精品解析：云南省玉溪第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

玉溪一中2026—2027学年上学期高一年级期中考 数学学科试卷 命题人：张国林 审题人：张国林 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，则A正确，B错误； 又因是元素，是自然数集，故，故C错误； 是空集，不含任何元素，而含元素0，故，即D错误. 2. 设集合A，B满足则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知交集、并集的结果，判断元素与集合B的关系，即可确定集合B. 【详解】由知：， 又知：且， 综上，. 故选：D 3. 已知，则不等式“”是不等式“”的（  ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】不等式的解为或， 因为集合是集合或的真子集， 所以不等式“”是不等式“”的充分不必要条件. 4. 已知函数，则函数的定义域为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以且， 故的定义域为. 5. 下列哪些组中的两个函数是同一函数（ ） ①；     ②； ③；    ④. A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】同一函数需要满足的条件：①定义域一样；②对应关系一样. 【详解】①定义域为，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数； ②定义域为，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数； ③，定义域为，定义域为，所以定义域一样，且，所以对应关系一样，所以是同一函数； ④，定义域为，定义域为，所以定义域一样，，所以对应关系一样，所以是同一函数； 所以同一函数的是③④. 6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如表：若某户居民本月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（  ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设此户居民本月用水量为， 若用水量未超过，则水费最多为元， 若用水量超过了，则水费最少为元，所以， 所以列方程为，解得. 7. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的函数是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】与均在上非单调函数，故A，B错误； 定义域为，且，则是偶函数，故C错误； 若，则；若，则， 其图象如图： ， 符合题意，故D正确. 8. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，，都有成立， 所以在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断AB；举特殊值计算可判断C；利用作差法计算可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，，所以，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，， 若，则，， 所以，即，故D正确. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式可得出关于的二次不等式，解之可判断A选项；由已知等式变形可判断BC选项；利用基本不等式结合C选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 由基本不等式可得，即，即， 因为，故，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，由得，即，所以，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由可得， 由可得， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 11. 设，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若，则（  ） A. B. 函数的值域为 C. D. 点集所表示的平面区域的面积是4 【答案】AD 【解析】 【分析】根据新定义计算A；若，计算解析式即可求值域；根据新定义化简判断C；结合定义分类讨论即可判断D. 【详解】易得，故A正确； 若，则，则， 则函数的值域为，故B错误； ，故C错误； 因为， 所以若，则，即，， 点构成了边长为的正方形； 同理可得，若，；，；，； 点均构成了边长为的正方形； 故点集所表示的平面区域的面积是4，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题否定的定义可解． 【详解】根据题意，命题的否定是， 故答案为：． 13. 已知幂函数的图象经过点，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为为幂函数，故设， 由题意得， 故，所以. 14. 给定函数，，．，用表示中的较大者，记，则_______；若函数的定义域为时，值域为，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数性质在直角坐标系中画出两个函数的图象即可，进而确定图象，进而可求解. 【详解】的图象是过点，的直线， 的图象是开口向上、顶点为、与轴交于，两点的抛物线，如图所示． 令，即，整理得， 解得或． 当时，由（1）中的图象可知，此时较大者为，即； 当或时，，即． 所以为分段函数：当或时，；当时，． 因此函数的图象如下图，在与处两段函数值相等（依次为与0），图象连续不断开． 当时，的对称轴为，其在上单调递减； 当时，单调递增； 当时，在上单调递增， 因此的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． ， 由上图可知：， 结合单调性和图象可知的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知，求的值. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）通过方程两边取平方，化简求出，，代入计算即得. 【详解】（1） . （2） 由， 两边平方得，即. 又， 所以. 16. 已知集合，. （1）求及. （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以或 又或， 故或， 或 【小问2详解】 由，得， 当，即，即时，符合题意， 当，即时，此时还需满足，解得， 故此时， 综上可知：实数的取值范围. 17. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI．它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．某科技公司是一家专业从事智能语音及语音技术研究、软件及芯片产品开发、语音信息服务的国家级骨干软件企业．该公司研发一种新产品，固定成本20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数. （1）将利润（单位：元）表示为月产量（单位：台）的函数； （2）记为月平均单台利润（单位：元），当月产量（单位：台）为何值时，公司所获月平均单台利润最大？最大月平均单台利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当月产量为台时，公司所获月平均单台利润最大，最大月平均单台利润为元. 【解析】 【分析】先根据利润定义推导利润关于月产量的分段函数，再结合月平均单台利润的表达式，分别利用基本不等式和函数单调性求解各段的最大值，比较得到全局最优解 【小问1详解】 利润的核心公式为：利润=总收入-总成本. 其中总成本由两部分组成：固定成本元，每台新增投入元，因此总成本为.结合分段的总收入分情况计算： 当时： ， 当时： , 所以. 【小问2详解】 当时： 由基本不等式：即时取等号。 因此此时，最大值为. 当时：， 该函数在时单调递减，因此. 综上，时取得最大值. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或.. 【解析】 【分析】（1）由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，且，利用韦达定理可求出实数的值； （2）分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法解之即可. 【小问1详解】 由可得， 由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，且， 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 由得，且， 整理可得， 当时，原不等式即为，解得； 当时，，解原不等式得； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 【答案】（1）. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取， 所以，所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及给定的函数值求参数值. （2）直接利用定义法证明函数的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性求解不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以，解得，所以, 此时,为奇函数，故. 【小问2详解】 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取， 因为，， 所以，所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 实数的不等式等价于， 由（2）可知在区间上单调递增，所以上述不等式等价于，解得或者， 所以实数的不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2026—2027学年上学期高一年级期中考 数学学科试卷 命题人：张国林 审题人：张国林 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（  ） A. B. C. D. 2. 设集合A，B满足则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则不等式“”是不等式“”的（  ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则函数的定义域为（  ） A. B. C. D. 5. 下列哪些组中的两个函数是同一函数（ ） ①；     ②； ③；    ④. A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如表：若某户居民本月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（  ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 A. B. C. D. 7. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的函数是（  ） A. B. C. D. 8. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 设，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若，则（  ） A. B. 函数的值域为 C. D. 点集所表示的平面区域的面积是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定是_______________. 13. 已知幂函数的图象经过点，则______. 14. 给定函数，，．，用表示中的较大者，记，则_______；若函数的定义域为时，值域为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知，求的值. 16. 已知集合，. （1）求及. （2）设集合，且，求实数的取值范围. 17. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI．它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．某科技公司是一家专业从事智能语音及语音技术研究、软件及芯片产品开发、语音信息服务的国家级骨干软件企业．该公司研发一种新产品，固定成本20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数. （1）将利润（单位：元）表示为月产量（单位：台）的函数； （2）记为月平均单台利润（单位：元），当月产量（单位：台）为何值时，公司所获月平均单台利润最大？最大月平均单台利润为多少元？ 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为或，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $