1.4.1 线段垂直平分线的性质（课件）--2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版八年级上册 1.4.1 线段垂直平分线的性质 专项练习（约1600字） ## 知识梳理 1. **线段垂直平分线定义**：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2. **性质定理**：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线l垂直平分AB，点P在直线l上，则 **PA=PB**。 3. **逆定理**：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 重要推论：三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的**外心**，外心到三角形三个顶点的距离相等。 5. 作图：尺规作线段的垂直平分线，原理是SSS全等。 6. 解题思路：看到垂直平分线，优先直接转化得到两条线段相等，不用再证全等；需要证明一点在垂直平分线上，就证明该点到线段两端距离相等。 7. 区分：垂直平分线是**直线**；中线、高是线段。 ## 一、选择题 1. 点P在线段AB的垂直平分线上，则一定有（） A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB 2. 如图，直线MN垂直平分线段AB，点C在MN上，连接AC、BC，若AC=7，则BC的长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若PA=PB，则可以得到（） A. 点P一定是AB中点 B. 点P在AB的垂直平分线上 C. 直线AB垂直平分线段OP D. AB垂直平分PA 4. 三角形三边垂直平分线的交点是（） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 5. 外心的性质是（） A. 到三边距离相等 B. 到三个顶点距离相等 C. 平分三角形内角 D. 平分三角形面积 6. 下列说法正确的是（） A. 线段的垂直平分线是一条线段 B. 到线段两端距离相等的点只有一个 C. 一条线段的垂直平分线有无数条 D. 若一点在线段垂直平分线上，则到两端点距离相等 7. 如图，DE垂直平分AC，AD=5，则CD等于（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 8. △ABC中，AB=AC，BC边上的垂直平分线经过点A，则△ABC是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 9. 尺规作线段垂直平分线的依据是（） A. SAS B. ASA C. SSS D. HL ## 二、填空题 10. 线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 11. 若点P到线段AB两端A、B的距离相等，则点P在AB的________上。 12. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形________距离相等。 13. 直线l垂直平分AB，AB=8，点P在l上，PA=6，则PB=______。 14. 如图，MN垂直平分BC，若AB=10，AC=6，则△ADC的周长=______。 15. 线段的垂直平分线是一条______（填“直线”“射线”“线段”）。 ## 三、解答题 16. 如图，直线l垂直平分AB，点P在l上，求证：PA=PB。 17. 如图，DE垂直平分BC，AB=10，AC=7，求△ACD的周长。 18. 已知：PA=PB，QA=QB。求证：直线PQ是线段AB的垂直平分线。 19. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线交于点O。求证：OA=OB=OC。 20. 如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于D，∠A=30°，求∠ACD的度数。 ## 参考答案与解析 1. A 解析：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，PA=PB。 2. C 解析：C在AB垂直平分线上，BC=AC=7。 3. B 解析：逆定理：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上。 4. C 解析：三边垂直平分线交点叫外心；中线交点是重心，三高交点垂心，角平分线交点内心。 5. B 解析：外心到三个顶点距离相等；内心到三边距离相等。 6. D 解析：垂直平分线是直线；到两端距离相等的点有无数个，都在垂直平分线上；一条线段只有一条垂直平分线。 7. B 解析：DE垂直平分AC，D在垂直平分线上，CD=AD=5。 8. C 解析：A在BC垂直平分线上，AB=AC；又BC垂直平分线过A，可得AB=BC，三边相等，等边三角形。 9. C 解析：尺规作图构造两组相等半径，利用SSS全等得到垂直平分。 10. 两个端点 11. 垂直平分线 12. 三个顶点 13. 6 14. 16 解析：MN垂直平分BC，BD=CD，周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=16 15. 直线 16. **证明** 设l交AB于点O，∵l垂直平分AB，∴AO=BO，∠POA=∠POB=90° 在△POA和△POB中 $\begin{cases}AO=BO\\∠POA=∠POB\\PO=PO\end{cases}$ ∴△POA≌△POB（SAS） ∴PA=PB 17. **解** ∵DE垂直平分BC，∴DB=DC $C_{\triangle ACD}=AC+AD+DC=AC+AD+BD=AC+AB$ ∵AB=10，AC=7 ∴周长=10+7=17 答：△ACD周长为17。 18. **证明** ∵PA=PB，∴P在AB垂直平分线上 ∵QA=QB，∴Q在AB垂直平分线上 两点确定一条直线，∴直线PQ是线段AB的垂直平分线。 19. **证明** ∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB ∵点O在AC的垂直平分线上，∴OA=OC ∴OA=OB=OC 20. **解** ∵DE垂直平分AC，D在AC垂直平分线上 ∴DC=DA，△DAC是等腰三角形 ∴∠ACD=∠A=30° 答：∠ACD=30°。 ## 易错提醒 1. 性质：**线上的点 ⇒ 距离相等**；逆定理：**距离相等 ⇒ 点在垂直平分线上**，不要搞反。 2. 垂直平分线是直线，只能说“点在垂直平分线上”，不能说“线段垂直平分线上”。 3. 看到垂直平分线，优先直接用性质得线段相等，不用每次都证全等，节省步骤。 4. 外心到顶点相等，内心到三边相等，极易混淆，一定要分清。 5. 证明一条直线是垂直平分线，需要证明**两个点**到线段两端距离相等，两点确定一条直线。 要不要继续出 **1.4.2 角平分线的性质** 的专项练习？ 苏科版（新教材）数学8年级上册 1.4.1线段垂直平分线的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/7 第1章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 全等三角形是研究图形性质的重要工具。 在“图形的变换”一章中，我们曾通过折纸发现线段和角都是轴对称图形，其对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线所在直线。 本节，我们利用全等三角形研究它们的性质。 课 题 导 入 探究新知 问题 新知探究 如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB。线段PA与PB一定相等吗？如何证明？ B O l A P 解：① 当点P与点O重合时，显然PA = PB； ② 当P与点O不重合时， ∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴AO = BO，∠POA = ∠POB = 90°。 通过“SAS”，可证△POA≌△POB， ∴PA = PB。 探究新知 新知探究 线段垂直平分线的性质定理： 于是，我们得到线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 提分笔记 探究新知 新知探究 符号语言：如图， ∵直线OP垂直平分线段AB， ∴PA = PB。 提分笔记 B O l A P 探究新知 问题 新知探究 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 解：① 如图，当点Q在线段AB上时， 如果QA = QB， 那么Q是线段AB的中点， ∴线段AB的垂直平分线一定经过点Q。 A B Q 探究新知 问题 新知探究 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 解：② 如图，当点Q在线段AB外时， 作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA = ∠QMB = 90°。 如果QA = QB， 那么通过“HL”，可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM， ∴AM = BM，即M是线段AB的中点， ∴QM是线段AB的垂直平分线，即点Q一定在线段AB的垂直平分线上。 B A Q M 探究新知 新知探究 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 于是，我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 提分笔记 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 探究新知 新知探究 符号语言：如图， ∵PA = PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 提分笔记 B O l A P 探究新知 讨论 新知探究 如图，AB = AD，CB = CD，AC，BD相交于点E。你能在图中找到哪些相等的角？证明你的结论。 解：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； ② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE； ③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。 B A C D E 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。 探究新知 讨论 新知探究 证明：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； 证明：在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC ( SSS )， ∴ ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； B A C D E 探究新知 讨论 新知探究 证明：② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE； 证明：在△ABE与△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE ( SAS )， ∴ ∠ABE = ∠ADE， 同理：△CBE≌△CDE ( SAS )， ∴ ∠CBE = ∠CDE； B A C D E 探究新知 讨论 新知探究 证明：③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。 证明：∵△ABE≌△ADE， ∴ ∠AEB = ∠AED， 又 ∠AEB + ∠AED = 180°， ∴ ∠AEB = ∠AED = 90°， 同理：∠CEB = ∠CED = 90°。 B A C D E 探究新知 典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：如图，OA、OB、OC。 ∵点O在AB的垂直平分线l1上， ∴OA = OB ( 线段垂直平分线的性质定理 )。 同理，OA = OC。 ∴OB = OC。 ∴点O在BC的垂直平分线上 ( 线段垂直平分线性质定理的逆定理 )。 A B C l1 l2 O 探究新知 （第1题） 1. 如图是小甲在学完成语“箭在弦上”后绘制 的一个简笔画，已知箭杆垂直平分 ， ,则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 15 （第2题） 2. 如图， ， ，那么下列判断正确的是( ) B A.垂直平分 B.垂直平分 C.平分 D. 返回 举一反三 16 3.如图，线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点 恰好在 上，且，则点到 点的距离为______. （第3题） 返回 举一反三 17 新知探究 三角形的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点， 且该点到三角形三个顶点的距离相等。 提分笔记 探究新知 题型探究 例1-1 如图，在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 根据性质定理求角度 题型一 解：∵在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 100°， ∵MN是AC边的垂直平分线， ∴DA = DC， ∴∠DAC =∠C = 30°， ∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 100° - 30° = 70°。 B A C D M N C 探究新知 题型探究 例1-2 已知：如图，AB = AE，BC = ED，AF垂直平分CD，∠B = 110°， 求∠E的度数。 根据性质定理求角度 题型一 解：如图，连接AC，AD， ∵AF垂直平分CD， ∴AC = AD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED ( SSS )， ∴∠E = ∠B = 110°。 B A E D F C 探究新知 题型探究 例2 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 若AB = 4，BC = 9，则△AEF的周长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 根据性质定理求线段长 题型二 解：∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC， ∴AE = BE，AF = CF， ∴C△AEF = AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC = 9。 B A C F H G E C 探究新知 4. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，点 ， 是上的两点，若 的面积为6，则图中阴影部分的面积和是___. 3 （第4题） 返回 举一反三 22 5.在正方形网格中， 的位置如图所示，且顶点在格点上，在 内部有，，，四个格点，到 三个顶点距离相等的点 是_____. 点 （第5题） 返回 举一反三 23 6. 如图，在中，点为边的中点，过点作 交的延长线于点 . （1）求证： ； 举一反三 24 证明：点为 边的中点， . ， ， . 在和 中， . 举一反三 25 （2）若，求证： . [答案] 点为边的中点， ， 直线为线段的垂直平分线. . ， . . 返回 举一反三 26 7.如图，点是的边上一点，，连接,过点 作 ，且，连接交于点，连接.求证： 垂直平 分 . 举一反三 27 证明：， . 在和 中， . 点在 的垂直平分线上. ，点在的垂直平分线上.垂直平分 . 返回 举一反三 28 （第8题） 8. 如图，在中， ， 的垂直平分线分别交，于点， ， 的垂直平分线分别交，于点， ， 则 的周长为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 返回 举一反三 29 （第9题） 9.如图，线段，的垂直平分线， 相交于点 .若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 30 10. 在中，，，的垂直平分线与 的垂直平分线分别交于点，，且，则 _______. 6或14 返回 举一反三 31 11.如图，在中，为的中点， ， ，于点，， ，那么 ____. 10 （第11题） 返回 举一反三 32 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 三角形的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点， 且该点到三角形三个顶点的距离相等。 课 堂 总 结 探究新知 谢谢观看 THANKS $