上海师范大学附属外国语中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

上海师范大学附属外国语中学 高三数学期中卷 (满分150分，完卷时间120分钟) 2026.11 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择 题)或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.不等式2>1的解集是 2.若事件A、B互斥，且P(A)=0.3、P(B)=0.6,则P(AUB)= 3.向量a=(1,-2)的单位向量是 4.若-1+√2i(是虚数单位)是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根，则b-c= 5.已知双曲线ax2-y2=1的一条渐近线方程是y=-2x,则实数a= 6.己知数列{a}前n项的和Sn,且满足S,=49,4+1=a,+2,neN,则a27= 7.设1-2x)”=+ax+a2x2+4ax”,若4+44=17，则n= 8.有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有 队长，又要有男运动员，选派方法有种 9设弱数f()加，若有且只有一个xe(0m),位得弱数y=fx引 取得最小 值，则m的取值范围是 10.设f(w)=V4-x2-2,直线1：3x+4y-7=0,点P在曲线y=f()上，点2在直 线1上，则|PQ的最小值为 11.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是 第1页，共4页 1ogx,x>0 12.已知函数f(x)= 若关于x的方程f几f(x]=0有且只有一个实数根， 则实数a的取值范围是 二、选择题(13-14题每题4分，1516每题5分，共18分) 13.已知a∈R,且a≠1，则aa=() 3 A.a 03 14.己知a,beR,则“|abl”是“a>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 15.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移5与时间t的关系是 y子161，那么速度为感时刻是〈) A.1秒末 B.2秒末 C.3秒末 D.2秒末和3秒末 [1,x>0 16.己知符号函数sg1x= O,x=0,f(x)是R上的严格增函数，8(x)=f(x)-f(), -12x<0 a>1,则( A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=-sgnx C.sgn[g (x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)] 三、解答题(14+14+14+18+18=78分) 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) π 如图，四边形ABCD是正方形，四边形ADP2是梯形，PD/1QA,∠PDA= 2 CD⊥平面ADPQ,且AD=PD=2QA=2 (1)证明：QB∥平面PDC: (2)求点C到平面PBQ的距离 第2页，共4页 18.(本题满分14分，第1小题满4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分) 为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使 用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数 据在各区间内的频数记录如下表(ks大均为自然数)： 使用时间 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) 高一 5 12 3 2 高二 6 16 U 3 高三 名 n (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求x的值： (2)估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件A为“抽到的数据是高二学生的”，记事件B 为“抽到的数据在[2,3)”，判断事件A和事件B是否独立，并说明理由 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 己知函数f)=e-e. (1)解不等式f(n)<2: (2)设函数g(x)=f(x)+sim2x,若存在x∈[-2,2]，使得g(x)+g(x2+a>0,求实数a 的取值范围. 第3页，共4页 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距和短轴长都是2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点A是椭圆C的右顶点，定点T(t,O)在x轴上，若点S为椭圆C上一动点，当 ST|取得最小值时点S恰与点A重合，求实数t的取值范围： (3)已知为常数，过右焦点F,且法向量为(1，-m)的直线1交椭圆C于M、N两点， 若椭圆C上存在点R满足OR=OM+uON(2、M∈R),求的最大值， 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 己知函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),若函数y=f(x)的定义域是R,且不等式 f(x)>f'(x)对任意x∈R成立，则称函数y=f(x)是“超导函数”. (1)判断f(x)=e+1是否是“超导函数”，并说明理由： (2)若函数y=g(x)与y=h(x)都是“超导函数”，且对任意x∈R,都有 H(x)>0,g(x)<0,记F(x)=g(x)h(x),求证：函数y=F(x)是“超导函数”： (3)已知函数y=p(x)是“超导函数”且p(1)=e,若有且仅有一个实根t满足 p(lnt+l-at)=enl-a,求实数a的取值范围 第4页，共4页