精品解析：广东省惠州市惠阳中山中学等校联考2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026—2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 2026.11 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与直线：（）平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，已知分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ） A. x+y-4=0 B. x-y+4=0 C. x+y+4=0 D. x-y-4=0 5. 已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 6 B. 36 C. 10 D. 7. 已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ） A. 96π B. 84π C. 72π D. 48π 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 的取值范围为 D. 当时，圆面积为 11. 已知圆，直线过点，且与圆交于，两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 直线与轴负半轴和轴正半轴围成的三角形面积的最小值为 D. 过点作直线的垂线交圆于，两点，则线段的中点到原点的距离的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且垂直于直线的直线方程为__________．（写一般式方程） 13. 如图，二面角等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，，且，则__________． 14. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程． 16. 已知空间中三点，，． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点斜率为的直线与圆交于，两点，求直线被圆截得的弦的长． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 2026.11 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】因为直线，则， 设的倾斜角为，所以，所以. 2. 若直线：与直线：（）平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴由两直线平行的一般方程 关系可得，解得，则， 由两平行直线距离公式可得. 3. 在正方体中，已知分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，设直线与所成角为，则. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据空间直角坐标系求解空间中线线夹角的问题，属于基础题. 4. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ） A. x+y-4=0 B. x-y+4=0 C. x+y+4=0 D. x-y-4=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程. 【详解】由，得，则的垂心为，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 故选：A 5. 已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 6 B. 36 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，圆和圆外切， 其圆心和半径分别为；， 因为两个圆有三条公切线，所以两个圆外切， 则，即， 则为到圆上点的距离的平方， 因为点到圆心的距离为，圆的半径为， 所以的最小值为 7. 已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，解得， 即， 由，则， 当且仅当三点共线时取等号，故最小值为. 8. 在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ） A. 96π B. 84π C. 72π D. 48π 【答案】B 【解析】 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 的取值范围为 D. 当时，圆面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由平行设出直线方程，利用待定系数法求解判断A；求出横纵截距判断B；利用二次方程表示圆的条件列式判断C；求出圆的半径判断D. 【详解】对于A，设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此过点且与直线平行的直线方程是，A正确； 对于B，直线在轴上的截距分别为，它们不相等，B错误； 对于C，由圆：，即， 则，即，C正确； 对于D，当时，圆的半径，则圆的面积为，D错误. 11. 已知圆，直线过点，且与圆交于，两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 直线与轴负半轴和轴正半轴围成的三角形面积的最小值为 D. 过点作直线的垂线交圆于，两点，则线段的中点到原点的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合几何法可求出线段长度的最小值. 选项B：由面积公式得出，然后结合基本不等式可判断. 选项C：设出直线方程，求出直线在轴和轴上的截距，结合面积公式和基本不等式可判断. 选项D：先用直接法求出点的轨迹方程，通过方程可以发现点的轨迹是圆，再结合圆的性质可判断. 【详解】如图所示； 由题知圆的圆心坐标为，半径为，设圆心到直线的距离为， 选项A：由垂径定理得，， 当直线与垂直时最大，此时， 当时，最小，此时，A正确. 选项B：由选项A知， 由，当时等号成立， ， B错误. 选项C：由题意可设直线的方程为，当时，， 当时，，直线在轴和轴上的截距分别为，， 设直线与轴负半轴和轴正半轴围成的三角形面积为， ， 当时等号成立. C正确. 选项D：如图所示； 设点的坐标为，，, ，①， ，，② ③， ， 在中，， ④， 将②，③，④式代入①式得， ，整理得， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到点的距离为， 点到原点的距离的最小值为，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且垂直于直线的直线方程为__________．（写一般式方程） 【答案】 【解析】 【分析】使用点斜式计算直线方程. 【详解】垂直于直线的直线斜率为：， 所求直线方程为：，即. 13. 如图，二面角等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，，， 因为，， 则 ， 则 14. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）先求的中点，再利用点斜式求所求直线方程； （2）先求的中点，再利用直线垂直求所求直线方程； （3）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 【小问3详解】 依题意，当截距为时，直线过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即. 综上，的方程为或. 16. 已知空间中三点，，． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由，，可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因， ， 解得．故． 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点斜率为的直线与圆交于，两点，求直线被圆截得的弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，可得AB的中点坐标为， 直线AB的斜率，故AB的垂直平分线的斜率为1， 则AB的垂直平分线方程为，即. 因为圆心在直线上，联立，解得，即圆心， 半径，故圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意得直线的方程为，整理为一般式得， 圆心到直线的距离， 由垂径定理，弦长. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，． 因为分别为的中点，所以且． 又且，所以且，所以四边形 为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，；证为平行四边形，根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）（ⅰ）由得，根据面面垂直的性质及线面垂直的性质得到，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可. （ⅱ）根据点到平面的距离的向量求法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，，所以，则． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又平面，所以. 又，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 平面即平面，其法向量． 设平面的法向量，，， 则，即，令，则，，所以. 设二面角的大小为，由图可知该二面角为钝角， 所以． 所以二面角的余弦值为. （ⅱ）设（），，则，. 点到平面的距离． 由题意得，得，解得或（舍去，因为）. 所以存在这样的点满足条件，此时，则． 19. 已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 【答案】（1） （2） （i）证明：由（1）知，. 记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 两点的坐标分别为，关于轴对称，所以； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程，得， 化简得. 设，则. 设直线的斜率为，直线的斜率为. 由，得. 因为，所以. 所以直线与直线关于轴对称，所以； 综上，. （ii）. 【解析】 【分析】（1）设圆C的标准方程，根据题意列出方程，求解即可； （2）易知点在圆C内，所以直线与圆相交.（i）分直线的斜率存在与否两种情形分析，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得两直线关于轴对称，即；（ii）求出线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标，即可求得外接圆圆心为的横坐标. 【小问1详解】 设圆的半径为，圆心为则圆的方程为. 由题可得，解得. 所以圆的方程为:. 【小问2详解】 （i）略 （ii）当直线的斜率为零时，三点共线，不能构成三角形，所以直线与直线的斜率均不为零. 由（i）知，当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为. 线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 所以线段的垂直平分线为. 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线（轴）的交点为， 即外接圆圆心坐标为，其横坐标为. 当直线的斜率存在时，线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 由，得. 整理得，， 即， 所以. 因为，且. 所以. 即线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标为， 即外接圆圆心的横坐标为. 综上，外接圆圆心的横坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $