精品解析：安徽合肥市第一中学2026-2027学年高二上学期数学诊断性训练（四）

高二（上）诊断性训练数学试卷（四） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每题5分共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】， 所以. 故选：C 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果. 【详解】由圆的方程知其圆心为，半径； 圆心到直线的距离， 所求弦长为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法： （1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果. 4. 在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离. 【详解】如图所示， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，， 则，， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， 又， 所以点到平面的距离为， 故选：D. 5. 太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫的标记物；从道袍、卜卦、中医，到中华气功、武术…，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．平面直角坐标系中的“阴阳鱼太极图”图案可用三个方程表示：，，．已知直线与该图案交于三点，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆无交点， 联立直线与圆，可得： ，解得或， 所以点， 联立直线与圆，可得： ，解得或， 所以点， 所以. 6. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 7. 已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. （为坐标原点）的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D. 【详解】因为点在直线上，所以设. 对于A，因为点， 所以直线的方向向量分别为，. 若，则，即，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故A正确. 对于B，由，， 得，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故B正确. 对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确. 对于D，因为点，所以线段的方程为，. 在中，令，解得， 所以点不在线段上，即点在直线的同侧. 设点关于直线的对称点为， 则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为. 由题意，得，解得， 所以，即的最小值为，故D错误， 故选：D. 8. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设点，求得平面的一个法向量为，根据平面，得到，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，，， 则，，，， 可得，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以， 设异面直线与所成角为， 则， 当最大时，取最小值， 由， 所以当时，最大为，此时最小为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 10. 有下列四个命题，其中不正确的命题有（ ） A. 已知，，， 是空间任意四点，则 B. 若两个非零向量 与 满足 ，则 C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D. 对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算法则，空间向量基本定理的推论可解. 【详解】对于A，已知 ，，，是空间任意四点， 则 ，故A正确； 对于B，若两个非零向量 与 满足 ， 则，，正确； 对于C，任何两个向量都是共面向量，不正确； 对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点，，， 若 ， 当且仅当 时，，，， 四点共面，故错误． 故选：CD. 11. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A. 若Р在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2 B. 四点O、A、P、B共圆 C. 直线AB的方程为 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离后可求四边形OAPB的面积有最小值，故可判断A的正误，利用对角为一对直角可判断B的正误，利用切点弦的计算方法可判断C的正误，利用向量的数量积可求得，从而可求的最大值，故可判断D的正误. 【详解】 对于A，，而， 故，所以四边形OAPB的面积有最小值，故A错误. 对于B，因为，故四点O、A、P、B共圆，故B正确. 对于C， 由B得到在以为直径的圆上， 此圆的方程为：， 故即， 故C正确. 对于D，因为，故即， 所以即，故， 故即，当且仅当， 故的最大值为. 故选：BCD. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据斜率公式求出，，再结合图形求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：设，，， 可得，， 要使得直线与以点，为端点的线段相交， 则直线的斜率或， 所以直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 14. 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出的表达式，转化求解最小值即可. 【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系. 则设，由，则， 所以两边平方并整理得， 所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆， 所以，， 则有， 则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线恒过定点. （1）求点的坐标； （2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程重新整理，由此列方程组，解方程组求得的坐标. （2）先求得点的坐标，设出点坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，结合二次函数的最值的求法，求得的最小值. 【详解】（1）整理即：， 令，故点的坐标为； （2）∵点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为， ∵点是直线上一动点，设， ∴ ，故当时，取最小值为. 【点睛】本小题主要考查直线过定点的问题，考查两点间的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 连接，因为为等边三角形，为中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设知四边形为菱形，且，所以为正三角形， 又因为为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面，即平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 17. 已知点及圆：. （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值. 【答案】（1）或；（2）或；（3）不存在. 【解析】 【分析】（1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设MN的中点为Q（a,b），由题可得，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由的斜率，，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果. 【详解】（1）由得 设直线的斜率为，则方程为. 又圆C的圆心为，半径， 由 ， 解得或. 所以直线方程为或， 即 直线的方程为或. （2）设MN的中点为Q（a,b），则， 又PQ⊥CQ，所以， ∴， ∴或， ∴以为直径的圆的方程为或. （3）由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离， 设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上． 所以的斜率，而，所以 由于不满足， 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦． 五、附加题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 18. 如图，正方形的边长为，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】用平行四边形法则转化问题，找出点轨迹，求，从而求解. 【详解】，取中点，由平行四边形法则可得，所以. 点关于直线的对称点为点，， 所以的轨迹为以为圆心，半径的一段圆弧：， 当趋近于时，直线趋近轴，趋于圆弧上点； 当达到点时，直线， 设，中点代入直线方程得， ，则，联立得， 此时求得关于直线与点对称. ，， 直线，与联立得，检验得在圆弧取值范围内, 所以. 19. 已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出如下图形： 由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距， 再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解． 【详解】根据题意作出如下图形： AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即 不妨设 过作AB的平行线交于点E，则：，且 , 直线的斜率为：， 所以直线AB与直线的夹角正切为：. 在直角三角形中，，所以， 又,整理得：， 解得：，又，解得：，， 所以=. 【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（上）诊断性训练数学试卷（四） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每题5分共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫的标记物；从道袍、卜卦、中医，到中华气功、武术…，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．平面直角坐标系中的“阴阳鱼太极图”图案可用三个方程表示：，，．已知直线与该图案交于三点，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 7. 已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. （为坐标原点）的最小值为 D. 的最小值为3 8. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 10. 有下列四个命题，其中不正确的命题有（ ） A. 已知，，， 是空间任意四点，则 B. 若两个非零向量 与 满足 ，则 C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D. 对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 11. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A. 若Р在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2 B. 四点O、A、P、B共圆 C. 直线AB的方程为 D. 若，则的最大值为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 13. 已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 14. 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线恒过定点. （1）求点的坐标； （2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 17. 已知点及圆：. （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值. 五、附加题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 18. 如图，正方形的边长为，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，则的最小值为______________． 19. 已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $