2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中考前复习卷【苏州适用】

苏科版 八年级数学 期中考前复习卷 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：（八上）三角形，（八下）因式分解、分式 班级：______________ 姓名：_________________ 得分：___________________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图，已知AB＝AD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．BC＝DC 第1题 第2题 第3题 第5题 2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 3．如图，若AB＝4，AC＝3，△ADC的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定BC的中点的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2x+1 D．﹣4x2﹣y2 5．如图，△ABC边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，M，N在BC边上，若∠MAN＝20°，则∠MON的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．90° 6．若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 7．若分式方程的解为x＝2，则m的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b、x﹣y、x+y、x2﹣y2分别表示河、爱、南、我．现分解因式（x2﹣y2）a﹣（x2﹣y2）b，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱河 B．我河南 C．我爱河南 D．爱河南 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是_______ °． 10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠BAD的大小为 _______ °． 11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝6，AB＝8，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为 _______ ． 第10题 第11题 第12题 第14题 12．如图，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：______________ ．（答案不唯一，写一个即可） 13．若分式有意义，则x的取值范围是_________ ． 14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝________ ． 15．如图，P是∠AOC的平分线上的一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3，M是射线OC上一动点，则PM长的最小值为 _____ ． 16．若解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则a＝_______ ． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）解分式方程：（1）． （2）． 18．（本题6分）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 19．（本题6分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证：△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 20．（本题6分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作 CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝60°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 21．（本题7分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长． 22．（本题7分）关于x的方程2的解为正数，求a的取值范围． 23．（本题7分）已知：如图，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，AP＝DP．求证：∠BDC＝90°． 24．（本题7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60度，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边，且在BE下方作等边△BEF，连接CF． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）求∠ACF的度数． 25．（本题10分）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 26．（本题10分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 27．（本题10分）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE，CD．同学们发现以下结论：BE与CD的数量关系是 __________ ； 【变式思考】 （2）如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，若AB＝2，AC＝3，则四边形DBCE面积的最大值是 ___________________ ； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边向上作等腰直角三角形ADE且AE＝AD，连接BD，用等式表示线段BE，BD，BC之间的数量关系，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 八年级数学 期中考前复习卷 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：（八上）三角形，（八下）因式分解、分式 班级：______________ 姓名：_________________ 得分：___________________ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，已知AB＝AD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．BC＝DC 【分析】由AB＝AD，AC＝AC，逐一检验各选项能否判定△ABC≌△ADC，选出无法判定的一项． 【解答】解：A．在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD， 无法证出△ABC≌△ADC，选项A符合题意； B．在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS），选项B不符合题意； C．在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），选项C不符合题意； D．在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS），选项D不符合题意． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【分析】从顶点A向BC所在直线作垂线段，所得的垂线段即为BC边上的高，据此判断． 【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AF； 故选：B． 3．如图，若AB＝4，AC＝3，△ADC的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定BC的中点的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB＝4，AC＝3，△ADC的周长为7得BD＝DC，再判断各基本作图能否确定BC的中点． 【解答】解：A．由基本作图，作∠BAC的平分线交BC于一点，这一点不能确定为BC的中点，所以A选项符合题意； B．由AB＝4，AC＝3，△ADC的周长为7，得出BD＝DC，由基本作图得到∠BDC的平分线，则能确定为BC的中点，所以B选项不符合题意； C．由基本作图得到BC的中垂线，则能确定为BC的中点，所以C选项不符合题意； D．由基本作图能得到BC的中垂线，则能确定为BC的中点，所以D选项不符合题意． 故选：A． 4．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2x+1 D．﹣4x2﹣y2 【分析】依据平方差公式a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）的结构特征逐项判断． 【解答】解：A、x2+4y2，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、﹣x2+4y2＝4y2﹣x2＝（2y+x）（2y﹣x），能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、x2﹣2x+1，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、﹣4x2﹣y2＝﹣（4x2+y2），不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，△ABC边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，M，N在BC边上，若∠MAN＝20°，则∠MON的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．90° 【分析】由垂直平分线的性质得AM＝BM，AN＝CN，从而∠ABM＝∠BAM，∠ACN＝∠CAN，结合∠MAN＝20°与三角形内角和求∠MON． 【解答】解：∵DM，EN是AB，AC的垂直平分线， ∴AM＝BM，AN＝CN（线段垂直平分线的性质）， ∴∠ABM＝∠BAM，∠ACN＝∠CAN（等边对等角）． ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠MAN＝20°， ∴∠ABM+∠BAM+∠CAN+∠ACN＝160°， ∴∠ABM+∠ACN＝80°． ∵∠DBM+∠DMB＝90°＝∠ECN+∠CNE， ∴∠DBM+∠DMB+∠ECN+∠CNE＝180°， ∴∠DMB+∠CNE＝100°， ∴∠OMN+∠ONM＝100°， ∴∠MON＝180°﹣（∠OMN+∠ONM）＝180°﹣100°＝80°， 则∠MON的度数为80°． 故选：C． 6．若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【分析】分式的值为0需分子为0且分母不为0，由|x|﹣3＝0且2x+6≠0求x． 【解答】解：根据题意可知，|x|﹣3＝0，2x+6≠0， 解|x|﹣3＝0得x＝±3， 解2x+6≠0得x≠﹣3， ∴x＝3． 故选：A． 7．若分式方程的解为x＝2，则m的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【分析】把x＝2代入原分式方程，转化为关于m的一元一次方程求解． 【解答】解：∵分式方程的解为x＝2， ∴将x＝2代入原方程，得， 解得：． 故选：A． 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b、x﹣y、x+y、x2﹣y2分别表示河、爱、南、我．现分解因式（x2﹣y2）a﹣（x2﹣y2）b，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱河 B．我河南 C．我爱河南 D．爱河南 【分析】先提公因式（x²﹣y²），再把平方差分解，与密码表逐项对应判断． 【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a﹣b）＝（x﹣y）（a﹣b）（x+y）， ∵x﹣y对应爱，a﹣b对应河，x+y对应南， ∴结果呈现的密码信息可能为爱河南． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是　 　 °． 【分析】100°只能作顶角，由三角形内角和求底角． 【解答】解：∵该角为100°， ∴这个角只能是等腰三角形的顶角， ∴该等腰三角形的顶角为100°， ∴底角为40°， 故答案为：40． 10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠BAD的大小为 　 　 °． 【分析】由旋转得AB＝AD，故∠ADB＝∠B＝70°，再由三角形内角和求∠BAD． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置， ∴AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝40°， 故答案为：40． 11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝6，AB＝8，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为 　 　 ． 【分析】作CE⊥AD的延长线于E，由角平分线性质得CE＝BC＝6，把四边形拆成△ACD与△ABC求和． 【解答】解：作CE⊥AD的延长线于点E，如图所示． ∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CB⊥AB， ∴CE＝BC＝6， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC AD•CEAB•BC 6×68×6 ＝18+24 ＝42， ∴四边形ABCD的面积为42． 故答案为：42． 12．如图，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：　 ．（答案不唯一，写一个即可） 【分析】已有公共边AB与∠CAB＝∠DAB，按SAS、ASA或AAS补充一边或一角即可． 【解答】解：根据判定方法，可填AC＝AD（SAS）；或∠CBA＝∠DBA（ASA）；或∠C＝∠D（AAS）；∠CBE＝∠DBE（ASA）． 13．若分式有意义，则x的取值范围是 　 ． 【分析】分式有意义需分母x²﹣9≠0，解不等式求x的取值范围． 【解答】解：根据题意可知，x2﹣9≠0， 整理得x2≠9， 解得x≠3且x≠﹣3，即x≠±3． 故答案为：x≠±3． 14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　 　 ． 【分析】由∠BAC＝∠DAE得∠BAD＝∠EAC，用SAS证△BAD≌△CAE，再由三角形外角性质求∠3． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 15．如图，P是∠AOC的平分线上的一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3，M是射线OC上一动点，则PM长的最小值为 　 　 ． 【分析】作PE⊥OC于E，由角平分线性质得PE＝PD＝3，再由垂线段最短得PM的最小值． 【解答】解：如图所示，作PE⊥OC于点E， ∵P是∠AOC的平分线上的一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3， ∴PE＝PD＝3（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 由垂线段最短可知当点M与点E重合时，此时PM长的最小为3， 故答案为：3． 16．若解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则a＝　 　 ． 【分析】先去分母化为整式方程，令最简公分母x﹣1＝0得增根x＝1，代入整式方程求a． 【解答】解：分式方程， 方程两边同乘x﹣1得：x+a+x﹣1＝a（x﹣1）， ∴2x+a﹣1＝a（x﹣1）， ∵关于x的分式方程解的过程中产生了增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， 将x＝1代入方程2x+a﹣1＝a（x﹣1）， 得：2+a﹣1＝a（1﹣1）， 解得：a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 三．解答题（共11小题） 17．解分式方程： （1）． （2）． 【分析】（1）方程两边同乘x﹣3化为整式方程求解并检验；（2）两边同乘（x+1）（x﹣1）求解，检验知x＝1为增根，原方程无解． 【解答】解：（1）， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣3，得4＝﹣1+2（x﹣3）， 解得x， 检验：当x时，x﹣3≠0， 所以分式方程的解是x； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝x（x﹣1）， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 18．如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 【分析】由中点得AB＝BD，由平行得∠ABC＝∠D，用SAS证△ABC≌△BDE，得∠C＝∠E． 【解答】证明：∵B是AD的中点， ∴AB＝BD， ∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（SAS）， ∴∠C＝∠E． 19．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证：△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【分析】（1）由同角的余角相等及对顶角相等得∠BAG＝∠AGE，从而AE＝GE；（2）作EH⊥AD，用AAS证△EHG≌△CDG，得AH＝HG＝GD＝5，进而求AG． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形； （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS）， ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10． 20．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作 CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝60°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 【分析】（1）由CE∥AB得∠B＝∠DCE，用SAS证△ABC≌△DCE；（2）由全等得∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°，结合平行线与外角性质求∠AFG． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝60°，∠D＝22°， ∴∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠A＝22°， ∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣60°＝98°， ∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝98°﹣22°＝76°． 21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长． 【分析】（1）按基本作图作AB的垂直平分线；（2）由垂直平分线得DA＝DB，设其为x，在Rt△ACD中用勾股定理列方程求解． 【解答】解：（1）如图直线MN即为所求． （2）∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB，设DA＝DB＝x， 在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， 解得x＝5， ∴BD＝5． 22．关于x的方程2的解为正数，求a的取值范围． 【分析】解分式方程得x＝（5﹣a）/2，由解为正数且x≠1列不等式求a的取值范围． 【解答】解：， 2﹣（5﹣a）＝﹣2（x﹣1）， 2﹣5+a＝﹣2x+2， 2x＝5﹣a， ， ∵方程的解为正数， ∴， 解得：a＜5， ∵分式分母不能为0， ∴x≠1， 即， 解得a≠3， 综上，a的取值范围是a＜5且a≠3． 23．已知：如图，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，AP＝DP．求证：∠BDC＝90°． 【分析】由直角三角形斜边上的中线得PA＝PB＝PC，结合AP＝DP得PB＝DP，PC＝DP，再由等边对等角与内角和证∠BDC＝90°． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°，点P是BC的中点， ∴PA＝PB＝PC． 又∵AP＝DP（已知）， ∴PB＝DP，PC＝DP（等量代换）． ∴∠PBD＝∠PDB，∠PDC＝∠PCD（等边对等角）． 在△BDC中， ∵∠PBD+∠PDB+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴．即∠BDC＝90°． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60度，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边，且在BE下方作等边△BEF，连接CF． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）求∠ACF的度数． 【分析】（1）由△ABC、△BEF均为等边三角形得AB＝BC，BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，用SAS证全等；（2）由全等得∠BCF＝∠BAE＝30°，进而求∠ACF． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°， ∵△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°， ∵△ABE≌△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝30°， ∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°． 25．如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，由角平分线性质得PE＝PF，再由四边形内角和得∠PCE＝∠PDF，用AAS证△PCE≌△PDF，得PC＝PD． 【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°， ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF， ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 而∠PDO+∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF（AAS）， ∴PC＝PD． 26．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）由OC＝DC且∠OCD＝60°证△OCD是等边三角形；（2）由全等得∠ADC＝150°，减去∠ODC＝60°得∠ADO＝90°，故△AOD是直角三角形；（3）用含α的式子表示∠AOD、∠ADO、∠OAD，再按两角相等分类求α． 【解答】（1）证明：∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． （2）解：△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 27．综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE，CD．同学们发现以下结论：BE与CD的数量关系是 ； 【变式思考】 （2）如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，若AB＝2，AC＝3，则四边形DBCE面积的最大值是 　 　 ； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边向上作等腰直角三角形ADE且AE＝AD，连接BD，用等式表示线段BE，BD，BC之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）用SAS证△BAE≌△DAC，得BE＝CD；（2）由全等得BE⊥CD，四边形DBCE的面积等于CD²的一半，故CD取最大值5时面积最大；（3）作DH⊥AC于H，用AAS证△AEC≌△DAH，再证四边形BCHD是矩形，得BD＝2BC﹣BE． 【解答】解：（1）如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， 故答案为：BE＝CD； （2）如图2，连接BE、CD交于点F，设CD与AE交于点G， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴AB＝AD，AE＝AC， ∵∠BAD+∠DAE＝∠DAE+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD， ∵∠ACD+∠AGC＝90°，∠AGC＝∠EGF， ∴∠AEB+∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∴BE⊥CD， ∴S四边形DBCE＝S△DBE+S△EBCBE×DFBE×CFCD2， ∴当CD最大时，四边形DBCE面积最大，由三边关系可知，CD≤AD+AC， 即当CD＝AD+AC＝2+3＝5时，四边形DBCE面积最大， 四边形DBCE面积最大值52， 故答案为：； （3）BD＝2BC﹣BE． 证明：如图3，过点D作DH⊥AC于点H， 则∠AHD＝90°， ∵△ADE是等腰直角三角形且AE＝AD， ∴∠DAE＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ACE＝∠DHA， ∵∠AEC+∠EAC＝∠EAC+∠DAH＝90°， ∴∠AEC＝∠DAH， 在△AEC和△DAH中， ， ∴△AEC≌△DAH（AAS）， ∴AC＝DH，CE＝AH， ∴BC＝DH， ∵∠ACB+∠DHA＝180°， ∴BC∥DH， ∴四边形BCHD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形BCHD是矩形， ∴CH＝BD， ∵CH＝AC+AH， ∴BD＝BC+CE＝BC+BC﹣BE＝2BC﹣BE. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $