安徽省合肥市第七中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级数学学科第一次单元练习 命题人：顾雪、朱其睿审题人：王瑞分值：150分考试时间：120分钟 一.选择题（本大题共8题，每题5分，共40分） 1.在三棱锥O-ABC中，OA+AB-CB=() A.OA B.AB C.OC D.AC 2.己知向量ā=(1,1,0)，b=(-1,0,2),且ka+6与2ā-b互相垂直，则k=() A.-1 B.2 c. D 3.已知点A(2,0),B(0,4),若过P(-6,-8)的直线1与线段AB相交，则直线斜率k的取值范围为() A.k≤1 B.k≥2 C.k≥2或k≤1 D.1≤k≤2 4.已知直线：ax+y-2=0,l2:2x+(a+1)y+2=0,若l∥l2,则a=() A.-1或2 B.1 C.1或-2 D.-2 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M为棱AA的中点，点Q在底面正方形ABCD内（含 边界)运动，满足QC·QM=1,则点Q的轨迹长度为(). A.月 B.π C.2π D.3π 6.若直线心-by+2=0(a>0,b>0)经过圆+y+4r-4y+4=0的圆心，则上+2的最小值为() a b A.+5 B.2√2+3 C.9 2 D. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，PM=PA, 且PA=3,AB=2,则点O到直线DM的距离为() A.V66 B.V66 6 C.33 D.33 4 6 4 第1页共4页 8.在平面直角坐标系xOy中，点M在圆心为C的圆x2+y2-2x-2=0上.若动点P满足|MP=1,CM.CP=3, 则对于a∈R,点P到直线x+心+2a=0的距离的最大值为() A.V5+2 B.2+V2 C.5+3 D.2+V3 二、多选题（本大题共3题，每题6分，共18分） 9.给出下列命题，其中正确的命题是() A.若a=6,则a=b或a=-b B.若向量a是向量6的相反向量，则d= C.在正方体ABCD-AB,CD中，AC=AC D.若空间向量m、n、p满足mln,nl川p,则mlp 10.己知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是() A.x2+y2的最大值是V3+1 B.y+!的最大值是2+V6 x+1 C.x-y的最小值是1+√6 D.过点(0，V2)作曲线C的切线，则切线方程为x-√2y+2=0 11.己知正方体ABCD-ABCD的棱长为4，动点P在正方体表面ABCD上（不包括边界），则下列说 法正确的是() A.存在点P,使得CP∥面ABD B.存在点P,使得AP⊥面ABD C.若A与C℃的夹角为名则点P的轨迹长度为2、 3 D.若M为面CCDD,的中心，则AP叶PM的最小值为214 三、填空题（本大题共3题，每题5分，共15分） 12.直线6x+8y-2=0与3x+4y-3=0间的距离为 13.已知M(2,5),N(-2,4),动点P在直线：x-2y+3=0上.则PM+PN的最小值为 第2页共4页 14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、 思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2x+2y就 是一条形状优美的曲线，若T(a,b)是曲线C上任意一点，4a+3b-18的最小值为 四.解答题（本大题共5题，共77分） 15.(13分)已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0. (1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)若直线y=2x+b与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值。 16.（15分)如图，在平行六面体ABCD一A'BCD'中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA'的长为4， 且∠A'AB=∠A'AD=120°.求 (1)AC的长； (2)直线BD与AC所成角的余弦值。 17.(15分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的 距离之比为定值(>0且≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆己知在平面直角坐标系中，A(1,0),B(-2,0),点P满足PA-=2,设点P的轨迹为圆C IPBI (1)求圆C1的方程； (2)若PB=BQ,求点Q的轨迹C2的方程 第3页共4页 18.(17分)在平面直角坐标系中，己知△ABC的顶点B(5,5),边BC上的中线AD所在直线的方程为x- 6y+11=0,边AB上的高CH所在直线的方程为4x+3y-3=0,求： (1)顶点A的坐标； (2)△ABC内切圆的方程 19.(17分)如图，AB是圆0的直径，AD垂直于圆0所在的平面，AB=2V3,AD=2,点C是圆0上不同 于A,B的任意一点，E为BD的中点. (1)证明：BC1平面ACD: (2)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求二面角O-CE-B的余弦值： (3)若点P为圆O(含圆周)内任意一点，它到点A的距离与到直线BD的距离相等，求三棱锥P一ABD体积的 取值范围， D 第4页共4页 · 高二年级数学学科第一次单元练习 · 命题人：顾雪、朱其睿 审题人：王瑞 分值：150分 考试时间：120分钟 一.选择题（本大题共8题，每题5分，共40分） 1．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 4．已知直线，若//，则（    ） A．或 B． C．或 D． 5．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内（含边界）运动，满足，则点Q的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 6．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3题，每题6分，共18分） 9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 三、填空题（本大题共3题，每题5分，共15分） 12．直线与间的距离为______. 13．已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 四．解答题（本大题共5题，共77分） 15．（13分）已知圆. (1)求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值。 16.（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为,且.求 (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值。 17.（15分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． 求圆的方程 若，求点的轨迹的方程． 18.（17分）在平面直角坐标系中，已知的顶点 ，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，求： (1) 顶点的坐标； (2)内切圆的方程. 19.（17分）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，点是圆上不同于，的任意一点，为的中点． 证明：平面； 若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； 若点为圆含圆周内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第4页 共4页 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科第一次单元练习  命题人：顾雪、朱其睿 审题人：王瑞 分值：150分 考试时间：120分钟 一.选择题（本大题共8题，每题5分，共40分） 1．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 2．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案. 【详解】根据题意，，，， 则，， 结合图象可得直线的斜率k的取值范围是. 故选：D.    4．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 5．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内（含边界）运动，满足，则点Q的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点Q的轨迹即可. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 由，得，整理得， 所以点Q的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点Q的轨迹长度为. 故选：C. 6．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 8．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是1+ D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，最小值为1-，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12． 13．已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 【答案】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 14． 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 15．解：（1）圆的标准方程为，故圆心，半径为3. 若直线不过原点，设直线的方程为（）， 又在直线上，所以，解得，故直线的方程为； 若直线过原点，则直线的方程为，即，符合题意； 综上，直线的方程为或. （2）由题意知到直线的距离为， 所以，解得或4. 16. 设向量 由题意可得： 底面 ABCD 为正方形，故 由 ∠A'AB = ∠A'AD = 120°，得： (1) 因为 ，所以 所以 (2) 设直线 BD' 与 AC 所成角为 θ（取锐角），则： 17.解：设，由可得， ， 化简可得， 即， 所以圆的方程是． 设点，， 由，可得， 即 则． 因为点在圆上， 所以， 将代入上式得， 即， 故点的轨迹的方程为． 18.解：(1) 因为是边上的高，，所以 AB 的斜率为。 AB 过点 B(5, 5)，其方程为 点 A 是 AB 与中线 AD 的交点。由中线方程得，代入 AB 方程： 所以 A(1, 2) (2) 点 在高 上，故 设，为中点，则 代入中线方程： 联立与，解得 ，即 。 三角形三边所在直线方程为： 设内心为 ，由内心到三边距离相等： 由后两式相等： 由于直线与只相交于点，故. 代入 所以内心，内切圆半径。 故 △ABC 内切圆的方程为： 19. 解：证明：因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面； 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连接，则， 过作交于点，则为的平面角， 在直角三角形中，易得，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以， 在三角形中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为； 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连接， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离， 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 方法二（1）取圆 O 所在平面为 Oxy 平面建系。则 ，，圆心 ，半径 ，圆： 又 ，取 ，E 为 BD 中点，故 。设 在圆上。 C 在圆上，故 。又 ，，，故： 即 BC⊥AC；又BC⊥AD。故 BC⊥平面 ACD。 （2）平面 ACD 法向量 ，，|BD|=4。BD 与平面成 30°： 得 ，即 ，。与圆方程联立，得 ，，即 。 由 ，，，得两平面法向量： 且 ，故： 故二面角余弦值为 。 (3)设 则有 设P 到直线 BD 的距离为, ，，|BD|=4，则： 则 由 得 平方得 ，即 ，解得 。由P在圆面内即：，得 。 底面 ，P 到平面 ABD 距离为 ，故： 试卷第2页（共15页） 试卷第15页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可马 合肥七中高二年级数学学科第一次单元练习 尚斛 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面糊上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 --- 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(18为单选题；911为多选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. I 囚囚■ 第1页共4页 ■ 16. 17. 囚囚■ a 第2页共4页 ■ 18. I I 1 1 I ■ ㄖ■ㄖ 第3页共4页 ■ ▣ 19 D E 囚■囚 a 第4页共4页