精品解析：云南省文山州广南县第一中学2026～2027学年高一上学期期中数学试卷

高一数学 满分：150 分　　考试用时：120 分钟 注意事项：请将答案填写在试卷相应位置，解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集的个数为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，集合， 则其子集共有个. 2. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合交集的定义，将集合中元素代入不等式验证求解. 【详解】集合，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以. 故选：C 5. 若“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求为真命题时的取值范围，然后再由其否定为假命题，取其补集即可得到结果. 【详解】若为真命题， 当时，不等式为，满足； 当时，则，解得， 则的取值范围为， 又命题“”为真命题， 则其否定“”为假命题， 所以的取值范围为. 6. 南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法不正确的是（ ） A. ，是一个函数 B. 当时， C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】一个自变量只对应一个具体数值，所以，是一个函数，选项A正确； 当时，，选项B不正确； 由圆周率可知，选项C正确； 由圆周率可知函数值为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9， 所以，选项D正确. 7. 若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：D 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，若，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，即可对分和两种情况分类讨论求解. 【详解】由题意可得，因为. 当时，； 当时，，则或. 综上所述，或或. 故选:BCD 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数，则的值为5 D. 函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A， 由定义域不同可判断；选项B，考查函数在处有无定义可判断；选项C，由解析式求函数值可判断；选项D由分式函数的值域可判断. 【详解】选项A，函数的定义域为，函数的定义域为， 它们的定义域不同，故不是同一函数，故选项A不正确； 选项B， 若函数在处有定义，则函数的图象与直线有1个交点； 若函数在处没有定义，则函数的图象与直线没有交点，所以选项B正确； 选项C，函数，令，得，所以选项C正确； 选项D， 由，因为，所以， 即函数的值域为，所以选项D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 一个真命题的否定一定是假命题 B. 若“”是“”的充分条件，则 C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 已知是全集的子集，则“”是“”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定真假直接判断选项A，根据充分条件的判断分析即可得出选项B，利用不等式的性质及充分条件、必要条件的判断即可得出选项C，根据集合的运算与集合的包含关系及充要条件判断即可. 【详解】选项A：一个真命题的否定一定是假命题， 所以A选项正确， 选项B：“”是“”的充分条件，则， 所以选项B不正确， 选项C：因为，若，则， 即，所以充分性成立， 当时，，若，则， 即，所以必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件， 故选项C不正确， 选项D：充分性：因为是全集的子集， 所以任取，则， 若，则，所以， 所以充分性成立， 必要性：设，可得或， 当时，因为，所以， 可得，即成立， 当时，可得， 即成立，所以必要性成立， 所以D选项正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人. 【答案】3 【解析】 【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数． 【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分， 即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次 所以，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题． 13. 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义： 若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．请问： 若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16<y′≤16，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“可控变点”的定义，讨论、对应的取值范围，结合题设确定a的范围. 【详解】若，则有： 当时，， 当时，， ∴，可得. 若有：，不合题意. 综上，. 故答案为： 14. 已知函数，关于的不等式的解集为，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次不等式解集与系数的关系可得，，，再根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】的解集为，∴且1，2是的两根． ，即，，即， ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得全集，再根据并集运算可得，利用交集、补集运算可得； （2）由集合可得，再由并集运算即可求得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 又， 所以， 易知， 所以 【小问2详解】 易知， 则可得. 16. 已知实数，，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两式相乘整理得，结合基本不等式运算求解；（2）根据题意结合，运算求解. 【小问1详解】 ∵，当且仅当，即时等号成立 ∴，即的最小值为 【小问2详解】 ∵，即，当且仅当等号成立 ∴，即的最大值 17. 设全集，集合，集合. （1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由充分条件的定义可得，进而建立不等式组，解之即可求解； （2）由题意可得，易知当时符合题意；当时，根据集合的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 ∵是的充分条件，∴， 又∵，， ∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵命题“，则”是真命题，∴. ①当时，∴，∴，∴，符合题意； ②当时，∵，，且B是A的子集， ∴，∴，a无解； 综上所述：实数a的取值范围. 18. 已知函数. （1）求，; （2）若，求实数的值; （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式计算函数值即可； （2）利用分段函数分和进行分类讨论计算即可； （3）分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 易知， ； 【小问2详解】 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或(舍) 综上可得或； 【小问3详解】 当时，，解得， 当时，，解得，由于， ， 综上，的解集为. 19. 若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. （1）直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； （3）是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）证明：由上述分析可知，2元“复活集”（）满足， 若，则即， 所以（舍去）或即， 所以对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. （3）存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为：. 【解析】 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”. （2）利用基本不等式证得结论成立. （3）先求得一个3元“复活集”，然后证明这个“复活集”是唯一的，从而确定正确答案. 【小问1详解】 设一个2元“复活集”为（），则， 由于，所以一个2元“复活集”可为（答案不唯一）. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设元“复活集”，其中都是正整数，且两两不相等， 根据集合元素的互异性和无序性，不妨设， 根据“复活集”可得， 因为，所以存在元素均为正整数的元“复活集”. 设，则，由， 得，整理得， 由于且都是正整数，所以， 所以，此时元“复活集”为. 当时，由，得，所以， 由于且都是正整数，所以只有满足， 但与矛盾，所以当时，不存在元素均为正整数的元“复活集”. 综上所述，存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为. 【点睛】关键点睛:在第（3）小问中的求解过程中，关键在于利用分类讨论和整数的性质，确定元素的取值范围.通过先假设一个元素等于1，利用方程的对称性和因式分解，找出了满足条件的所有正整数解，并证明了这个解的唯一性；再假设，由“复活集”定义和整数的性质得，从而再由正整数性质进一步可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 满分：150 分　　考试用时：120 分钟 注意事项：请将答案填写在试卷相应位置，解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集的个数为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法不正确的是（ ） A. ，是一个函数 B. 当时， C. D. 7. 若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，若，则实数的取值是（ ） A. B. C. D. 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数，则的值为5 D. 函数的值域为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 一个真命题的否定一定是假命题 B. 若“”是“”的充分条件，则 C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 已知是全集的子集，则“”是“”的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人. 13. 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义： 若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．请问： 若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16<y′≤16，则实数a的取值范围是_____． 14. 已知函数，关于的不等式的解集为，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）求. 16. 已知实数，，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 17. 设全集，集合，集合. （1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 18. 已知函数. （1）求，; （2）若，求实数的值; （3）求不等式的解集. 19. 若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. （1）直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； （3）是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $