1.5.2等腰三角形的判定（课件）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版数学八年级上册 1.5.2 等腰三角形的判定 专项练习（约1600字） ## 一、知识梳理 1. **判定定理**：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。 2. **几何语言**：在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC。注意“等角”所对的边就是相等的两边，∠B对AC，∠C对AB。 3. **定义也可以判定**：有两条边相等的三角形就是等腰三角形，证明时要先看题目给的是边还是角。 4. **三线合一的逆用**：若AD⊥BC且BD＝CD，则AB＝AC；若AD平分∠BAC且AD⊥BC，则AB＝AC。 5. **常见模型**：角平分线＋平行线，一定出现等腰三角形。如BD平分∠ABC，DE∥BC，则∠EDB＝∠DBC＝∠DBE，得DE＝BE。 6. **等边三角形的判定**：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 7. **判定与性质的区别**：由角相等得边相等是判定，由边相等得角相等是性质，方向不能反。 ## 二、选择题 1. 等腰三角形的判定定理是（ ） A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．有两个角相等的三角形是等边三角形 C．有三个角相等的三角形是等腰三角形 D．有两边相等的三角形一定是等边三角形 2. 在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3. 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则（ ） A．AB＝AC B．AB＝BC C．AC＝BC D．不能确定 4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，则下列结论正确的是（ ） A．AE＝DE B．AE＝AD C．DE＝AD D．AB＝AC 5. 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则这个三角形（ ） A．是等腰三角形但不是等边三角形 B．是等边三角形 C．是直角三角形 D．不一定是等边三角形 6. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．∠A＝∠B D．∠A＝60° 7. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，则下列结论错误的是（ ） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠DAC 9. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 ## 三、填空题 10. 有两个角相等的三角形是______三角形。 11. 在△ABC中，若∠A＝∠B，则______＝______。 12. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝65°，则△ABC是______三角形。 13. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BC，则AB______AC（填“＞”“＜”或“＝”）。 14. 三个角都______的三角形是等边三角形；有一个角是60°的______三角形是等边三角形。 15. 如图，DE∥BC，BD平分∠ABC，若DE＝5，则BE＝______。 ## 四、解答题 16. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C。求证：AB＝AC。 17. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE＝BD＋CE。 18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD。求证：AB＝AC，∠B＝∠C。 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。求证：△ADE是等腰三角形。 20. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE＝DF。 ## 五、参考答案与解析 1. **A**。等角对等边是判定定理；有两个角相等并不能说明是等边三角形。 2. **A**。∠B＝∠C，由等角对等边得AB＝AC，是等腰三角形。 3. **A**。∠C＝180°－40°－70°＝70°，∠B＝∠C＝70°，所以∠B、∠C所对的边AC、AB相等。 4. **A**。因为DE∥AC，所以∠EDA＝∠DAC；又AD平分∠BAC，所以∠DAE＝∠DAC，于是∠EDA＝∠DAE，得AE＝DE。 5. **B**。三个角相等，每个角都是60°，三边相等，是等边三角形。 6. **D**。只有∠A＝60°，其余两角未知，无法判断；A、C由等角对等边判定，B是定义。 7. **B**。∠DBO＝∠OBC＝∠DOB，得DB＝DO，△BDO是等腰三角形；同理EC＝EO，△CEO也是等腰三角形；△ADE与△BOC不一定是等腰三角形，共2个。 8. **D**。∠B＝∠C，AD⊥BC，由三线合一的逆用可得AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD；但∠B与∠DAC没有相等关系，D错。 9. **A**。AD⊥BC且BD＝CD，AD是底边的垂直平分线，所以AB＝AC，是等腰三角形。 10. 等腰。 11. BC，AC。 12. 等腰。∠C＝180°－50°－65°＝65°＝∠B。 13. ＝。 14. 相等；等腰。 15. 5。由DE∥BC得∠EDB＝∠DBC，由BD平分∠ABC得∠DBE＝∠DBC，所以∠EDB＝∠DBE，BE＝DE＝5。 16. **证明**：过点A作AD⊥BC于点D。因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°。在△ABD和△ACD中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB＝AC。 17. **证明**：因为DE∥BC，所以∠DOB＝∠OBC。因为BO平分∠ABC，所以∠DBO＝∠OBC，所以∠DOB＝∠DBO，得DB＝DO。同理∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，得EC＝EO。所以DE＝DO＋OE＝BD＋CE。 18. **证明**：因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°。在△ABD和△ACD中，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，所以△ABD≌△ACD（SAS）。所以AB＝AC，∠B＝∠C。 19. **证明**：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C。因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以∠ADE＝∠AED，所以AD＝AE，△ADE是等腰三角形。 20. **证明**：因为∠B＝∠C，所以AB＝AC。因为D是BC的中点，所以BD＝CD。在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，所以△BDE≌△CDF（AAS）。所以DE＝DF。 ## 六、易错提醒 1. 判定看“角→边”，性质看“边→角”，写理由时不要写反，写反会扣分。 2. 等角对等边时，要盯住“角所对的边”，∠B对的边是AC，不是AB，这一步最容易错。 3. 三线合一的逆用要有两个条件（垂直加中点，或平分加垂直），只给一个条件推不出等腰。 4. 出现“角平分线＋平行线”，先找内错角，一般能立刻得到两条线段相等，这是常见模型。 5. 由两角相等只能得两边相等，不能推出三边相等；要判等边，还得再有第三个角相等或有一个角是60°。 苏科版（新教材）数学8年级上册 1.5.2等腰三角形的判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/7 第1章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 问题 新知探究 我们知道，等腰三角形的两底角相等。 反过来，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，∠B = ∠C。 B C A D 作 △ABC的角平分线AD。 由∠BAD = ∠CAD，∠B = ∠C，AD = AD， 可得△ABD≌△ACD ( AAS )。 ∴AB = AC。 探究新知 新知探究 等腰三角形的判定定理： 于是，我们得到等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ( 简称“等角对等边”)。 提分笔记 探究新知 新知探究 符号语言：如图，在△ABC中， ∵∠B = ∠C， ∴AB = AC。 提分笔记 B C A 探究新知 典例分析 例2 如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD // BC。 求证：AB = AC。 证明：∵AD // BC， ∴∠EAD =∠B，∠DAC = ∠C。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD = ∠DAC。 ∴∠B = ∠C。 ∴AB = AC ( 等角对等边 )。 B C A D E 探究新知 典例分析 B C A D E 在例2中，如果AB = AC，AD // BC，那么AD平分∠EAC吗？ 解：AD平分∠EAC，证明如下： ∵AB = AC ， ∴∠B = ∠C ( 等边对等角 )， ∵AD // BC， ∴∠B = ∠EAD，∠C = ∠CAD， ∴∠EAD = ∠CAD，即AD平分∠EAC。 探究新知 1.下列能判定 为等腰三角形的是( ) C A. ， B. ， C.， D.， ，周长为17 返回 举一反三 7 （第2题） 2.把一张对边平行的纸条按如图所示的方式折叠，重合 （阴影）的部分是( ) B A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定 返回 举一反三 8 3.如图，，平分，，则 的长为___. 2 （第3题） 返回 举一反三 9 典例分析 例3 尺规作图：如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使底边BC = a，高AD = h。 a h 作法 图形 ① 作线段BC = a。 ② 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D。 ③ 在MN上截取DA，使DA = h； ④ 连接AB、AC。 △ABC即为所求。 B C D M N A 探究新知 探究 新知探究 如果三角形中从一个顶点出发的中线、高线、角平分线有两条重合，那么这个三角形是否一定是等腰三角形吗？ 探究新知 探究 新知探究 ① 如图，在△ABC中，BD = CD，AD⊥BC，证明：AB = AC。 B C A D 证明：∵AD⊥BC，BD = CD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB = AC。 【结论】 如果三角形中从一个顶点出发的中线与高线重合，那么这个三角形一定是等腰三角形。 探究新知 探究 新知探究 ② 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，证明：AB = AC。 证明：∵∠ADB = ∠ADC = 90°，AD = AD，∠BAD = ∠CAD， ∴△ABD≌△ACD ( ASA )， ∴AB = AC。 【结论】 如果三角形中从一个顶点出发的高线与角平分线重合，那么这个三角形一定是等腰三角形。 B C A D 探究新知 探究 新知探究 ③ 如图，在△ABC中，BD = CD，AD平分∠BAC，证明：AB = AC。 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F， ∵BD = CD， ∴S△ABD = S△ACD， ∴AB · DE = AC · DF，即AB · DE = AC · DF， ∵AD平分∠BAC， ∴DE = DF， ∴AB = AC。 E F B C A D 【结论】 如果三角形中从一个顶点出发的中线与角平分线重合，那么这个三角形一定是等腰三角形。 探究新知 新知探究 “三线合一”的拓展： 从①等腰，②底边上的高线，③底边上的中线， ④顶角平分线中任取2个作为条件， 则剩下的2个为结论。 提分笔记 探究新知 题型探究 例1 如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F。 ( 1 ) 证明：BA = BC； ( 2 ) 求证：△AFC为等腰三角形。 根据判定定理证明等腰三角形 题型一 ( 1 ) 证明：在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE ( AAS )， ∴BA = BC； B C A D E F 探究新知 题型探究 例1 如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F。 ( 1 ) 证明：BA = BC； ( 2 ) 求证：△AFC为等腰三角形。 根据判定定理证明等腰三角形 题型一 ( 2 ) 证明：∵BA = BC， ∴∠BAC = ∠BCA ( 等边对等角 )， ∵∠BAD=∠BCE， ∴∠FAC = ∠FCA， ∴FA = FC ( 等角对等边 )，即△AFC为等腰三角形。 B C A D E F 探究新知 4.在中， ，为的中点，则 的度数为 _____. 返回 举一反三 18 5.如图，在中， ， ，则图 中的等腰三角形有___个. 6 （第5题） 返回 举一反三 19 6.如图，是外角的平分线，且 .求证： 是等腰三角形. 证明：，， . 是 外角的平分线， . ，即 是等腰三角形. 返回 举一反三 20 7.如图，在锐角三角形中，点是 边上一 点，，于点，与 交于 点.判断 的形状并说明理由. 解：是等腰三角形.理由如下：过点 作 于点，， ， ， ， 是等腰三角形. 返回 举一反三 21 8.如图，为内一点，平分 ， ，垂足为，交于点 .若 ，，，则 的长为 ( ) D A.3 B.1.5 C.2.5 D.2 返回 举一反三 22 9.如图，，，分别平分的内角 和外角 ，连接.以下结论：； ； ；和 都是等腰三角形.其中正 确的结论有__________.（填序号） ①②③④ 返回 举一反三 23 （第10题） 10. 如图， ， 是射 线反向延长线上的一点，，动点 从点出发沿以的速度移动，动点 从点 出发沿以的速度移动，如果点， 同 时出发，用表示移动的时间，当 _______ 时， 是等腰三角形. 4或12 返回 举一反三 24 11. 如图，,平分， 于点 ,为的中点，连接交于点,则图中两个阴影三角形 与 的面积之差的最大值为__. （第11题） 返回 举一反三 25 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ( 简称“等角对等边”)。 “三线合一”的拓展： 从①等腰，②底边上的高线，③底边上的中线，④顶角平分线中 任取2个作为条件，则剩下的2个为结论。 课 堂 总 结 课堂小结 谢谢观看 THANKS $