条线段能否组成三角形； （2）根据两条边的长度求第三边的取值范围。 考点串讲 考点二、三角形边角关系 1.三角形的边角关系文字语言： 在同一个三角形中， 的边所对的角也 ． 注意：（1）三角形的边角关系，反之也成立：即在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大。（2）使用该知识必须在同一三角形中。 较大 较大 2.几何语言： 3.应用： 证明或比较三角形相关的角或边的大小关系。 考点串讲 考点三、三角形中的三条重要线段 图形语言 文字语言 在一个三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。 几何语言 性质 判定 三 角 形 的 中 线 考点串讲 考点三、三角形中的三条重要线段 图形语言 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高。 几何语言 性质 判定 三 角 形 的 高 考点串讲 考点三、三角形中的三条重要线段 图形语言 文字语言 在一个三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 几何语言 性质 判定 三 角 形 的 角 平 分 线 考点串讲 考点四、全等三角形 1．全等三角形概念：两个能__________的三角形叫做全等三角形． 完全重合 2．全等三角形性质： （1）全等三角形__________ 相等， __________ 相等； （2）全等三角形__________ 相等， __________ 相等。 对应边 对应角 周长 面积 考点串讲 图形语言 文字语言 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 几何语言 考点四、全等三角形 3．全等三角形判定方法： （1）方法一：基本事实一（“边角边”或“SAS”）； 考点串讲 考点四、全等三角形 3．全等三角形判定方法： （2）方法二：基本事实二（“角边角”或“ASA”）； 图形语言 文字语言 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言 考点串讲 图形语言 文字语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 几何语言 考点四、全等三角形 3．全等三角形判定方法： （3）方法三：基本事实二推论（“角角边”或“AAS”）； 考点串讲 图形语言 文字语言 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 几何语言 考点四、全等三角形 3．全等三角形判定方法： （4）方法四：基本事实三（“边边边”或“SSS”）； 考点串讲 图形语言 文字语言 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成 “HL”） 几何语言 考点四、全等三角形 3．全等三角形判定方法： （5）方法五：判定两个直角三角形全等的判定定理（ 简称“HL”）； 考点串讲 考点五、三角形的稳定性 如果一个三角形的 确定，那么这个三角形的 和 就完全确定，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。 三边长度 形状 大小 考点串讲 考点六、线段垂直平分线、角平分线 1．线段垂直平分线的性质定理： （1）文字语言： 的点到 的距离相等； （2）图形语言： （3）几何语言： 线段垂直平分线上 线段两端 考点串讲 考点六、线段垂直平分线、角平分线 2．线段垂直平分线的性质定理的逆定理： （1）文字语言：到 距离相等的点在 ； （2）图形语言： （3）几何语言： 线段垂直平分线上 线段两端 考点串讲 考点六、线段垂直平分线、角平分线 3．角平分线的性质定理： （1）文字语言： 的点到 的距离相等； （2）图形语言： （3）几何语言： 角平分线上 角两边 考点串讲 考点六、线段垂直平分线、角平分线 3．角平分线的性质定理的逆定理： （1）文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的 ； （2）图形语言： （3）几何语言： 平分线上 考点串讲 考点七、等腰三角形与等边三角形 1．等腰三角形的定义： （1）文字语言：有 相等的三角形叫做等腰三角形。 （2）图形语言： （3）几何语言： 两条边 考点串讲 性质定理1 性质定理2 图形语言 文字语言 等边对等角 三线合一 几何语言 考点七、等腰三角形与等边三角形 2．等腰三角形的性质： 请尝试写出其它几种情形。 考点串讲 判定定理 图形语言 文字语言 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边” ） 几何语言 考点七、等腰三角形与等边三角形 3．等腰三角形的判定： 考点串讲 考点七、等腰三角形与等边三角形 4．等边三角形的定义： （1）文字语言： 都相等的三角形叫做等边三角形。 （2）图形语言： （3）几何语言： 三条边 考点串讲 性质定理1 图形语言 文字语言 等边三角形的各角都等于60° 几何语言 考点七、等腰三角形与等边三角形 5．等边三角形的性质： 考点串讲 判定定理1 判定定理2 图形语言 文字语言 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言 考点七、等腰三角形与等边三角形 6．等边三角形的判定： 请尝试写出其它几种情形。 考点串讲 图形语言 文字语言 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言 考点八、直角三角形的性质 1．直角三角形的性质： 考点串讲 图形语言 文字语言 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。 几何语言 考点八、直角三角形的性质 2．含30°角的直角三角形的性质： 考点串讲 题型一、构成三角形的条件 例1：小亮有两根长度为 和 的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（ ） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【解析】： 两根长度为 5cm和 9cm的木棒， 则第三边的取值范围为： ， 即： ， 故选：C． C 题型剖析 题型一、构成三角形的条件 变式：已知四条线段的长度分别为 1、 2、 3、 4，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】：共有以下4种取法： 1、2 、3 ； 1+2=3，不能构成三角形， 1、2 、4 ；1+2<4，不能构成三角形， 1 、3 、4 ；1+3=4，不能构成三角形， 2 、3 、4 ; 2+3>4，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个．故选：A． A 题型剖析 题型二、利用三角形的中线求面积 例2：如图，在 中，D ，E ，F 分别是 BC，AD ，CE 的中点， 的面积为8，则阴影部分 的面积等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】：∵E是AD 的中点， 的面积为8 ， ∴ ， ， ∴ + = ∴ ， ∵F是CE的中点，∴ ， 故选：B． 题型剖析 题型二、利用三角形的中线求面积 变式：如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC=48，则S△DEF的值为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】：连接CD，如图所示： ∵点D是AG的中点，∴S△ABD= S△ABG，S△ACD= S△AGC， ∴S△ABD+S△ACD= S△ABC=24， ∴S△BCD= S△ABC=24， ∵点E是BD的中点，∴S△CDE= S△BCD=12， ∵点F是CE的中点， ∴S△DEF= S△CDE=6．故选：A． A 题型剖析 题型三、全等三角形的性质 例3：如图，△ABC≌△DCE，∠B=40°，∠E=65°，点B、C、E在同一条直线上，则∠ACD的度数为 ( ) A.40° B.65° C.75° D.85° 【解析】∵△ABC≌△DCE， ∠B=40°，∠E=65°， ∴∠DCE=∠B=40°，∠ACB=∠E=65°， ∵点B、C、E在同一条直线上， ∴∠ACD=180°∠DCE∠ACB =180°40°65° =75°， 故选C． C 题型剖析 题型三、全等三角形的性质 变式：如图，在长方形ABCD的中，已知AB=6cm，BC=10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ( ) A.4或4.8 B.6 C.1.25或1 D.4 【解析】：设点P运动的时间为t， 由题意知：BP=4t，CQ=at，则PC=BCBP=(10-4t)， 当△ABP≌△PCQ时，BP=CQ，即4t=at，解得a=4， 当△ABP≌△QCP时，BP=CP，CQ=AB，即4t=104t，at=6，解得t=1.25， 故1.25a=6，解得a=4.8，故a的值为4或4.8， 故选：A． A 题型剖析 题型四、添加条件判定三角形全等 例4：如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等，下面的4个条件：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是 ( ) A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④ 【解析】∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE， 在△ABC和△FED中，AC=FD,BC=ED,AB=EF， ∴△ABC≌△FED(SSS)， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②，故选：A． A 题型剖析 题型五、全等三角形的性质与判定综合 例5：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG=∠ABE，∠FAG=∠BAC，连接EG． (1)求证：△ABF≌△ACG； (2)求证：BE=CG+EG． 【解析】(1)证明： ∵∠BAC=∠FAG， ∴∠BAC∠CAD=∠FAG∠CAD， 即∠BAD=∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ∴△ABF≅△ACG(ASA)； 题型剖析 题型五、全等三角形的性质与判定综合 例5：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG=∠ABE，∠FAG=∠BAC，连接EG． (1)求证：△ABF≌△ACG； (2)求证：BE=CG+EG． 【解析】(2)∵△ABF≅△ACG， ∴AF=AG，BF=CG， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAG， ∵∠BAD=∠CAG， ∴∠CAD=∠CAG， 在△AEF和△AEG中， ∴△AEF≅△AEG(SAS)． ∴EF=EG， ∴BE=BF+FE=CG+EG． 题型剖析 变式：如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，AD、BC相交于点F． (1)求证：∠B=∠D； (2)若AB//DE，AE=3，DE=4，求△ ACF的周长． 【解析】(1)证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD， ∴∠CAB=∠EAD， 在△ ABC和△ ADE中， ∴ △ ABC ≌ △ ADE(SAS)， ∴∠B=∠D； 题型五、全等三角形的性质与判定综合 题型剖析 题型六、线段垂直平分线的性质和判定 例6：如图，在△ABC中，∠BAC>90°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BC=4，则△ADE的周长为 ．    【解析】∵DM,EN分别为边AB、AC的垂直平分线， ∴BD=AD，CE=AE， ∵BC=4， ∴△ADE的周长 =AD+DE+AE =BD+DE+CE =BC =4， 题型剖析 变式：如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径面弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E；若AB=8，BC=12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为 ． 【解析】过点E作EG⊥AB于点G， 由作图可知，射线BP为∠ABC的平分线， ∴DE=EG， ∵直线DF为线段BC的垂直平分线， ∴∠BDF=90°，BD=CD= BC=6， ∵△BDE的面积为9，∴S△BCE=2S△BDE=18， BD⋅DE= 6×DE=9，∴DE=3，∴EG=3， ∴S△ABE= AB⋅EG= 8×3=12， ∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=12+18=30， 故答案为：30． 题型六、线段垂直平分线的性质与判定 题型剖析 例题7.如图，在△ABC中，AB=2AC，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若S△ABD=12，则△ABC的面积是 ． 题型七、角平分线的性质与判定 【解析】过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC，交AC延长线于点F． 由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，∴DE=DF． ∵S△ABD=12， ∴ AB ∙ DE=×2AC ∙ DE=AC ∙ DF=12， ∴S△ACD= AC ∙ DF= ×12=6， ∴△ABC的面积是S△ABD+S△ACD=18． 故答案为：18． 题型剖析 变式.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积是12，DE=4，则AC的长是 ． 题型七、角平分线的性质与判定 【解析】过D作DF⊥AC于F，又AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE=4， ∴DF=DE=4， ∵△ADC的面积是12， ∴ AC×4=12， ∴AC=6， 故答案为∶6． 题型剖析 变式2.如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 题型七、角平分线的性质与判定 【解析】①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． P1 P2 P3 P4 题型剖析 例题8.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． (1)求证：DE=DF； (2)若∠A=60°，BD=4，求△ABC的周长． 题型八、等腰三角形的性质与判定 【解析】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵D是BC的中点，∴BD=CD， 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE=DF； 题型剖析 例题8.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． (1)求证：DE=DF； (2)若∠A=60°，BD=4，求△ABC的周长． 题型八、等腰三角形的性质与判定 【解析】(2)∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵D为BC边上的中点， ∴BC=2BD， ∴AB=AC=BC=2BD=8， ∴△ABC的周长=3×8=24． 题型剖析 变式.已知△ABC，BD，CE分别是AC，AB边上的高．点M是CE延长线上一点，且CM=AB，点N是BD上一点，且BN=AC，顺次连接A，M，N． (1)如图1，判断△AMN的形状并说明理由； 题型八、等腰三角形的性质与判定 【解析】(1)△AMN是等腰直角三角形，理由如下： ∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴∠ADB=90°=∠AEC， ∴∠BAC+∠ACE=90°=∠BAC+∠ABD， ∴∠ACE=∠ABD， 又∵AB=CM，BN=AC， ∴△ACM≌△NBA(SAS)， ∴AM=AN，∠BAN=∠AMC， ∴∠BAN+∠MAE=∠AMC+∠MAE=90°， 即∠MAN=90°， ∴△AMN是等腰直角三角形； 题型剖析 变式.已知△ABC，BD，CE分别是AC，AB边上的高．点M是CE延长线上一点，且CM=AB，点N是BD上一点，且BN=AC，顺次连接A，M，N． (2)如图2，若△ABC为钝角三角形，∠A为钝角，AB>AC，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 题型八、等腰三角形的性质与判定 【解析】(2)解：结论仍然成立，理由如下：如图， ∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴∠ADB=90°=∠AEC， ∴∠BAC=∠ACE+90°=90°+∠ABD， ∴∠ACE=∠ABD， 又∵AB=CM，BN=AC， ∴△ACM≌△NBA(SAS)， ∴AM=AN，∠BAN=∠AMC， ∴∠BAN+∠MAE=∠AMC+∠MAE=90°， 即∠MAN=90°， ∴△AMN是等腰直角三角形． 题型剖析 例题9.如图，C为线段AB上一点，分别以AC，CB为边，在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE交DC于点G，DB交CE于点H． 求证： (1)△ACE≌△DCB； (2)△CGH为等边三角形； 题型九、等边三角形的性质与判定 【解析】(1)证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°,AC=DC,CE=CB， ∴∠ACD+∠ECD=∠BCE+∠ECD， 即∠ACE=∠DCB， 在△ACE和△DCB中， ∴△ACE≌△DCB(SAS) 题型剖析 例题9.如图，C为线段AB上一点，分别以AC，CB为边，在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE交DC于点G，DB交CE于点H． 求证： (1)△ACE≌△DCB； (2)△CGH为等边三角形； 题型九、等边三角形的性质与判定 【解析】(2) ∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°,CE=CB， ∴∠ECD=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 由(1)已得：△ACE≌△DCB， ∴∠CEG=∠CBH， 在△CEG和△CBH中， ∴△CEG≌△CBH(ASA)， ∴CG=CH， 又∵∠ECD=60°， ∴△CGH为等边三角形． 题型剖析 变式.如图，在△ABC中，∠ACB=30°，DE是边AC的垂直平分线，点O在DE上，∠OAB=∠OBA． (1)求证：△OAB是等边三角形； (2)若OD=2，OE=4，求BE的长． 题型九、等边三角形的性质与判定 【解析】(1) ∵DE是边AC的垂直平分线， ∴OA=OC， ∵∠OAB=∠OBA， ∴OA=OB， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB， ∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°， ∴∠OAB+∠OBA=180°-∠ACB-(∠OAC+∠OBC)=120°， ∴∠OAB=∠OBA=60°， ∴△OAB是等边三角形； 题型剖析 变式.如图，在△ABC中，∠ACB=30°，DE是边AC的垂直平分线，点O在DE上，∠OAB=∠OBA． (1)求证：△OAB是等边三角形； (2)若OD=2，OE=4，求BE的长． 题型九、等边三角形的性质与判定 【解析】(2) 如图，过点O作OF⊥BC，交BC于点F， ∵DE是边AC的垂直平分线， ∴△CDE是直角三角形， 在Rt△CDE中，∠DCE=30°,DE=OD+OE=6， ∴CE=2DE=12，∠CED=90°-∠DCE=60°， ∵OF⊥BC， ∴△OEF是直角三角形， ∴∠EOF=90°-∠CED=30° ∴在Rt△OEF中，EF= OE= ×4=2， ∴CF=CE-EF=12-2=10， 由(1)得OB=OC， ∴△OBC是等腰三角形， 根据三线合一得，BF=CF=10， ∴BE=BF-EF=10-2=8． 题型剖析 1. 小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍(单位：dm)，她能成功拼成三角形支架的是 ( ) A.2，3，6 B.6，7，13 C.2，2，3 D.1，1，3 【解析】： A、2+3=5<6，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； B、6+7=13，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； C、2+2=4>3，能构成三角形支架，故本选项符合题意； D、1+1=2<3，不能构成三角形支架，故本选项不符合题意； 故选：C． C 针对训练 2. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则四边形AFDG的面积是 ( ) A.6 B.5 C.4.5 D.4 A 【解析】∵点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点， ∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，DF是△DBE的中线，DG是△CDE的中线， ∴S△AEF=S△DEF=S△ABE= S△ABD= S△ABC= ， 同理可得：S△AEG=S△DEG= ， ∴四边形AFDG的面积为： ×4=6． 故选：A． 针对训练 3.如图，△ACB≌△A′CB′,∠ACB=65°,∠BCA′=35°，则∠BCB′的度数为 ( ) A.100° B.30° C.35° D.65° D 【解析】∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠A′CB′=∠ACB=65°， 又∠BCB′=∠A′CB-∠BCA′， ∵∠BCA′=35°， ∴∠BCB′=65°35°=30°， 故选：B． 针对训练 4．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=105°，连接BD，若∠EAC=90°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A 【解析】∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，AD=AB=2， ∴∠BAD=∠EAC=90° ∴△ABD的面积= AB⋅AD= ×2×2=2， ∵△ABC的面积=△ADE的面积， ∴阴影的面积=△ABD的面积=2． 故选：A． 针对训练 5．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，AB=DE，E是BC中点，DE⊥AB，垂足为点F． (1)试说明：△BCA≌△DBE； (2)若AC=3cm，求BD的长． 【解析】(1)∵DE⊥AB， ∴∠EFB=90°， ∴∠DEB+∠ABC=90°， ∵∠A+∠ABC=90°， ∴∠A=∠DEB， 在△BCA和△DBE中， ∴△BCA≌△DBE(AAS)； 针对训练 5．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，AB=DE，E是BC中点，DE⊥AB，垂足为点F． (1)试说明：△BCA≌△DBE； (2)若AC=3cm，求BD的长． 【解析】 (2)∵△BCA≌△DBE， ∴BC=DB，AC=BE， ∵E是BC中点， ∴BC=2BE， ∵AC=3cm， ∴BC=6cm， ∴BD=BC=6cm， 即BD的长为6cm． 针对训练 6．已知：如图所示，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，垂足分别为D，D′，且AC=A′C′，CD=C′D′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′． 【解析】证明：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′， ∴△ACD和△A′C′D′为直角三角形． ∵Rt△ACD和Rt△A′C′D′′中， AC=A′C′,CD=C′D′， ∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(HL)， ∴∠CAB=∠C′A′B′． ∵Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠CAB=∠C′A′B′,AC=A′C′,∠ACB=∠A′C′B′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(ASA)． 针对训练 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G． (1)求证：AD是EF的垂直平分线； (2)若AB=4，AC=5，ED=2，求△ABC的面积． 【解析】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， 又AD=AD， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE=AF，DE=DF， ∴A、D都在EF的垂直平分线上， ∴AD是EF的垂直平分线； 针对训练 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G． (1)求证：AD是EF的垂直平分线； (2)若AB=4，AC=5，ED=2，求△ABC的面积． 【解析】(2) ∵AB=4，AC=5，ED=2=DF， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD =AB⋅DE+ AC⋅DF = AB⋅DE+ AC⋅DE = DE⋅ (AB+AC) = ×2×9 =9． 针对训练 8．如图，△ABC，∠ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E． (1)如图1，若∠BAC=68°，求∠BDC的度数． (2)如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM． 【解析】(1)∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠DCN， ∵∠BAC=68°， ∴∠ACN-∠ABC=∠BAC=68°， ∴∠DCN-∠CBD= ∠BAC= ×68°=34°， ∵∠BDC=∠DCN-∠CBD， ∴∠BDC=34°， 故答案为：∠BDC=34°， 针对训练 8．如图，△ABC，∠ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E． (1)如图1，若∠BAC=68°，求∠BDC的度数． (2)如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM． 【解析】(2)如图2，过点D作DP⊥AB的延长线于P，DQ⊥AC于Q，   ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴DP=DE，DQ=DE， ∴DP=DQ， ∴AD平分∠CAM， 针对训练 8．如图，△ABC，∠ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E． (3)如图3，若△ABC周长为20，求BE的长． 【解析】(3)如图2，由(2)知：DP=DQ， 在Rt△ADQ和Rt△ADP中，DP=DQ,AD=AD， Rt△ADO≌Rt△ADP(HL)， ∴AP=AQ， 同理得：BP=BE，CQ=CE， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=20， ∴AB+BC+AP+CE=20， ∵AB+AP=BC+CE， ∴BC+CE=10，即：BE=10， 故答案为：BE=10． 针对训练 9．【基础探究】( 1)如图1，AD平分∠EAC，AD∥BC，△ABC是等腰三角形吗？为什么？ 【解析】(1)△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵AD平分∠EAC， ∴∠1=∠2， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； 针对训练 9．【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】( 2)如图2，AD∥BC，AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，试探究线段AB与线段AD的数量关系，并说明理由． 【解析】(2) AB=AD，理由： 如图，∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠4． ∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠2， ∴∠B=∠4， ∴AB=AC． ∵AD∥BC， ∴∠D=∠5． ∵CD平分∠ACF， ∴∠3=∠5， ∴∠3=∠D， ∴AC=AD， ∴AB=AD； 针对训练 9．【拓展提升】( 3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，且AE平分∠BAD，请直接写出线段AD、BC和AB之间的数量关系． 【解析】(3) AB=AD+BC，理由： 如图，延长AE、BC交于点F． ∵AD∥BC，∴∠D=∠DCF，∠DAF=∠F， ∵AE平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF， ∴∠F=∠BAF，∴AB=BF． 在△ADE和△FCE中， ∠D=∠DCF,∠DAF=∠F,DE=CE， ∴△ADE≌△FCE(AAS)， ∴AD=CF． ∵BF=BC+CF， ∴AB=AD+BC． 故答案为：AB=AD+BC． 针对训练 10．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D是AB边上的中点，将△ACB绕着点A逆时针旋转，使点C落在线段CD上的点E处，点B的对应点为F，求证：CD∥AF． 【解析】证明：∵将△ACB绕着点A逆时针旋转，使点C落在线段CD上的点E处，点B的对应点为F， ∴AC=AE，∠CAD=∠EAF， ∴∠ACE=∠AEC， 在Rt△ABC中，D是AB边上的中点， ∴CD=AB=AD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴∠AEC=∠DAC， ∴∠AEC=∠EAF， ∴CD∥AF． 针对训练 11．已知：在△ACD中，P是CD的中点，B是边AD延长线上的一点，BD=AC，连接BC、AP． (1)如图(1)，如果AP⊥CD，证明：BD=AD； (2)如图(2)，过点D作DE∥AC，交AP的延长线于点E，连接BE，如果∠CAD=60°，证明：BC=2AP． 【详解】(1)证明：∵AP⊥CD，P是CD的中点， ∴AP是CD的垂直平分线，∴AC=AD， ∵BD=AC，∴BD=AD； (2)解：∵DE∥AC，∴∠CAP=∠DEP， ∵CP=DP，∠CPA=∠DPE， ∴△CPA≌△DPE(AAS)， ∴AP=EP= AE，AC=DE， ∵BD=AC，∴BD=DE， ∵DE∥AC，∴∠BDE=∠CAD=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD=BE，∠EBD=60°， ∵BD=AC，∴AC=BE， ∵∠CAB=∠EBA=60°，AB=BA， ∴△CAB≌△EBA(SAS)， ∴BC=AE， ∴BC=2AP． 针对训练 12．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． (1)过P点作PF∥BC，求证：△APF是等边三角形； 【解析】(1)证明：如图， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠C=∠A=60°， ∵PF∥BC ∴∠AFP=∠ABC=60°, ∠APF=∠C=60°， ∴∠A=∠AFP=∠APF=60°， ∴△APF是等边三角形； 针对训练 12．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段PQ的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； 【详解】 (2)解：嘉琪的说法正确，理由如下：如图， 过P点作PF∥BC，交AB于F， ∵PF∥BC，∴∠DBQ=∠DFP， 由(1)知△APF是等边三角形， ∴PF=AP=AF， 由题意得：AP=BQ， ∴PF=BQ， 又∵∠BDQ=∠PDF,∠DBQ=∠DFP， ∴△DQB≌△DPF(AAS)， ∴DQ=DP 即D为PQ中点； 针对训练 12．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． (3)当∠PQC=30°时，直接写出AE的长度． 【详解】 (3)∵∠PQC=30°，∠C=60°， ∴QP⊥AC， ∴CQ=2CP， 设BQ=AP=x， ∵等边三角形△ABC边长为6 ∴CP=6-x，CQ=6+x， ∴2(6-x)=6+x， 解得：x=2， ∵∠A=60°，PE⊥AB， ∴∠APE=30°， ∴AE= AP= ×2=1． 针对训练 ✅ 知识构建：三角形 三角形的重要概念→等腰三角形性质判定→直角三角形性质 ✅ 思想方法： 由一般到特殊→模型构建 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 三边关系 三角形 角平分线 性质 定义 特殊线段 全等三角形 判定方法 等腰三角形 等腰三角形的性质与判定 直角三角形的性质 等边三角形的性质与判定 线段垂直 平分线 概念 三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线 单元知识图谱 感谢聆听! $$