江苏南京市第十三中学2026-2027学年高二上学期数学期中复习卷4

复习卷 学号:___________姓名：___________班级：___________ 一、多选题 1．湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（     ）    A． B．估计该年级成绩的众数为70 C．估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 2．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P，Q，M分别为，，的中点，下列结论正确的有（    ）    A．平面 B．该四棱柱有外接球，则四边形为正方形 C．与平面不可能垂直 D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，为等边三角形，则下列说法正确的是（   ） A．C的离心率为 B．存在四个点A使得为直角三角形 C．记，，则的最大值为 D．记的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的最小值为 二、填空题 4．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 5．过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______. 6．已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 三、解答题 7．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，且；各项目的比赛结果相互独立． (1)若，求甲得4分的概率； (2)要使甲获冠军的概率大于乙获得冠军的概率，求的取值范围． 8．已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 9．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. (1)证明：平面； (2)若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 11．已知双曲线的实轴长为，左焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左顶点为，直线交轴于点，过点的直线交双曲线的右支于点，直线分别交直线于点. ①若，求的值； ②若四点共圆，求证为定值，并求出该定值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习卷 学号:___________姓名：___________班级：___________ 一、多选题 1．湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（     ）    A． B．估计该年级成绩的众数为70 C．估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 【答案】ACD 【解析】由频率分布直方图可知，解得，A正确； 由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，B错误； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率为， 故估计该年级80分及以上的学生人数约占40%，C正确； 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故该年级学生成绩的中位数位于第三组中，第三组频率为， 故估计该年级学生成绩的中位数约为，D正确； 2．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P，Q，M分别为，，的中点，下列结论正确的有（    ）    A．平面 B．该四棱柱有外接球，则四边形为正方形 C．与平面不可能垂直 D． 【答案】ABC 【分析】根据线线平行即可判断A，利用外接圆的对角互补，则可判断B，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C, D. 【详解】对A，连接，由点P，Q，分别为，可得， ，所以四边形为平行四边形， 则，故，平面,平面,则平面，即A正确； 对B，若四棱柱有外接球，则四边形有外接圆，则对角互补，则为正方形，即B正确； 对C，若平面，平面,则，由可得，与条件矛盾，故与平面不可能垂直，即C正确； 对D，取的中点N，连接，，则，, 平面，平面，平面，， ，则，故与不垂直，即D错误. 故选：ABC.    3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，为等边三角形，则下列说法正确的是（   ） A．C的离心率为 B．存在四个点A使得为直角三角形 C．记，，则的最大值为 D．记的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】记． 对于A：直线l垂直于x轴时，不妨设，则， 因此离心率，故A正确； 对于B，当位于短轴顶点时，，即椭圆上任意一点都有， 所以若为直角三角形，直角只能是或， 当时，点在过点且垂直于轴的直线上，该直线与椭圆有2个交点， 当时，点在过点且垂直于轴的直线上，该直线与椭圆有2个交点， 所以椭圆上存在四个点使得为直角三角形，故B正确； 对于C：由上知，，且，则， 在中，由正弦定理得， 根据等比性质，有，其中， 则有，即， ，， 又， 其中，所以， 当且仅当取等号，此时， 所以，故C错误； 对于D：由，即， 的周长为， 由得， 因此，又，则， 当且仅当取等号，故D正确． 二、填空题 4．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式、向量的数量积及余弦定理求解即可. 【详解】由的面积为，即， 又， 两式相除得，又，所以，所以， 又，所以. 由余弦定理， 所以. 5．过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______. 【答案】 【分析】求出点的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】直线，即，由得点， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 6．已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆的方程求出交点坐标，由向量的线性运算求出，最后利用换元法和二次函数的性质进行求解． 【详解】依题意射线的斜率存在，设，设， 得：，∴． 因为，M为OP的中点，所以， 则 =． 设，则． 当且仅当即时，． 三、解答题 7．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，且；各项目的比赛结果相互独立． (1)若，求甲得4分的概率； (2)要使甲获冠军的概率大于乙获得冠军的概率，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用独立概率乘法求甲恰好赢两局的概率，相加即可； （2）先分析甲获胜的条件是赢至少两局，分别求出赢两局和赢三局的概率，总胜率表达为的一次函数，从而得到不等式，结合得范围. 【详解】（1）分别表示甲在三个项目中获胜，表示甲得4分， ； （2）甲得4分或6分，夺冠， 甲得4分的概率； 甲得6分的概率； 甲夺冠的概率为； 乙夺冠的概率为；又， . 8．已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由二倍角公式结合同角三角函数关系可得答案； （2）由的面积为，结合余弦定理可得，然后可得答案. 【详解】（1）因为，即， 因为，所以， 因为，即，所以； （2）因为，所以， 因为，即， 因为，所以，得， 所以，所以的周长为. 9．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点和，利用中点公式，求得，代入圆的方程，即可求得曲线的方程； （2）根据题意，得到四点共圆，求得该圆的方程，再由直线是两圆公共弦所在直线，结合圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】（1）解：设点，线段的中点为， 可得，所以，即点， 因为点在圆上，所以， 化简得，所以曲线的方程为． （2）解：如图所示，因为 所以四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 即圆的方程为， 可得直线是两圆公共弦所在直线， 由，两式相减得， 所以直线所在的直线为． 10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. (1)证明：平面； (2)若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 【解析】(1)证明：底面，且底面，， 为正方形，，又，且平面，平面. 平面，. 由为线段的中点，可知， ，且平面，平面． （2）（i）取的中点，连接． 为中点，是的中位线，故，且． 又底面，底面，因此是在底面内的投影， 即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，， 故．又是中点，，故． 在中，． 在中，．因此． （ⅱ）利用等体积法， 设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由得：． 11．已知双曲线的实轴长为，左焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左顶点为，直线交轴于点，过点的直线交双曲线的右支于点，直线分别交直线于点. ①若，求的值； ②若四点共圆，求证为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)①② 【解析】（1）双曲线的实轴长为， ，. 由左焦点到渐近线的距离为1，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）① ， 设直线的方程，联立， 消去得， 设，则，. ， 所以直线的方程. 令，得， 同理，得， ， ，. ②证明： 四点共圆，且点， 所以设圆的方程为. 又点的横坐标为， 所以方程的两根为. . 又由①知，， 解得（舍去），或. 故为定值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $