广东广州市华南师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高二年级期中教学检查数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级中段教学检查 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于点A，B，若，则（    ） A．4 B．6 C．12 D．5 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 6．圆上的点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，，若椭圆上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为（ ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（   ） A．2 B． C．6 D．8 11．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（    ） A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则周长为_______. 13．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______． 14．已知点是正方形的中心，且边所在直线的方程是，则正方形外接圆的标准方程是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，分别是角的对边，，且 （1）求的面积； （2）若，求. 16．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程． 17．如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 18．设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． (1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②不重合的两点，的横纵坐标均非负，且． (2)给定，，点集． （i）求集合中与点相关的点的个数； （ii）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级中段教学检查 数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 2．在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】由空间向量基本定理判断. 【详解】如图所示： A. 因为，，，所以，，共面，故错误； B. 因为=+，所以 ，，共面，故错误； C. 因为，，不共面，故正确； D. 因为，，共面，故错误； 故选：C 3．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 4．已知分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于点A，B，若，则（    ） A．4 B．6 C．12 D．5 【答案】D 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 6．圆上的点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可. 【详解】由，得，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 故圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：A 7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，，若椭圆上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得椭圆与圆有公共点，联立两圆方程，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解. 【详解】由题意得，， 椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为， 联立，可得，所以，， ，可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过斜率不存在、存在及直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件可知：与相切， 当斜率存在时，设斜率为，得，由直线与圆相切， 又圆心坐标为， 可得：，解得：， 此时切线方程为：， 即直线的方程：或， 故选：AC 10．已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（   ） A．2 B． C．6 D．8 【答案】AD 【详解】由，得，即，所以， 化为， 若焦点在轴上，则，所以，解得； 若焦点在轴上，则，则，解得． 所以或． 11．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（    ）    A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项. 【详解】连接、交于点，连接、， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以、、三点共线，且面， 所以以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，，，， 对于A项，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确； 对于B项，，，， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误； 对于C项，因为， 所以为此八面体外接球的球心， 即此八面体一定存在外接球，故C项正确； 对于D项，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又八面体的体积为， 所以，解得， 所以内切球的表面积为，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则周长为_______. 【答案】8 【分析】先由椭圆方程求出，再结合椭圆的定义可求得答案 【详解】由，得， 由题意可得周长为 ， 故答案为：8 13．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 14．已知点是正方形的中心，且边所在直线的方程是，则正方形外接圆的标准方程是______． 【答案】 【详解】由题意可知到的距离为， 由上可知该正方形的边长为，所以， 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，分别是角的对边，，且 （1）求的面积； （2）若，求. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）由向量数量积运算可得到三角形两边关系，由求三角形面积； （2）首先由余弦定理求得边，利用已知三角形正弦定理求解. 【详解】（1） ， ，又， （2）由（1）知，，又， ∴ 又余弦定理得，即. 由正弦定理得 . 16．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)根据相切圆心到切线的距离等于半径可得； (2) 根据三角形面积公式，得到,再根据点到直线的距离公式可得. 【详解】（1）设， 圆心到直线的距离为：， 因为直线与圆相切，所以，即，即， 所以或， 因为圆心在轴的负半轴上，所以， 所以圆的方程为：. （2）由题意为等腰三角形，， ，其中是到弦的距离,, 代入，,所以， 令，所以，所以，所以， 故， 即，所以，， 综上直线的方程为：. 17．如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）推导出PQ⊥AD，从而PQ⊥平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，则AQ∥BC，推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ． （2）连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面和平面夹角的余弦值.． 【详解】 （1）由已知PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD， PQ⊂面PAD， ∴PQ⊥平面ABCD， 连接AC，交BQ于N，连接MN， ∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC， ∴△ANQ∽△BCN，， 又，∴ ，∴MN∥PA， 又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ， ∴PA∥平面BMQ． （2）连结BD，∵底面底面是菱形， ∴△ABD是正三角形，∴ 由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ， 以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，）， 设平面BMQ的法向量＝（x，y，z）， ∴ ，由（1）知MN∥PA，∴， ∴，取z＝1，得， 平面BQP的法向量， 设平面和平面夹角的为θ，则cosθ＝， ∴平面和平面夹角的余弦值为． 18．设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又在直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）是，定值为 【分析】（1）根据斜率公式求椭圆方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线上即可； （ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可． 【详解】（1）设，由，所以的轨迹方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值．    19．在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． (1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②不重合的两点，的横纵坐标均非负，且． (2)给定，，点集． （i）求集合中与点相关的点的个数； （ii）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（i）个（ii）. 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求. （2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值． 【详解】若点，相关，则，，而， 不妨设， 则由定义可知， 化简变形可得， （1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②由可得，故， 要使两点相关，则只能，即，，这与两点不重合矛盾，因此不相关. （2）（i）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点. 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （ii）若两个不同的点，相关，其中，，，， 可知. 下面证明. 若，则，成立； 若，则， 若，则，亦成立. 由于， 因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点. 因此中元素个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题. 五、解答题-证明题 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $