精品解析：山东济南市历城区济南稼轩学校2026-2027学年上学期七年级期中数学试题

济南稼轩学校七年级期中数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 3. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从年月至年月，历时天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：． 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 和是同类项 B. 单项式的系数是，次数是4 C. 是单项式 D. 多项式是二次三项式 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式与多项式的概念，分别利用单独的一个数或一个字母是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，多项式中项数是指单项式的个数，次数最高项的次数是多项式的次数，进而得出答案，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； C、不是整式，则不是单项式，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 故选：D 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确． 6. 如图，数轴上的点、表示的数分别是、，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴确定、的正负性及绝对值大小，据此再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ，，，， 故A、B、C错误，D正确． 7. 如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（ ） A. 南偏西的方向上 B. 南偏东的方向上 C. 北偏西的方向上 D. 北偏西的方向上 【答案】C 【解析】 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 8. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．…按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是74个，则( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般规律，得出第个图形中圆的个数是，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆， 以此类推，第个图形中圆的个数是； 则， 解得：． 9. 把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片1、2、3、4和一张长方形纸片5，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中，则没有被覆盖的阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y， 5号长方形的长为3x+y，宽为y-x， 由图1中长方形的周长为32，可得，y+2 （x+y）+（2x+y）=16， 解得，x+y=4， 如图，图2中长方形的周长为48， ∴AB+2 （x+y）+2x+y+y-x=24， ∴AB=24-3x-4y， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∴2（AB+AD） =2（24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x） =2（24-x-y） =48-2（x+y） =48-8=40， 故选：D． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，…，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，…，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：当时，则有，然后可得，进而分类进行分析即可；对于②：由均为正整数，可知，然后问题可求解；对于③：设，奇次项系数和为，偶次项系数和为，然后利用特殊值代入进行求解即可． 【详解】解：对于①：当时，， ∴， ∵为正整数，为自然数， ∴， ∴， 当时，，正整数解仅，共1种，对应在时的值为； 当时，，正整数解有，共3种，对应在时的值均为； ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵均为正整数， ∴， 又∵， ∴，解得， ∵为正整数， ∴，共3种可能取值，故②错误； 对于③：设，奇次项系数和为，偶次项系数和为， 当时，， 当时，， 两式相减得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有1个． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 比较大小：________（用“或或”填空）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，，且，，， ∴． 12. 如图是一个正方体的展开图，相对面上的两数之和都相等，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图、求代数式的值．根据正方体的展开图可知，和相对，和相对，6和相对，得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，和相对，和相对，6和相对， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 已知代数式的值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 对所求代数式变形得， 将代入上式得． 14. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的化简，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．  观察数轴可得，且，从而得到，再根据绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴ ． 故答案为： 15. 将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为______． 【答案】#46度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差运算，解决本题的关键是熟练运用轴对称的性质．设，，根据折叠可得，，进而可求解． 【详解】解：设，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 化简 （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，求值结果为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 18. 已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线，射线；连接，并在的延长线上取点E，使得；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，点F为的中点，求线段的长． 【答案】（1） 解：如图，直线，射线和点E为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查画直线，射线和线段，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据直线和射线的定义，画图即可，以点C为圆心，的长为半径画弧交射线于一点，再以该点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E即可； （2）先求出的长，再根据中点求出的长，最后根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ∵点F为的中点， ． ． 19. 如图是由相同的小正方体拼成的立体图形，请先观察，再按要求完成： （1）请仿照示例，将从上面和从左面观察到的图形画在下面的方格图中（所画图形请涂上阴影）． （2）至少要添加___________个小正方体，可以将其拼成一个较大的正方体． （3）若小正方体每一面的面积都是1，则该简单组合体的表面积（含底面）为___________． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看，几何体的表面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据几何体画出相应图形即可； （2）由图知，补成的正方体最小为共有3层，每层有9个小正方体，因此最下面一层补3个，中间一层补6个，最上面一层补8个，计算总和即可； （3）由从上面看，从正面看，从左面看的三个图形可知：表面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，补成的正方体最小为共有3层，每层有9个小正方体． ∴最下面一层补3个，中间一层补6个，最上面一层补8个， 共补（个）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由从上面看，从正面看，从左面看的三个图形可知： 表面积． 故答案为：． 20. 某水果超市最近新进了一批果冻橙，进价为每斤7元．为了合理定价，在第一周试行机动价格，出售时每斤以10元为标准，售价超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录了第一周果冻橙的售价情况和售出斤数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 （1）这一周超市售出的果冻橙最高单价比最低单价高______元； （2）通过计算说明这一周超市出售此种果冻橙是盈利了还是亏损了，并计算盈利或亏损的钱数； （3）超市为了促销这种果冻橙，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：不超过5斤果冻橙，每斤11元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价10元． 某顾客要买斤果冻橙，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（用含x的代数式表示） 当时，通过计算说明按照哪种方式购买合算． 【答案】（1）9 （2）这一周超市盈利了，盈利了300元 （3）， ，按照方式一购买合算 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，代数式求值，正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）用表格中最大的正数减最小的负数即可； （2）用标准价格的总盈利加上变动价格的和，根据结果作答即可； （3）根据题意列出代数式，将分别代入两代数式计算后判断即可． 【小问1详解】 解：元， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： （元）， （元）， （元）． 答：这一周超市盈利了，盈利了300元； 【小问3详解】 解：某顾客要买斤果冻橙， 按照方式一购买需要元， 按照方式二购买需要元． 当时， 方式一：（元）， 方式二：（元）． ， ∴按照方式一购买合算． 故答案为：，． 21. 如图是小明为学校的一块长方形空地提供的设计方案，其中长方形池塘和半圆形阅读区以外的地方都进行绿化．已知长方形空地长是米，宽是米，池塘的长，宽分别是长方形空地长，宽的一半，半圆形阅读区的直径和长方形池塘的宽相等． （1）长方形池塘的面积为________平方米，半圆形阅读区的面积为________平方米；（用含有的代数式表示，结果保留） （2）若，绿化草地每平方米需要费用40元，请计算这个空地中绿化草地的费用；（结果保留） （3）若在池塘和阅读区的基础上再规划一个学生娱乐区（内无草地），但要保证长方形空地至少有一半的面积是草地，那么学生娱乐区的面积最大是多少?（用含有的代数式表示，结果保留） 【答案】（1）， （2）这个休闲区中绿化草地的费用元 （3）学生娱乐区的面积最大是平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减法． （1）根据面积公式直接计算长方形池塘和半圆形阅读区的面积； （2）利用大长方形的面积减去池塘和阅读区的面积求出绿化草地的面积，再乘以单价即可求出费用； （3）利用草地面积减去长方形面积的一半得到学生娱乐区的最大面积． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形池塘的长为米，宽为米， ∴长方形池塘的面积为平方米， 半圆形阅读区的面积为平方米， 故答案为：，； 【小问2详解】 长方形的面积为 绿化草地面积平方米， 当时，绿化草地面积元； 【小问3详解】 解：平方米， 答：学生娱乐区的面积最大是平方米． 22. 综合与探究 【问题情境】： 某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】： 海阔太空小组进行了如下探究：已知O为直线上的一点，将直角三角板的直角置于点O处，如图1所示，若平分． 【解决问题】你来试试吧！ （1）如图1，若，则________，________； （2）如图1，若，求，的度数．（用含m的代数式表示）； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （3）当三角板的直角绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】（1），； （2），； （3）， 理由：∵是直角， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的运算，正确使用角平分线的计算是解题的关键． （1）利用角的和差可求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义求解可求； （2）利用平角的定义求出，利用角平分线定义求出，然后利用角的和差求解即可； （3）利用角的和差，利用角平分线求出，然后利用平角的定义求出，最后代入化简即可． 【详解】解（1）∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵是直角， ∴ （3） 略 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求的值（其中是正整数）． 方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有                  个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为                   【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图2，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（5）个图形可以表示的等式为                                          ： ②归纳结论：则            ；（结果用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）求的值． （4）直接写出的值                  ． 【答案】（1）； （2）①；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）把两个一样的三角形圆圈图拼成平行四边形，一共有n行，每行有个圆圈，平行四边形总数是，一个三角形的数量就是它的一半，得到； （2）①观察给出的式子：等号右边底数刚好是左边底数的和；②归纳：从1到n的立方和等于从1加到n的和的平方； （3）先利用（1）（2）的结论表示分子、分母，再通过约分简化计算，得到结果； （4）先提取负号，将各项底数变形为2的倍数，利用积的乘方提取公因式，再套用立方和公式计算． 【小问1详解】 解：由图1得第1行有个小圆圈， 第2行有个小圆圈， … 第行有个小圆圈， 每行有个小圆圈， 平行四边形一共行，每行有个圆圈， ； 【小问2详解】 解：①由图2得第（1）个图形表示的等式为， 第（2）个图形表示的等式为， 第（3）个图形表示的等式为， 第（4）个图形表示的等式为， 第（5）个图形可以表示的等式为； ②由①得； 【小问3详解】 解：由（1）（2）得， ， ， ； 【小问4详解】 解：由（1）（2）得， ， ， ， ， ， ， ． 24. 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． ，；，；，． ※a，b表示A，B两点间的距离． 以上是我们七年级上册数学教材第48页的习题，我们记A，B两点间的距离为（或）， 通过解题我们发现，当时，，当时，；即在数轴上A、B两点之间的距离； 如图，点O为原点，数轴上两点A，B分别表示，6， （2）A，B两点间的距离为            ；数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是            ； （3）可理解为数轴上的数x到            的距离；当            时，的值最小，且最小值是            ； （4）若该数轴上点P满足，求点P对应的数； （5）如图，点A，B同时分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点P从原点O以每秒8个单位长度的速度向左运动，试求出常数m的值，使得的值不变． 【答案】（1），，；，，；，， （2）； （3）；； （4）或 （5） 【解析】 【分析】（1）利用数轴两点距离公式求出即可； （2）利用数轴两点距离公式求出，再用中点公式算出到两点距离相等的数； （3）利用数轴上两点距离与绝对值的关系，把变形为求解即可，利用绝对值表示数轴上两点距离的含义，找出式子对应的几个定点，当取中间这个定点时，距离相加的总和最小，再代入计算最小值； （4）设点对应的数为，则，，根据列出绝对值方程，分区间讨论求解并检验； （5）设运动时间为，表示出运动后三点对应的数，得到并化简，令含项系数为0即可求出． 【小问1详解】 解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 【小问2详解】 解：点A，B分别表示，6， ， ， 数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是； 【小问3详解】 解：在数轴上A、B两点之间的距离，， 可理解为数轴上的数x到的距离， ， 表示数到、、的距离之和， 当时，数到、、的距离之和最小，即的值最小，为； 【小问4详解】 解：设点对应的数是，则，， ， ， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得； 当时，，解得， 当点P对应的数为或时满足； 【小问5详解】 解：设运动的时间为秒，则点、、表示的数分别为、、， ， ， ， ， ， ， ， 的值不变， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校七年级期中数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从年月至年月，历时天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 和是同类项 B. 单项式的系数是，次数是4 C. 是单项式 D. 多项式是二次三项式 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点、表示的数分别是、，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（ ） A. 南偏西的方向上 B. 南偏东的方向上 C. 北偏西的方向上 D. 北偏西的方向上 8. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．…按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是74个，则( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片1、2、3、4和一张长方形纸片5，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中，则没有被覆盖的阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，…，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，…，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 比较大小：________（用“或或”填空）． 12. 如图是一个正方体的展开图，相对面上的两数之和都相等，则_____． 13. 已知代数式的值为，则的值为________． 14. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简_______． 15. 将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为______． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 化简 （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线，射线；连接，并在的延长线上取点E，使得；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，点F为的中点，求线段的长． 19. 如图是由相同的小正方体拼成的立体图形，请先观察，再按要求完成： （1）请仿照示例，将从上面和从左面观察到的图形画在下面的方格图中（所画图形请涂上阴影）． （2）至少要添加___________个小正方体，可以将其拼成一个较大的正方体． （3）若小正方体每一面的面积都是1，则该简单组合体的表面积（含底面）为___________． 20. 某水果超市最近新进了一批果冻橙，进价为每斤7元．为了合理定价，在第一周试行机动价格，出售时每斤以10元为标准，售价超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录了第一周果冻橙的售价情况和售出斤数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 （1）这一周超市售出的果冻橙最高单价比最低单价高______元； （2）通过计算说明这一周超市出售此种果冻橙是盈利了还是亏损了，并计算盈利或亏损的钱数； （3）超市为了促销这种果冻橙，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：不超过5斤果冻橙，每斤11元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价10元． 某顾客要买斤果冻橙，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（用含x的代数式表示） 当时，通过计算说明按照哪种方式购买合算． 21. 如图是小明为学校的一块长方形空地提供的设计方案，其中长方形池塘和半圆形阅读区以外的地方都进行绿化．已知长方形空地长是米，宽是米，池塘的长，宽分别是长方形空地长，宽的一半，半圆形阅读区的直径和长方形池塘的宽相等． （1）长方形池塘的面积为________平方米，半圆形阅读区的面积为________平方米；（用含有的代数式表示，结果保留） （2）若，绿化草地每平方米需要费用40元，请计算这个空地中绿化草地的费用；（结果保留） （3）若在池塘和阅读区的基础上再规划一个学生娱乐区（内无草地），但要保证长方形空地至少有一半的面积是草地，那么学生娱乐区的面积最大是多少?（用含有的代数式表示，结果保留） 22. 综合与探究 【问题情境】： 某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】： 海阔太空小组进行了如下探究：已知O为直线上的一点，将直角三角板的直角置于点O处，如图1所示，若平分． 【解决问题】你来试试吧！ （1）如图1，若，则________，________； （2）如图1，若，求，的度数．（用含m的代数式表示）； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （3）当三角板的直角绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求的值（其中是正整数）． 方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有                  个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为                   【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图2，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（5）个图形可以表示的等式为                                          ： ②归纳结论：则            ；（结果用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）求的值． （4）直接写出的值                  ． 24. 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． ，；，；，． ※a，b表示A，B两点间的距离． 以上是我们七年级上册数学教材第48页的习题，我们记A，B两点间的距离为（或）， 通过解题我们发现，当时，，当时，；即在数轴上A、B两点之间的距离； 如图，点O为原点，数轴上两点A，B分别表示，6， （2）A，B两点间的距离为            ；数轴上与A，B两点距离相等的点对应的数是            ； （3）可理解为数轴上的数x到            的距离；当            时，的值最小，且最小值是            ； （4）若该数轴上点P满足，求点P对应的数； （5）如图，点A，B同时分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点P从原点O以每秒8个单位长度的速度向左运动，试求出常数m的值，使得的值不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $