精品解析：广东茂名市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

茂名市第一中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆的半径，即可求得该圆的标准方程. 【详解】∵圆过点，即点在圆上， ∴该圆的半径为圆心与点两点之间的距离， ∴该圆的标准方程为. 故选：A. 2. 经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可 【详解】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率 又直线过点 则直线的方程为 故选 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，运用点斜式根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是基础题． 3. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行对应直线的斜率相等可求解出的值. 【详解】由，即，得. 经检验知，符合题意. 故选：B. 4. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 5. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A. 900 B. 800 C. 700 D. 600 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出全校的总人数，再根据高一、高二、高三的人数之比即可得出该校高二年级的人数. 【详解】因为随机抽取400名学生，学校中每人被抽中的概率都是， 所以全校的总人数为， 因为高一、高二、高三的人数之比为， 所以高二年级的人数占全校总人数的， 因此，该校高二年级的人数为. 故选：D. 6. 已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，原5个数的平均数，原方差. 根据方差公式，则， 加入新数据后，新总和为，新平均数， 因此加入数据2后，6个数的方差为. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义利用余弦定理得出的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意，，， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 故选：B． 8. 已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意存在点，使得是等边三角形，过作圆的切线，切点为，连接，则，又，即可得到，设，根据距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为原点，半径. 在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接， 则，又， 所以，即，则， 即，解得，故， 所以，点的纵坐标的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B. 事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C. 事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 D. 事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件以及相互独立事件的定义依次进行分析即可. 【详解】对于A：正四面体骰子质地均匀，每个面朝上（底面数字）的概率相等，均为， 故甲投得数字1的概率为，A正确； 对于B：“甲投得奇数”与“甲投得偶数”的并集为所有可能结果（全集），交集为空集， 即二者不能同时发生，且必有一个发生，因此是对立事件，B正确； 对于C：互斥事件要求不能同时发生，但甲投得1与乙投得2是两个独立事件，可以同时发生， 故不是互斥事件，C错误； 对于D：相互独立事件的定义是,甲投得的概率为，乙投得的概率也为， 且甲乙都投得4的概率为，所以，符合独立事件定义，D正确. 故选：ABD 10. 已知直线：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 对于，直线与圆相交 C. 对于，圆上恒有4个点到直线的距离为1 D. 若，直线与圆交于，两点，则的最大值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】计算直线的定点，圆心和半径，通过定点判断直线与圆的位置关系，使用直线与圆的弦长公式求解. 【详解】直线方程可化为：，令，解得， 所以直线过定点，选项A正确； 圆的方程：，圆心，半径， 定点到圆心的距离：， 所以定点在圆内部，直线与圆相交，选项B正确； 圆心到直线的距离：， ，即， 当时，圆上到直线距离为1的点的个数是3个，并非恒有4个，选项C错误； ，当时，最大，最大值为4，选项D错误. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（     ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用中位线与平行四边形证线线平行，推出线面平行； B由线面平行得到动点到平面的距离不变以及的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值； C沿展开平面，余弦定理算出最小值； D先求正四面体顶点到底面距离，利用球截面小圆半径公式，计算点的轨迹圆的周长． 【详解】对于A，连接， 正方体的对角面为矩形，所以， 又分别为的中点，所以， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B，正方体的对角面为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以线段上点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示： 易得，当且仅当为线段与的交点时，等号成立， 由，，得， 在等边中，， 则， 由余弦定理得， 因此的最小值为，C错误； 对于D，四面体是正四面体，棱长， 等边的外接圆半径， 则点到平面的距离， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆，且该圆半径， 所以点的轨迹长度为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知一组数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，求一组数的第百分位数. 【详解】共有10个数，则， 则第75百分位数是第8个数,即9. 故答案为：9. 13. 两圆相交于和两点，两圆圆心都在直线上，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先由两圆相交的公共弦垂直过两圆圆心的直线，可求出；再由两圆的交点的中点在过两圆心的直线上，可求出，进而求解. 【详解】由平面几何性质知，两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直， 且经过弦的中点，则，解得， ∵和的中点为在直线， ∴，解得， ∴． 故答案为：3. 14. 已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求切线的方程，代入点坐标，进而求得直线的方程，求得两点的坐标，然后求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值. 【详解】先求在圆上一点的切线方程： 设圆的方程为，圆心为，半径为， 设是圆上的一点，则①， 设是圆在处的切线方程上任意一点，则， 即②， 并整理得， 即圆在处的切线方程为. 根据题意，设，，，，，， 是圆的切线且切点为，则的方程为， 同理的方程为， 又由､交于点，则有，， 则直线的方程为（1）. 要使围成三角形，则不是椭圆的顶点，所以， 由（1）可得的坐标为，，的坐标为， ， 又由点是椭圆上的动点（非顶点），则有， 则有，即， 当且仅当时，即时等号成立， ， 即面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示： （1）求a的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数； （2）求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数（结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1列方程即可求得参数，求得优秀志愿者的频率即可估计对应的人数； （2）由众数、中位数以及平均数的计算公式直接计算即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得， 因为优秀志愿者的频率为， 所以估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数有：人； 【小问2详解】 由图可知这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数为， 设中位数为，服务时长在小时的频率为， 服务时长在小时的频率为， 所以， 而，解得， 这20名志愿者当周志愿服务时长的样本平均数为. 16. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出、；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果. （2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果. 【小问1详解】 设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B相互独立. 因为两轮选拔之间相互独立 所以，. 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为： 所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率. 【小问2详解】 设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立. 则. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 17. 已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点坐标为，直线与椭圆交于两点，求的面积； （3）若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点求得，再根据离心率及求解，由此求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出高即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及直线垂直的条件求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆：的一个顶点为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 联立消去得，，， 则，， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积； 【小问3详解】 设，， 联立消去得，， 由得，则， 设线段的中点为， 则，所以， 因为，所以， 所以，解得，满足，所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若点在线段上一动点，且．当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求实数的值． 【答案】（1）证明：因为为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面平面，面，所以， 因为，所以； （2）（i）或；（ii）或或或 【解析】 【分析】（1）使用线面平行的判定定理与线面平行的性质定理证明； （2）（i）法一：使用平面的法向量与直线的方向向量求解；法二：使用几何法计算线面夹角； （ii）使用向量法计算面面夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直， 以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，或者， 当是时， 所以，， 设平面的法向量为， 由可得取，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 同理当是，，， 可求其一个法向量为， 故直线与平面所成角正弦值或． （法二：几何法）当时，补成长方体， 过点作于点，连接，， 因为面，面，所以． 又因为，，面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，所以， 在中，，， 所以． 当时，同法一． 故直线与平面所成角正弦值或． （ii）当时，，， 因为，所以， ． 设平面的法向量为 ， 可取． 设平面的法向量为，，则： 可取． 设平面与平面所成锐二面角为． 化简得 解得：或，经检验，均满足． 当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时， 实数的值为或． 情形二：当时，，， ， ． 设平面的法向量为，， 可取． 设平面的法向量为，则： 可取． 设平面与平面所成锐二面角为． 化简得 解得：或，经检验，均满足． 当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时， 实数的值或． 综上所述的值为或或或． 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）①②. 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将  与  的关系转化为直线  与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论  的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【小问1详解】 由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线  过 ，与圆交于 ，且  为  的中点，设 ，则 ， 由  在圆  上，得 又  在圆上：，两式相减得 因为直线  与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，，  时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市第一中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. 经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. －2 4. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A. 900 B. 800 C. 700 D. 600 6. 已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B. 事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C. 事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 D. 事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 10. 已知直线：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 对于，直线与圆相交 C. 对于，圆上恒有4个点到直线的距离为1 D. 若，直线与圆交于，两点，则的最大值为2 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（     ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知一组数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是_________． 13. 两圆相交于和两点，两圆圆心都在直线上，则的值为______． 14. 已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示： （1）求a的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数； （2）求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数（结果保留一位小数）． 16. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 17. 已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点坐标为，直线与椭圆交于两点，求的面积； （3）若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若点在线段上一动点，且．当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求实数的值． 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $