第一章 三角形（复习课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的概念性质判定及应用，通过知识图谱将三角形基础知识全等三角形等腰三角形等核心内容串联，结合考点串讲构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”分层模式，如全等三角形判定通过多种条件添加例题培养推理能力，针对训练从基础选择到综合探究题设计，发展数学思维与应用意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准教学提升复习效率。

第一章 三角形 复习课件 苏科版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 1. 理解三角形的中线、高、角平分线、全等三角形、等腰三角形、等边三角形等基本概念； 02 工具掌握 2.掌握三角形三边关系、边角关全等的性质和判定方法、线段中垂线、角平分线的性质和判定方法、等腰（边）三角形性质与判定； 深化理解 3.掌握全等三角形各个判定的推导、等腰（边）三角形之间的关系及其性质的异同及其关系； 思想与应用 在复习过程中体会分类讨论的数学思想，并能运用分类讨论的数学思想解决简单的相关问题。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.全等三角形的性质与判定方法的灵活运用及其综合运用； 2.等腰（边）三角形的“三线合一” 性质的灵活运用、等腰（边）三角形判定方法的运用； 3.线段垂直平分线与角平分线的性质定理的实际运用。 1.三角形的三边关系、边角关系、三角形的高线、中线、角平分线等相关重要概念； 2.全等三角形的性质与判定方法； 3.等腰（边）三角形的概念、性质与判定方法； 4.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理。 4 知识图谱 三角形 三角形的基础知识 三角形的三边关系 三角形的边角关系 全等三角形 概念 性质 判定 对应边相等 对应角相等 SAS ASA AAS SSS HL 等腰（边）三角形 概念 性质 判定 线段垂直平分线 角平分线 5 考点串讲 ——1：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系文字语言： 三角形的_______两边之和______第三边． （1）判断三条线段能否组成三角形； （2）根据两条边的长度求第三边的取值范围。 （3）判断三条线段能否组成三角形时只需判断：小+中>大成立即可 归纳总结 2.几何语言： 任意 大于 6 3.应用：证明或比较三角形相关的角或边的大小关系。 考点串讲 ——2：三角形边角关系 【注意】 三角形的边角关系“大边对大角，大角对大边”只能在同一个三角形中使用． 1.三角形的边角关系: 文字语言：在同一个三角形中， 的边所对的角也 ． 简称“ ”。 2.几何语言： 较大 较大 大边对大角，大角对大边 7 考点串讲 ——3：三角形中的高、中线、角平分线 图形 语言 文字 语言 从三角形的一个 向它的 所在直线作 ， 与 之间的 叫作三角形的高。 几何 语言 性质 判定 三 角 形 的 高 顶点 对边 垂线 顶点 垂足 线段 8 考点串讲 ——3：三角形中的高、中线、角平分线 图形 语言 文字 语言 在一个三角形中，连接一个 与它 的 ，叫作三角形的中线。 几何 语言 性质 判定 三 角 形 的 中 线 顶点 对边中点 线段 9 考点串讲 ——3：三角形中的高、中线、角平分线 图形语言 文字语言 在一个三角形中，一个内角的 与这个角的对边相交，这个角的 与交点之间的 ，叫作三角形的角平分线。 几何语言 性质 判定 三 角 形 的 角 平 分 线 平分线 顶点 线段 10 考点串讲 ——4：全等三角形 1.全等三角形概念：两个能__________的三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的表示方法： 完全重合 3．全等三角形性质： （1）全等三角形__________ 相等， __________ 相等； （2）全等三角形__________ 相等， __________ 相等。 对应边 对应角 周长 面积 【注意】 在表示三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上． 11 考点串讲 ——4：全等三角形 4．全等三角形判定方法： （1）方法一：基本事实一（“边角边”或“SAS”）； 图形 语言 文字 语言 及其 分别相等的两个三角形全等. （简写成“ ”或“ ”） 几何 语言 两边 夹角 边角边 SAS 12 3．全等三角形判定方法： （2）方法二：基本事实二（“角边角”或“ASA”）； 图形 语言 文字 语言 及其 分别相等的两个三角形全等 （简写成“ ”或“ ”） 几何 语言 考点串讲 ——4：全等三角形 两角 夹边 角边角 ASA 13 3．全等三角形判定方法： （3）方法三：基本事实二推论（“角角边”或“AAS”）； 图形 语言 文字 语言 分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等（简写成“ ”或“ ”） 几何 语言 考点串讲 ——4：全等三角形 两角 对边 角角边 AAS 14 3．全等三角形判定方法： （4）方法四：基本事实三（“边边边”或“SSS”）； 图形 语言 文字 语言 分别相等的两个三角形全等 （简写成“ ”或“ ”） 几何 语言 考点串讲 ——4：全等三角形 三边 边边边 SSS 15 3．全等三角形判定方法： （5）方法五：判定两个直角三角形全等的判定定理（ 简称“HL”）； 图形 语言 文字 语言 和一条 分别相等的两个直角三角形全等（简写成 “ ”） 几何 语言 考点串讲 ——4：全等三角形 斜边 直角边 HL 16 考点串讲 ——5：线段垂直平分线、角平分线 1．线段垂直平分线的性质定理： （1）文字语言： 的点到 的距离相等； （2）图形语言： （3）几何语言： 线段垂直平分线上 线段两端 17 2．线段垂直平分线的性质定理的逆定理： （1）文字语言：到 距离相等的点在 ； （2）图形语言： （3）几何语言： 考点串讲 ——5：线段垂直平分线、角平分线 线段垂直平分线上 线段两端 18 考点串讲 ——5：线段垂直平分线、角平分线 3．角平分线的性质定理： （1）文字语言： 的点到 的距离相等； （2）图形语言： （3）几何语言： 角平分线上 角两边 19 考点串讲 ——5：线段垂直平分线、角平分线 3．角平分线的性质定理的逆定理： （1）文字语言： 到角两边 的点在角的 ； （2）图形语言： （3）几何语言： 角的内部 距离相等 平分线上 20 考点串讲 ——6：等腰三角形与等边三角形 1．等腰三角形的定义： （1）文字语言：有 的三角形叫做等腰三角形。 （2）图形语言： （3）几何语言： 两条边相等 21 考点串讲 ——6：等腰三角形与等边三角形 性质定理1 性质定理2 图形语言 文字语言 等边对等角 三线合一 几何语言 2．等腰三角形的性质： 请尝试写出其它几种情形。 22 考点串讲 ——6：等腰三角形与等边三角形 判定定理 图形语言 文字语言 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简称为“等角对等边” ） 几何语言 3．等腰三角形的判定： 23 考点串讲 ——6：等腰三角形与等边三角形 4．等边三角形的定义： （1）文字语言： 都相等的三角形叫做等边三角形。 （2）图形语言： （3）几何语言： 三条边 24 性质 边 角 三线 整体 考点串讲 ——6：等腰三角形与等边三角形 三条边都相等 5．等边三角形的性质： 三角都等于60° 三线合一 轴对称图形，三条对称轴 25 图形语言 文字语言 在直角三角形中，如果一个锐角等于 °，那么它 是 。 几何语言 考点串讲 ——7：含30°角的直角三角形 30 含30°角的直角三角形的性质： 所对的直角边 斜边的一半 26 题型全解 题型01 三角形的三边关系 例1 下列各组线段中，不能组成三角形的是 ( ) A.2cm,cm,cm() B.3cm,8cm,10cm C.6cm,6cm,6cm D.三条线段之比为1:2:3 【解析】选项A：∵，较小两边为2和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项B：较小两边为3cm和8cm，和为3+8=11cm，最长边为10cm，∵11>10，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项C：三边均为6cm，较小两边和为6+6=12cm，∵12>6，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合题意． 选项D：设三条线段长分别为，较小两边和为，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意． 故，答案选择D项。 27 题型全解 题型01 三角形的三边关系 方法总结 方法 根据三角形三边关系判断所给线段能否三角形 选取三条线段中较短的两条线段，如果它们的和大于最长的线段，那么可以构成三角形，否则就构不成三角形，不需要三种情况都判断。 题型全解 题型02 三角形的边角关系 例2如图，已知∠ADB>∠B>∠C，下列说法正确的是 ( ) A.AC>AB>AD B.AC>AD>AB C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD 【解析】在△ABD中，∠ADB>∠B， ∴AB>AD， 在△ABC中，∠B>∠C， ∴AC>AB， ∴AC>AB>AD， 故选：A． 29 题型全解 题型02 三角形的边角关系 易错提醒 使用三角形的边角关系（大边对大角，大角对大边）时，一定要注意使用条件：在同一个三角形中。 题型全解 题型03 三角形的高、中线、角平分线 例3如图，在△ABC中，从顶点A引出三条线段AD、AE、AF，其中：AD是BC边上的高，AE是角平分线，AF是BC边上的中线．下列说法错误的是 ( ) A.BF=FC B.∠BAE=∠CAE C.AD⊥BC D.AB=BC 【解析】∵AF是BC边上的中线． ∴BF=FC，故A正确， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE=∠CAE，故B正确， ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC，故C正确， 没有条件判断AB=BC，故D错误， 故选：D． D 31 题型全解 题型03 三角形的高、中线、角平分线 方法总结 对三角形的高、中线、角平分线这三个概念的理解要注意： ①三角形的高、中线、角平分线这三条都是线段，要注意不是直线，也不是射线！ ②这里要特别注意三角形的中线有一个特性：平分三角形的面积。 题型全解 题型04 全等三角形的性质 例4 如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是 ( ) A.∠E=∠B B.∠EAB=∠CAD C.∠BAD=∠CAD D.AD=AC 【解析】解：选项A，∵△ABC≌△AED，∴∠E=∠B，故选项A正确，不符合题意； 选项B，∵△ABC≌△AED，∴∠C=∠ADE，AD=AC，∠BAC=∠EAD，∴∠ADC=∠C，∴∠C=∠ADE=∠ADC， ∴∠BDE=2∠C，在△ACD中，∠DAC=180°2∠C，∴∠BDE=∠DAC，∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠EAB，∴∠EAB=∠CAD，故选项B正确，不符合题意； 选项C，从现有条件不能推导出∠BAD=∠CAD，故结论C不正确，符合题意； 选项D，∵△ABC≌△AED，∴AD=AC，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． C 33 题型全解 题型04 全等三角形的性质 方法总结 根据全等三角形的性质推断结论正误 ①根据全等三角形可以直接推断的结论只有对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等； ②有很多时候要求推断的结论由全等不能直接推断出来，可以借助等量代换、等式的性质等相关知识进行二次推断，例如例题中的B和C项。 题型全解 题型05 全等三角形的判定 例5如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP (不能添加辅助线)． (1)添加条件 ，依据是 ； (2)添加条件 ，依据是 ； (3)添加条件 ，依据是 ； (4)添加条件 ，依据是 ； 【解析】(1)解：可添加条件：BP=DP， 证明如下：在△ABP和△CDP中AP=CP,∠APB=∠CPD,BP=DP，∴△ABP≌△CDP(SAS)， (2)解：可添加条件：AB=CD， ∵AC⊥BD，∴∠APB=∠CPD=90°， 在Rt△APB和Rt△CPD中， AP=CP,AB=CD，∴Rt△APB≌Rt△CPD(HL)， (3)解：可添加条件：∠A=∠C， 证明如下：在△ABP和△CDP中， ∠APB=∠CPD,AP=CP,∠A=∠C， ∴△ABP≌△CDP(ASA)， (4)解：可添加条件：∠B=∠D， 证明如下：在△ABP和△CDP中， ∠APB=∠CPD,∠B=∠D,AP=CP， ∴△ABP≌△CDP(AAS)， BP=DP SAS AB=CD HL ∠A=∠C ASA ∠B=∠D AAS 35 题型全解 题型05 全等三角形的判定 方法总结 方法 1：分析法 如何选择全等的判定方法，根据所要证明的结论分析，看看需要哪些条件，这些条件有哪些题目已给，哪些条件未知，这些未知的条件再通过什么样的条件或方法可以求出，根据条件选择方法。 方法 2：综合法 当我们不知道如何进行证明全等时，可以通过对条件分析，看看能得到什么有用的结论，这些结论综合起来，选择合适的方法，又能得出什么结论，一步一步向所证靠近。 题型全解 题型06 全等三角形的性质与判定综合 例6 如图，已知AN⊥OB于点N，BM⊥OA于点M，OM=ON，BM与AN相交于点P，连接OP． (1)求证：点P在∠AOB的平分线上； (2)求证：∠A=∠B． 【解析】 (1)证明：∵AN⊥OB，BM⊥OA， ∴∠ANO=∠BMO=90°， ∵在Rt△ONP和Rt△OMP中， OP=OP,OM=ON，∴Rt△ONP≌Rt△OMP(HL)， ∴∠NOP=∠MOP， ∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上； (2)证明：∵Rt△ONP≌Rt△OMP， ∴∠OPN=∠OPM， ∵∠NPB=∠MPA， ∴∠OPB=∠OPA， 在△OBP和△OAP中， ∠NOP=∠MOP,OP=OP,∠OPB=∠OPA， ∴△OBP≌△OAP(ASA)， ∴∠B=∠A． 37 题型全解 题型06 全等三角形的性质与判定综合 方法总结 ①全等三角形的性质与判定综合型问题是常考的一类问题，这类题目通常解题步骤都是先通过题目所给条件，选择合适的全等判定方法证明全等，再通过这个全等得出相应的性质，然后再利用这个性质去解决题目所给的问题； ②证明全等时，要综合考虑各种方法的利弊，最好将各种方法都考虑全面，都尝试一下，积累丰富的解题经验，这样才能在遇到难题时，进行灵活处理。 题型全解 题型07 线段的垂直平分线、角平分线 例7以下说法中错误的是 ( ) A.如果直线是线段AB的垂直平分线，点P在上，那么PA=PB。 B.如果点P到线段AB两个端点的距离相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上。 C.如果点P是∠AOB内一点，M、N分别在OA、OB上，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线。 D.如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，那么点P到OA、OB的距离相等。 【解析】 ∵直线是线段AB的垂直平分线，点P在上，则PA=PB，∴ A正确，故不符合题意； ∵点P到线段AB两个端点的距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 角平分线的判定要求点P到OA和OB的垂直距离相等，但选项C中PM和PN是点P到OA和OB上点M、N的距离，不一定垂直，∴ 不能推出OP是∠AOB的平分线，∴ C错误，故符合题意； ∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，则点P到OA、OB的距离相等，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． C 39 题型全解 题型07 线段的垂直平分线、角平分线 方法总结 ①线段的垂直平分线（中垂线）的性质定理与其逆定理是互逆命题，它们的条件和结论是互换的，解题时注意二者的区别，不要混淆，它们的条件不同，作用也不同。 ②角平分线的性质定理与其逆定理也是互逆命题，但是要注意这两者中都有一个关键的条件就是“距离”，也就意味着都必须有“垂直”这样的条件，才能保证结论成立。 题型全解 题型08 等腰三角形的性质 例8如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A，求证：∠1=∠2． 【解析】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵AF⊥AD， ∴AF∥BC， ∴∠2=∠C，∠1=∠B， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠1=∠2． 41 题型全解 题型08 等腰三角形的性质 方法总结 等腰三角形的性质的使用注意 ①等腰三角形的“三线合一”性质有三种不同的形式，对于这三种不同的形式如何选取，关键要看我们想得到什么结论，根据这个选择，不要将这三种形式搞混，这是最易出现的错误。 ②等腰三角形的性质“等边对等角”这条性质记住只能用于同一个三角形中，而不能用于两个三角形中，这也是容易忽略的地方。 题型全解 题型09 等腰三角形的判定 例9 如图，在四边形ABCD中，F是CB的延长线上一点，连接DF交AB于点E，∠ADF=∠DFC，点G在边BC上，连接DG，DF平分∠ADG．求证：△DGF是等腰三角形． 【解析】证明：∵DF平分∠ADG， ∴∠ADF=∠GDF， ∵∠ADF=∠DFC， ∴∠GDF=∠DFC， ∴GD=GF， ∴△DFG是等腰三角形． 43 题型全解 题型09 等腰三角形的判定 方法总结 等腰三角形的判定方法 方法1：直接证明两边相等； 方法2：证明两个内角相等，再通过“等角对等边”得到两边相等。 题型全解 题型10 等边三角形的性质 例10如图，等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 ( ) A.45° B.55° C.60° D.75° 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°， ∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE(SAS)， ∴∠DAB=∠CBE， ∵∠ABP+∠CBE=60°， ∴∠ABP+∠DAB=60°， ∴∠APE=60°． C 45 题型全解 题型10 等边三角形的性质 方法总结 等边三角形的性质 ①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质； ②等边三角形特殊性质： 三边相等； 三角相等都是60°； 是轴对称图形，有三条对称轴。 题型全解 题型11 等边三角形的判定 例11如图，△ABC是等边三角形，D为BC边延长线上一点，CE平分∠ACD，CE=BD． (1)求证：∠BAD=∠CAE； (2)判别△ADE是什么特殊三角形？并说明理由． 【解析】 (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC， ∴∠ACD=180°-∠ACB=120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=60°， ∴∠B=∠ACE 又AB=AC，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠BAD=∠CAE； (2)解：△ADE是等边三角形，理由如下： ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC=60° ∵△ABD≌△ACE， ∴AD=AE， ∴△ADE是等边三角形． 47 题型全解 题型11 等边三角形的判定 方法总结 等边三角形的判定方法 ①直接证明三边相等； ②证明三角形的三个内角相等（或都是60°） ③等腰+60°：这种方法用的最多，就是先证明是等腰三角形，再证明有一个角是60°。 题型全解 题型12 含30°角的直角三角形 例12如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB于点A，AD与BC边交于点D，若BC=9，则CD的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°， ∵AD⊥AB于点A， ∴∠BAD=90°， ∴BD=2AD,∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°=∠C， ∴AD=CD， ∴BD=2CD， ∴BC=BD+CD=3CD=9， ∴CD=3. B 49 题型全解 题型12 含30°角的直角三角形 方法总结 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。这个结论是根据等边三角形的性质推导出来的，在使用这一结论时通常有两种使用方法：一是直接使用这一结论进行计算或推理；二是通过添加辅助线将图形还原成等边三角形，然后利用等边三角形的概念与性质解题。 1．已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是 ( ) A.1cm B.3cm C.5cm D.6cm 针对训练 A 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，若∠B>∠A>∠C，则a、b、c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c D 3．下列叙述正确的个数为(　　)． ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 4．下列说法正确的是 ( ) A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.周长相等的两个三角形全等 D.全等三角形的对应边相等 针对训练 D 5．如图，已知△ABE≌△ACD，AB=7,BD=3，则AE的长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 B 【解析】∵AB=7,BD=3 ∴AD=AB-BD=4 ∵△ABE≌△ACD ∴AE=AD=4． 6．如图，在△ABC 中，DE 是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC 的周长为 cm． 针对训练 19 7．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，记两把尺的接触点为点P．上边缘与射线OA相交于点M，连接OP．若∠BOP=28°，则∠AMP的大小为 ． 56° 8．如图，AD是△ABC 的中线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD于点F，G是AF 上一点，连接BG ． (1)证明：DE=DF． (2)若∠CAF=∠BGE，DE=2，求AG的长． 针对训练 【解析】(1)证明：∵AD是△ABC 的中线，∴BD=CD， ∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD=90°,∠BDE=∠CDF,BD=CD ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE=DF． 【解析】(2)解：由(1)△BED≌△CFD， ∴DE=DF，BE=CF， ∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEG=∠CFA=90°， ∵∠BGE=∠CAF，∴△BEG≌△CFA(AAS)， ∴GE=AF， ∵DE=2，∴GE=DE+DF+FG=4+FG， ∴AF=FG+AG，∴4+FG=FG+AG， ∴AG=4． 9．如图，在△ABC和△DEF中，点E在AC边上，点C在DF边上，若∠ACB=∠F，∠A=∠D，请你从以下三个选项：①BC=EF；②AC=DF；③∠B=∠DEF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得△ABC≌△DEF． (1)你选择的补充条件是 ； (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程． 针对训练 【解析】(1) ①(或②) (2)选①，证明如下： 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠F,∠A=∠D,BC=EF， ∴△ABC≌△DEF(AAS)． 选②，证明如下： 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE,AC=DF,∠A=∠D， ∴△ABC≌△DEF(ASA)． ①(或②) 10．【探究】 (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为 ． A.SSS   B.SAS C.AAS D.ASA 【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8，DE=6，求出EP的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB+∠COD=180°，连接AC、BD，E是AC的中点，证明：OE=BD． 针对训练 B 针对训练 10.【解析】(1)解：因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC， 延长AD至点E， 所以∠ADC=∠EDB， 又ED=AD，所以△ADC≌△EDB(SAS)， 故选：B； (2)解：延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，如图，则QE=2PE， 在△PDE与△PQF中， PE=PQ,∠EPD=∠QPE,PD=PF， ∴△EDP≌△QFP(SAS)，∴FQ=DE=6， 在△EFQ中，EFFQ<QE<EF+FQ， 即86<2EP<8+6， ∴EP的取值范围为1<EP<7； 针对训练 10.【解析】(3)证明：延长OE至H，使EH=OE，连接CH， 如图：∵E是AC的中点，∴AE=CE， ∵OE=EH，∠AEO=∠CEH，∴△ABC≌△CEH(SAS)， ∴AO=CH，∠A=∠HCE，∴AO∥CH， ∴∠AOC+∠HCO=180°， ∵∠AOB+∠COD=180°， ∴∠AOC+∠BOD=180°， ∴∠BOD=∠HCO， ∵CH=OA=OB，OC=OD， ∴△BOD≌△HCO(SAS)， ∴BD=OH， ∴OE=BD． 11．已知：如图，在等腰△DBF中，DE⊥BF，点A是线段BD延长线上一点，点C在线段EF上，连接AC交DF于点M，∠A=∠BDF． (1)求证：AC⊥BF； (2)若∠B=50°，求∠AMD的度数． 针对训练 【解析】(1)证明：∵△DBF是等腰三角形，DE⊥BF， ∴∠BDE=∠BDF， 又∵∠A=∠BDF， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC， ∵DE⊥BF， ∴AC⊥BF； (2)解：∵等腰△DBF中，∠B=50°，DE⊥BF， ∴∠BDE=∠EDF=， 由(1)知：DE∥AC， ∴∠AMD=∠EDF=40°． 12．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，点A与点E关于BC所在直线对称，连接BE,CE，延长AD交BE于点F．求证： (1)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC． 针对训练 【解析】(1)证明：∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD=22.5°， ∴∠ADC=∠BDF=， ∵点A与点E关于直线BC对称，∴∠EBC=∠CBA=45°， ∴∠ABF=90° ∴∠AFB=90°∠BAD=90°22.5°=67.5°， ∴∠BDF=∠AFB， ∴BF=BD； ∴△BDF是等腰三角形； 12．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，点A与点E关于BC所在直线对称，连接BE,CE，延长AD交BE于点F．求证： (1)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC． 针对训练 【解析】(2)证明：过D作DK⊥AB于K，如图： ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠KAD， ∵DK⊥AB，∴∠AKD=90°=∠ACD， 在△ACD和△AKD中，∠ACD=∠AKD,∠CAD=∠KAD,AD=AD， ∴△ACD≌△AKD(AAS)，∴AC=AK，CD=DK， ∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠KBD=45°， ∴△KBD是等腰直角三角形， ∴BK=DK， ∴BK=CD， ∵AB=AK+BK， ∴AB=AC+CD， ∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC． K 13．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=60°，点D是△ABC外一点，连接AD、CD，DA=DC，过点D作DE∥BC分别交AB、AC于点E、F． (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)连接BD交AC于点G，若AB=15，DE=10，求AE的长． 针对训练 【解析】 (1)证明：在△ABC中，BA=BC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°， ∵DE∥BC，∴∠AFE=∠BCA=60°，∠AEF=∠ABC=60°， ∴△AEF是等边三角形； (2)解：∵BA=BC，DA=DC， ∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BG⊥AC， ∵BA=BC，∠ABC=60°， ∴∠ABG=∠CBG=(1)/(2)∠ABC=30°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE=∠CBG=30°， ∴∠BDE=∠ABG=30°， ∴BE=DE=10， ∴AE=AB-BE=15-10=5． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请用尺规作图把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．(用两种不同方法，在两个直角三角形中作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程)． 针对训练 【解析】 15．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD，∠ADE=∠AED=45°，连接DE，CE． 针对训练 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系：① ，② ； 针对训练 (1)解：∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∠DAE=90°，即∠CAE+∠CAD=90°， ∴∠CAE=∠BAD， ∵在△CAE和△BAD中， AB=AC,∠CAE=∠BAD,AD=AE， ∴△CAE≌△BAD(SAS)， ∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ∴BC⊥CE，即BD⊥CE． 实践探究： (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由； 针对训练 (2)解：成立，理由如下： ∵∠BAC=90°，∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△DAB和△EAC中， AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE， ∴△DAB≌△EAC(SAS)， ∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ∴CE⊥BC，即CE⊥BD． 实践探究： (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D在射线BC上运动的过程中，如果BC=6，CD=4，请直接写出线段CE的长． 针对训练 (3)解：当点D在BC上时， 由(1)可知△CAE≌△BAD， ∵BC=6，CD=4， ∴BD=BC-CD=6-4=2， ∴CE=BD=2； 当点D在BC延长线上时， 由(2)可知△DAB≌△EAC， ∵BC=6，CD=4， ∴BD=BC+CD=6+4=10， ∴CE=BD=10， 综上，CE=2或10． 单元总结/易错复盘 ·核心概念 1.全等三角形； 2.等腰三角形； 3.等边三角形； 4.线段的垂直平分线； 5.角平分线； 吃透每个核心概念的内涵是关键。 ·重点方法 1.全等三角形判定方法； 2.等腰三角形、等边三角形的性质与判定方法； 理清各种方法之间的关系，灵活运用是重点。 ·答题注意事项 1.对条件不确定的问题要学会分类讨论处理； 2.对陌生问题或复杂问题要学会将其转化为简单问题或熟悉问题进行处理。 68 苏科版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $