1.4线段垂直平分线与角平分线（第2课时角平分线的性质）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质，系统呈现性质定理、逆定理及三角形角平分线性质。通过“角平分线上点到两边距离是否相等”的问题导入，结合三角形全等（AAS、HL）展开探究，形成从具体问题到定理归纳的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动探究培养数学眼光，通过严格的全等证明发展推理能力（数学思维），规范符号语言表达（数学语言）。例题涵盖性质应用、逆定理证明等，题型多样，帮助学生构建逻辑体系，教师可直接用于教学，提升学生几何推理能力和应用意识。

第1章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 第2课时 角平分线的性质 学 习 目 标 1 2 3 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 理解并证明角平分线分线段成比例定理 探索并证明角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 问题 新知探究 如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P ( 异于点O )，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D。PC与PD一定相等吗？ 解：PC与PD一定相等，理由如下： 在△DOP和△COP中， 由∠PDO = ∠PCO = 90°，∠DOP = ∠COP ，OP = OP， 通过“AAS”，可以证明△DOP≌△ COP， ∴PC = PD。 O B A D P C 新知探究 角平分线的性质定理： 于是，我们得到角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 提分笔记 新知探究 注意：① 这里的距离指的是点到角两边的垂线段的长； ② 使用该结论需满足：图中有角平分线，有垂直。 符号语言：如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD。 提分笔记 O B A D P C 拓展 新知探究 如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证： AB：AC = BD：DC。 证明：如图，过D作DE⊥AB交于E， 过D作DF⊥AC交于F，过A作AG⊥BC交于G， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE = DF， A B C D E F G 拓展 新知探究 如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证： AB：AC = BD：DC。 ∵S△ABD = AB · DE，S△ACD = AC · DF， ∴S△ABD：S△ACD = AB：AC， ∵S△ABD = BD · AG，S△ACD = DC · AG， ∴S△ABD：S△ACD = BD：DC， ∴AB：AC = BD：DC。 A B C D E F G 新知探究 角平分线分线段成比例定理： 如图，∵AD是∠BAC的平分线， ∴AB：AC = BD：DC。 提分笔记 A B C D 问题 新知探究 如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？ 如图，点Q在∠AOB 内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C、D，QC = QD。 解：作射线OQ，在△OCQ和△ODQ中， ∠QCO = ∠QDO = 90°，OQ = OQ，QC = QD， 通过“HL”，可以证明Rt△OCQ≌△ Rt△ODQ， ∴∠AOQ = ∠BOQ ， ∴点Q在∠AOB的平分线上。 O B A D Q C 新知探究 角平分线性质定理的逆定理： 于是，我们得到角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 提分笔记 角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 新知探究 注意：① 前提条件：角的内部； ② 使用该结论需满足：图中有垂直，有相等线段。 符号语言：如图， ∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC = PD， ∴点P在∠AOB的平分线上。 提分笔记 O B A D P C 典例分析 例2 如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P。 求证：点P在∠C的平分线上。 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC， 垂足分别为F，M，N。 ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴PF = PN ( 角平分线的性质定理 )。 同理，PF = PM。 ∴PM = PN。 ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上 ( 角平分线性质定理的逆定理 )。 A C B D E P N F M 新知探究 三角形的角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等。 提分笔记 探究 新知探究 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF； CD与EF相交于点P。连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ 解：OP是∠AOB的平分线，理由如下： 如图，连接OP，并延长OP， 过P作PG⊥OA交于G，过P作PH⊥OB交于H， 由题意可知：PG = PH， ∴点P在∠AOB的平分线上 ( 角平分线性质定理的逆定理 )。 即OP是∠AOB的平分线。 C A F B E D P O G H 题型探究 例1-1 点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ < 7 B．PQ > 7 C．PQ ≥ 7 D．PQ ≤ 7 根据性质定理求线段长 题型一 解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7， ∴点P到OB边的距离等于7， 由“垂线段最短”可知：PQ ≥ 7。 C 题型探究 例1-2 如图，AB // CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P， 且与AB垂直，若AD = 12，则点P到BC的距离是________。 根据性质定理求线段长 题型一 解：如图，过P作PE⊥BC交于E， ∵AB // CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD， ∴PA = PE = PD， ∴PE = AD = 6。 6 E P A B C D A 题型探究 例1-3 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC = 30，DE = 4，BC = 10，则AC的长是________。 根据性质定理求线段长 题型一 解：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE = DF = 4， ∵S△ABC = S△ADC + S△BDC = 30，BC = 10， ∴AC · DF + BC · DE = 30， ∴AC × 4 + × 10 × 4 = 30，解得：AC = 5。 5 C D B A E F 题型探究 例2 如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 ( 1 ) 求证：CE = CB； 根据性质定理证明线段相等 题型二 ( 1 ) 证明：∵AD = DC， ∴∠DAC = ∠DCA， ∵AB // DC， ∴∠DCA = ∠CAB， ∴∠DAC = ∠CAB，即AC是∠EAB的平分线， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴CE = CB； C D B A E 题型探究 例2 如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 ( 1 ) 求证：CE = CB； ( 2 ) 连接BE，求证：AC垂直平分BE。 根据性质定理证明线段相等 题型二 ( 2 ) 证明：∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴∠CEA = ∠CBA = 90°， 在Rt△CEA和Rt△CBA中， ， ∴Rt△CEA≌Rt△CBA ( HL )， C D B A E 题型探究 例2 如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 ( 1 ) 求证：CE = CB； ( 2 ) 连接BE，求证：AC垂直平分BE。 根据性质定理证明线段相等 题型二 ∴AE = AB， ∴点A在线段BE的垂直平分线上， ∵CE = CB， ∴点C在线段BE的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BE。 C D B A E 题型探究 例3 如图，已知△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D。 证明：AD是∠BAC的平分线。 根据性质定理的逆定理进行证明 题型三 证明：如图，过D作DE⊥AB交于E， 过D作DF⊥AC交于F，过D作DG⊥BC交于G， ∵△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D， ∴DE = DG，DF = DG， ∴DE = DF， ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线。 A B C D E F G 题型探究 例4 在三角形内部，有一点P到三角形三边的距离相等，则点P一定是 （　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 三角形的角平分线的性质 题型四 A 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 三角形的角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等。 课 堂 总 结 感谢聆听! $