精品解析：云南省文山壮族苗族自治州广南县第十中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广南县第十中学校2024—2025学年秋季学期期中考 高一年级数学试卷 试题分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题可得答案； 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得为. 故选：B. 2. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 3. “且”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】若且，则，故充分性满足； 但是由推不出且，例如，故必要性不满足； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：C 4. 已知，则下列不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质可得A、C正确；由基本不等式可得B正确；作差可得D错误； 【详解】对于A选项：因为，则，即，故A正确； 对于B选项：若，，则由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C选项：因为，，所以两边乘以，得，即成立，故C正确； 对于D选项：若，，， 则 ，因为可能大于0，可能小于0，可能等于0， 所以 与大小关系不确定，故D错误. 故选：D. 5. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 6. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 7. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可. 【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为， 当时，； 因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC； 因为，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故排除D， 故选：A 8. 已知定义在上函数满足以下条件：①；②，当时，都有．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合奇偶性和单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】由①可得为偶函数，由②可得为上的增函数， 不等式可得， 所以不等式的解集为， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，结合函数的三要素进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数； 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数； 对于选项C：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数； 对于选项D：函数的定义域为或，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数， 故选：AC 10. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. 当时，的最小值是5 D. 设，且，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用作差法，结合完全平方公式，可得答案； 对于B，利用分式方程的求解，可得答案； 对于C，利用基本不等式，可得答案； 对于D，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，去分母整理可得，分解因式可得，解得或，故B正确； 对于C，由，即，则， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，由，则， 当且仅当，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1，最小值为0 D. 是R上的增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接计算即可；对于B，根据高斯函数的定义分析判断；对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可判断；对于D，利用特殊值即可判断. 【详解】对于A，由题意得，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数， 则当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误. 故选：AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若函数，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】首先求解，然后代入求解出. 【详解】根据题意得：, 然后代入 故答案为：-2. 13. 已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 14. 函数，在上单调，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和反比函数解不等式组可得； 【详解】当时，，由反比例函数的单调性可得函数为减函数， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共计77分，其中15题13分；16、17题各15分；18、19题各17分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解； （2）由题设条件得到，从而分类讨论与，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 当时，集合， 又集合，所以. 所以当时，. 【小问2详解】 因为等价于， 当时，，得，满足题意; 当时，则， 则，得，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. （1）已知函数．求关于的不等式的解集； （2）已知．若不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； （2）12 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解法对讨论即可； （2）由基本不等式求解即可； 【详解】（1）， 所以，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； （2）因为，所以， 若不等式恒成立，则不等式恒成立， 由， 当且仅当即时取等号， 故，即的最大值为12. 17. 数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数． （1）求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数； （2）当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？ 【答案】（1） （2）当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆 【解析】 【分析】（1）根据题意分和讨论即可求得函数的解析式； （2）求出关于的关系式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【小问1详解】 当时，设， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 此时函数在区间上是增函数，恒有； 当时，， 此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （3）； 【解析】 【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”． （1）已知函数，区间是否是函数的“k倍倒域区间”？ （2）定义在上的奇函数，当时，． ①求的解析式，并直接写出的单调区间； ②求在区间内的“8倍倒域区间”． 【答案】（1）是 （2）①；单调区间见解析② 【解析】 【分析】（1）结合函数新定义由函数单调性求出值即可； （2）①由函数的奇偶性求出函数解析式；再由二次函数和分段函数的单调性得到单调区间即可； ②设，根据在上单调递减，得解得结果即可得解； 【小问1详解】 是，理由如下： 因为函数在定义域上为减函数， 所以当时，， 由题意可得，，所以区间是函数的“k倍倒域区间” 【小问2详解】 ①因为为定义在上的奇函数， 所以当时，，， 因为，所以， 所以， 当时，由二次函数的对称轴可得，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，由二次函数对称轴可得，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，的减区间是上单调递减；增区间是. ②因为在内的“8倍倒域区间”， 设，因为在上单调递减， 所以，整理得， 解得， 所以在内的“8倍倒域区间”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广南县第十中学校2024—2025学年秋季学期期中考 高一年级数学试卷 试题分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 3. “且”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 4. 已知，则下列不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上函数满足以下条件：①；②，当时，都有．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. 当时，的最小值是5 D. 设，且，则的最小值是 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1，最小值为0 D. 是R上的增函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若函数，则______． 13. 已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是______． 14. 函数，在上单调，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共计77分，其中15题13分；16、17题各15分；18、19题各17分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 16. （1）已知函数．求关于的不等式的解集； （2）已知．若不等式恒成立，求的最大值． 17. 数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数． （1）求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数； （2）当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”． （1）已知函数，区间是否是函数的“k倍倒域区间”？ （2）定义在上的奇函数，当时，． ①求的解析式，并直接写出的单调区间； ②求在区间内的“8倍倒域区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $