江苏省苏州市工业园区2025-2026学年上学期八年级期中数学练习卷

2025-2026学年江苏省苏州市工业园区八年级（上）期中数学练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个等腰三角形的两条边长分别是厘米和厘米，它的周长是(    ) A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米或厘米 2.在实数，，中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 3.下列选项中的代数式，是分式的是(    ) A. B. C. D. 4.下列各式从左到右的变形是因式分解的是(    ) A. B. C. D. E. 5.如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明(    ) A. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 6.若等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 7.小明在解关于的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为(    ) A. B. C. D. 8.如图，、、分别是各边的中点，是高，如果，那的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.对于两个不相等的实数，，规定：表示，中较小值，如按照这个规定，方程的解为        ． 10.多项式加上一个单项式后，得到的多项式能用完全平方公式分解因式，那么加上的单项式可以是          填一个即可． 11.代数式有意义的条件是          ． 12.如图，≌，若，，则的长为        ． 13.如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为__________． 14.不改变分式的值，把分式的系数都化为整数的结果是          ． 15.如图，点是矩形边上一点，点，，分别是，，的中点，，则的长为            ． 16.如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接当的周长最小时，的度数是          ． 三、计算题：本大题共3小题，共18分。 17.分解因式： ． ． ． ． 18.计算：；        ． 19. 解方程： 先因式分解，然后计算求值：，其中， 四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区、，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置请用尺规作图确定超市的位置．作图不写作法，但要求保留作图痕迹． 21.本小题分 如图，，，点在上，且求证：． 22.本小题分 先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值． 23.本小题分 如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，且． 求证：≌； 若，求的度数． 24.本小题分 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点请说明与的关系并证明你的结论． 25.本小题分 在学习“分式方程应用”时，有这样一个实际问题： 有、两个工程队，队修路米与队修路米所用时间相等、队每天比队多修米，求队每天修路的长度． 甲，乙两名同学所列的方程如下： 甲：； 乙：． 根据以上信息，解答下列问题： 甲所列方程中的表示        ，乙所列方程中的表示        在甲，乙所列方程中任选一个，完成该问题的解答 26.本小题分 观察下面的变形规律：；；；解答下面的问题： 若为正整数，请你猜想        证明你猜想的结论 求和： 27.本小题分 如图，在等腰中，，，于点，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点． 求证：； 求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：当等腰三角形的腰长是厘米时， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的周长厘米； 当等腰三角形的腰长是厘米时， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的周长厘米， 综上所述：等腰三角形的周长是厘米或厘米． 故选：． 根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论． 2.【答案】  【解析】解：由无理数的定义可知，在实数，，中，是无理数． 故选：． 根据无理数的定义及常见的三种形式即可解答． 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开不尽的方根，特定结构的无限不循环小数，含有的绝大部分数． 3.【答案】  【解析】解：选项A：的分母为省略不写，不含字母，是整式，不符合分式定义； 选项B：的分母是，含有字母，符合分式定义； 选项C：的分母是数字，不含字母，是整式，不符合分式定义； 选项D：的分母是数字，不含字母，是整式，不符合分式定义． 4.【答案】  【解析】解：、，从左到右是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； B、，从左到右是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； C、，左边多项式化为右边整式的积，符合因式分解，符合题意； D、，右边为积与和的形式，不是纯积的形式，不符合因式分解，不符合题意． 故选：． 直接利用因式分解的意义分析得出答案． 本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是关键． 5.【答案】  【解析】解：由题意得到：，，，但与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，据此即可解答． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 6.【答案】  【解析】解：底边为，腰长为，这个三角形的周长是， 底边为，腰长为，，不能以为底构成三角形， 故该等腰三角形的周长是． 故选：． 分类讨论：底边为，底边为，根据三角形的周长公式，可得答案． 本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：设分式方程为， 将关于的分式方程两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 当时，即， 解得， 由于方程有增根无解， 所以． 故选：． 根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行计算即可． 本题考查解分式方程，分式方程的解，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 8.【答案】  【解析】解：点，分别是，的中点， 是三角形的中位线，有， ，点是的中点， 是中斜边上的中线，有， ． 故选：． 由三角形中位线定理和直角三角形的性质可知，． 本题利用了三角形中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的性质． 9.【答案】  【解析】解：根据定义可知原方程化为：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 先根据定义求出 ，将方程转化为分式方程，解分式方程即可． 本题考查了解分式方程，实数大小比较．熟练掌握以上知识点是关键． 10.【答案】答案不唯一  11.【答案】且  【解析】解：由题意得，且，  解得且  故答案为：且． 根据二次根式的被开方数是非负数及分式中分母不为建立不等式组即可得出答案． 本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数及分式中分母不为是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：≌， ， ， ， 故答案为：． 根据全等三角形的性质，，即可列式作答． 本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识． 由线段垂直平分线的性质可知，，即可求解． 【解答】 解：，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，， ，， ， ， ， 即的周长是． 14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：在矩形中，， 为的中点，， ． ，分别为，的中点， ， 故答案为． 由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解，再利用三角形中位线定理可求解． 本题主要考查矩形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，求解的长是解题的关键． 16.【答案】  【解析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【解答】解：如图，连接， 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，此时的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 17.【答案】【小题】 解：原式． 【小题】 原式． 【小题】 原式． 【小题】 原式． 18.【答案】解： ； 原式 ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】【小题】， 把分式方程变形为：， 方程的两边同乘，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， 原方程无解 【小题】， 当，时，原式   【解析】解：， 把分式方程变形为：， 方程的两边同乘，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， 原方程无解； ， 当，时，原式． 先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； 利用完全平方公式因式分解，然后代数求解即可． 本题考查了解分式方程，因式分解，整式的加减化简求值，掌握解分式方程的方法，因式分解的方法，整式的加减运算法则是解题的关键． 20.【答案】解：作图如下： 点为所求作．   【解析】先画角的平分线，再画出线段的垂直平分线，两线的交点就是． 21.【答案】证明：， ， 在和中， ， ≌， ．  【解析】证明：， ， 在和中， ， ≌， ． 由，得，而，，即可根据“”证明≌，则． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明≌是解题的关键． 22.【答案】解：原式 ， 当取，时分式无意义，； 且， 当时，原式．   【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，找一个合适的数代入求值． 23.【答案】是的角平分线，，， ， 在和中， ， ≌；   的度数为  【解析】证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ≌； 解：，， ， ≌， ， ． 由角平分线的性质得到，再利用即可证明≌； 先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 24.【答案】解：垂直平分； 证明：是的角平分线，，，垂足分别是，， ，， 在和中， ， ≌， ， 是的垂直平分线， 垂直平分．  25.【答案】【小题】 队每天修路的长度 队修路米所需时间或队修路米所需时间 【小题】 选甲的方程：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：队每天修路的长度为米； 选乙的方程：， 解：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 答：队每天修路的长度为米   【解析】解：根据题意得：甲所列方程中的表示队每天修路的长度； 乙所列方程中的表示队修路米所需时间或队修路米所需时间； 故答案为：队每天修路的长度；队修路米所需时间或队修路米所需时间； 选甲的方程：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：队每天修路的长度为米； 选乙的方程：， 解：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 答：队每天修路的长度为米． 根据所列方程，结合题意，进行作答即可； 解分式方程即可． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系及所列方程，找出未知数的含义是解题的关键． 26.【答案】【小题】 【小题】 证明：； 【小题】 解：原式   【解析】解：， 故答案为：； 证明：； ； 解：原式 ． 观察规律可得：； 根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性； 利用类似的规律方法，首先原式可化为：，继而可求得答案． 本题主要考查了分式的加减运算法则，解题的关键是仔细观察，得到规律，然后利用规律求解． 27.【答案】【小题】 证明：，， 直线垂直平分， ． 又， ， ． 为等边三角形， ， ， ， ． 【小题】 如图，在上截取，连接． ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ． 另法：如图，在上截取，同上法得到，得是等边三角形，得，，得． 又因为，得，得，易得，则有． 另法：如图，延长至点，使得，连接，易证是等边三角形，得，易证，易证，得又易得，则有．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $