精品解析：安徽省凤阳县第二中学2026-2027学年高二上学期第二次教学质量检测数学试卷

凤阳二中高二年级第一学期第二次教学质量检测数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设平面的一个法向量为＝(1，2，－2)，平面的一个法向量为＝(－2，－4，k)，若，则k＝（ ） A. -5 B. -4 C. －2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果． 【详解】因为，所以，则 ，解之得， 故选：D 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 【答案】C 【解析】 【详解】因为圆的方程可化为， 所以圆心坐标为，半径． 3. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 4. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方向向量计算斜率，代入点斜式方程化简得到直线方程. 【详解】直线的方向向量为，则斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，整理得， 即直线的方程为. 5. 直线绕它与轴的交点逆时针旋转15°得到的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线过点，倾斜角为，即得直线的方程. 【详解】令， 所以直线与轴的交点为， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 直线绕它与轴的交点逆时针旋转15°得到的直线的倾斜角为， 所以直线的方程为即. 故选：A 【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法有：待定系数法，先定式（从直线方程的五种形式中选一种）后定量（解方程确定待定系数）. 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用基底表示向量，再根据数量积公式求模. 【详解】根据空间向量的运算法则，易得， 又因为 ， 所以. 故选：C 7. 若直线与平行，则间的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的判定列方程求得，再应用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由题设，则，可得或， 时，，，满足题设； 时，，，显然重合，不满足； 所以，此时，，它们距离为. 故选：C 8. 已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 已知点，，设， 则，， 因为直线与线段相交，故或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离为3 B. 直线与直线相互平行 C. 直线与直线相互垂直 D. 直线与直线相交 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项BCD，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项BCD的正误；对于选项A，直接利用点到线的距离公式即可得到结果. 【详解】因为直线，斜率，纵截距为， 选项A，根据点到直线的距离的公式知，到直线l的距离，故A错误； 选项B，因为直线，斜率为，纵截距为，所以，，故直线相互平行，故B正确； 选项C，因为直线，斜率为，所以，故直线相交但不垂直，故C错误； 选项D，由，解得，所以直线的交点为，故D正确． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 圆的圆心为，半径为1 B. 方程表示圆，则实数的取值范围为 C. 直线恒过定点 D. 过点，的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出圆心及半径判断A；利用方程表示圆的充要条件求解判断B；求出直线所过定点判断C；利用直线方程的点斜式求出方程判断D. 【详解】对于A，圆，即，其圆心为，半径为1，A正确； 对于B，由方程表示圆，得， 解得或，因此实数的取值范围为，B正确； 对于C，直线，即，则该直线恒过定点，C正确； 对于D，过点的直线方程为，即，D错误. 11. 如图，正方体的棱长为，点为的中点，下列说法正确的是 （ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接、，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据，与平面相交与点即可判断B；连接、交于，证明平面，从而可得点到平面的距离即为点到平面的距离，即可判断C；取中点，连接、，证明平面，从而可得与平面所成角即为，从而可判断D. 【详解】对于A选项，连接、， 在正方体中，平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，、平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B选项，在正方体中，有，且与平面相交与点， 故FG与平面不平行，故B错误； 对于C选项，连接、交于， 在正方体中，平面，又平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离，即为， 又正方体棱长为，则，则点到平面的距离为，故C正确； 对于D选项，取中点，连接、， 因为四边形是正方形，点为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以与平面所成角即为， 则， 则与平面所成角的正弦值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 【答案】 【解析】 【详解】点的中点为，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 13. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况进行讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，求： （1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程； （2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，根据两直线垂直的斜率关系，利用点斜式求出直线方程，最后化成一般式； （2）求的中点的坐标，求出，利用点斜式求出直线方程，最后化成一般式； 【详解】解：（1）， 所以直线的方程为： 故 （2）的中点 所以直线的方程为： 故 【点睛】本题查直线的一般式方程，属于基础题． 16. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. （1）用，，表示和； （2）求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【小问1详解】 连接，如图： 因为，，， 在中，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形，故， 因为∥且，所以， 又为线段中点，所以， 在中，， 平行四边形中，； 【小问2详解】 因为，，， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 17. 圆C过点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与直线方程联立解得圆心坐标，然后求出半径后可得圆标准方程； （2）设线段的中点，用表示出，代入圆方程可得结论． 【小问1详解】 直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1． 的中点，因此，直线m的方程为．即． 联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径， 则所求圆的方程是． 【小问2详解】 设线段的中点，则，解得 代入圆C中得， 即线段中点M的轨迹方程为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）过作于点，则，， 由于平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 故可设， 所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 19. 如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点． （1）求证：； （2）求点 到平面 的距离； （3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值． 【答案】（1）证明:∵，是AB的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面ABE， ∴平面ABCD，平面ABCD， ∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直. （2）根据空间向量求点面距离. （3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面ABCD，平面ABCD， ∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形， ∴． ∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M-xyz． 则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量， 则， 令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则 ， ∴点B到平面EAC的距离为 【小问3详解】 因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为 ，， 设，， 则， ∵直线AP与平面ABE所成的角为45°， ， 由，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤阳二中高二年级第一学期第二次教学质量检测数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设平面的一个法向量为＝(1，2，－2)，平面的一个法向量为＝(－2，－4，k)，若，则k＝（ ） A. -5 B. -4 C. －2 D. 4 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 3. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线绕它与轴的交点逆时针旋转15°得到的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 7. 若直线与平行，则间的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离为3 B. 直线与直线相互平行 C. 直线与直线相互垂直 D. 直线与直线相交 10. 下列说法正确的有（ ） A. 圆的圆心为，半径为1 B. 方程表示圆，则实数的取值范围为 C. 直线恒过定点 D. 过点，的直线方程为 11. 如图，正方体的棱长为，点为的中点，下列说法正确的是 （ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 13. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程____________. 14. 已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，求： （1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程； （2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程. 16. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. （1）用，，表示和； （2）求. 17. 圆C过点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点． （1）求证：； （2）求点 到平面 的距离； （3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $