精品解析：广东省广州市天河中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年广州市天河区天河中学 高一第一学期期中考 数学试题卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（    ） A. B. C. D. 5. 已知条件的解集为R；条件则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则整数，属于同一个“类” 10. 已知正实数，，满足，则下列正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 函数，被称为狄利克雷函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 对任意，有 C. 对任意，有 D. 对任意，有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________． 13. 已知，，，则的大小关系是___________ 14. 设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）求，. 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 17. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 18. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 19. 在六边形ABCDEF中，．设．记六边形ABCDEF的周长为，面积为．其中上述四条边长均为正整数. （1）求证：； （2）若，求的最小值； （3）求证：对任意正整数，存在六边形ABCDEF，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广州市天河区天河中学 高一第一学期期中考 数学试题卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出集合在全集下的补集，再根据交集的定义求出与的交集. 【详解】集合，集合， 补集， 交集. 故选：B. 2. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来判断. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题得， 命题“”的否定形式是. 故选：B. 3. 若，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，且为定值，利用基本不等式求的最大值. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：B. 4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数定义可得，且，由此可得二次函数的对称轴在轴左侧，排除BC，再结合二次函数的对称轴位置判断AD. 【详解】因为函数为指数函数，所以，且， 二次函数的对称轴方程为， 因为，所以对称轴在轴左侧，选项BC错误； 对于选项D，指数函数为减函数，所以， 二次函数的对称轴方程为，， 设函数与轴的交点横坐标为，，则， 其对称轴方程即可表示为，，矛盾，选项D错误； 对于选项A， 因为指数函数为减函数，所以， 二次函数的对称轴方程为，， 设函数与的交点横坐标为，，则，， 其对称轴方程即可表示为，，符合条件，选项A正确. 5. 已知条件的解集为R；条件则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由恒成立，分别讨论、，可得， 再结合“”与“”的关系判断即可. 【详解】解：①当时，恒成立，即满足题意， ②当时，恒成立，则，解得， 综上可得恒成立，则， 则，， 由不能推出，能推出， 则是的必要不充分条件， 故选B. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及充分必要条件，重点考查了简易逻辑及分类讨论的数学思想方法，属基础题. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域求出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即可得解. 【详解】解：由函数的定义域为，得， 所以函数的定义域为， 由函数， 得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 7. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数的单调性，列式求解即可. 【详解】由函数是上的增函数，得，解得， 所以实数的值可以是. 故选：D 8. 定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题目的已知条件可以推出函数在R上单调递减且为奇函数，结合单调性和奇偶性可以将转换为，然后推出的取值范围，最后求出的取值范围. 【详解】对任意，（），都有，所以函数是上的减函数．函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数关于中心对称，所以函数关于对称，即是奇函数． 由, ，，由， 因为，由． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则整数，属于同一个“类” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“类”的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，即余数为2，故A正确； 对于B，，即余数为1，故B错误； 对于C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，故C正确； 对于D，由题意能被4整除，则，分别被4除的余数相同，故D正确． 10. 已知正实数，，满足，则下列正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，根据基本不等式，可得， 又，即，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故选项A错误； 对于B选项，由基本不等式可得， 又，即， 当且仅当，即，时等号成立，故选项B正确； 对于C选项，因为， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时等号成立，故选项C错误； 对于D选项，由可得，所以， 由C选项，可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故选项D正确. 11. 函数，被称为狄利克雷函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 对任意，有 C. 对任意，有 D. 对任意，有 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，分是无理数和是有理数，两种情况根据奇偶性的定义讨论.B，分是无理数和是有理数，两种情况，从内函数到外函数讨论.C，时可判断；D分是无理数和是有理数，两种情况结合条件讨论. 【详解】A，若是无理数，则也是无理数，此时， 若是有理数，则也是有理数，此时， 综上恒成立，故函数是偶函数，故A正确； B，若是有理数，则，则， 若是无理数，则，则，故B正确， C，若，则，，C错误； D，若是有理数，则与均为有理数，则， 若是无理数，则与均为无理数，则， 综上：对任意，有，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接代入求解即可 【详解】因为，所以． 故答案为： 13. 已知，，，则的大小关系是___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为，化简得， 又，令，因为，所以幂函数在上单调递增， 又，所以，即； 又，，指数函数在上单调递减，且， 所以； 又，，指数函数在上单调递减，且， 所以； 综上所述，的大小关系是. 故答案为： 14. 设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解值域，即可根据集合的包含关系求解. 【详解】当时，此时函数在单调递减，故，由于，故,因此， 当时，此时函数在单调递减，在单调递增，故，由于，故,因此， 当时，此时函数在单调递减，在单调递增，故，由于，故,因此， 解得， 综上可得 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）求，. 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】（1）先解不等式化简集合，交集取区间公共部分，求出； （2）按运算顺序先求，再计算；求出的补集，合并得到补集的并集. 【小问1详解】 由 ， 得 ，即 ， 由 ，得 ，得 ，即 ， 所以； 【小问2详解】 ，，， 得 ， 所以； 或，或， 因此或. 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【小问1详解】 由函数为偶函数，则，可得， 解得. 【小问2详解】 由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. 【小问3详解】 由题意可得，解得. 17. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】（1）， （2）当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【解析】 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【小问1详解】 设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. 【小问2详解】 依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 18. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，，得； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 由（1）得， 令， 因为在上递增，所以在上递减， 所以在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数图象平移问题，第（3）问解题的关键是根据函数的单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 19. 在六边形ABCDEF中，．设．记六边形ABCDEF的周长为，面积为．其中上述四条边长均为正整数. （1）求证：； （2）若，求的最小值； （3）求证：对任意正整数，存在六边形ABCDEF，使得． 【答案】（1）证明： 由图可知，外接矩形的长、宽分别为 ，，缺口矩形的长、宽分别为 ，，因此 令 ，，则 又因为 均为正整数，所以 ，从而 因此即 ． （2） （3）证明：存在多边形使得 对于任意正整数 ，取 即可得到满足题设角度条件的六边形，且 下面对任意正整数 构造相应的 ． 当 时，取 此时 ，，所以 ． 当 ，其中 时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 当 ，其中 时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 综上，对任意正整数 ，均存在满足 的六边形 ． 【解析】 【分析】将凹六边形补成矩形，可得周长和面积的代数表达式．（1）比较六边形与外接矩形；（2）在 时利用恒等变形及正整数条件求最小值；（3）按 的奇偶性分别构造正整数边长并验证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当 时， 由恒等变形， 若 ，由于 均为正整数，有 ，所以 而 ，故最小值不在 时取得． 当 时，，于是 当 时，上式等于 ． 当 时，； 当 时，． 因此上式在 时取得最小值． 此时 ，故 的最小值为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $