江苏省海州高级中学、清江中学、徐州市第三中学、盐城市第一中学、扬州大学附属中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

2026-2027学年度高二年级第一学期第一次学情调研 数学参考答案 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BC 10．ABD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）当直线经过原点时，直线的方程为，即； 2分 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 3分 则，解得 6分 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或 7分 （2）由题意可设，，， 则直线的方程为，且， 因为，当且仅当，时取等号， 10分 所以，则， 所以的最小值为24． 13分 16．解：（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 2分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 4分 所以圆心到直线的距离，所以， 6分 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或， 8分 （2）因为，所以， 10分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆是相切的，不符合题意； 12分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 即，所以或， 所以直线的方程为或． 15分 17．（1）∵焦距为，，， 2分 在双曲线上，． 联立，解之得，． 所以双曲线的标准方程为． 5分 （2）由（1）可知，假设存在直线，使是以为顶角的等腰三角形． 设，中点为，则． 7分 当直线斜率不存在时，：与双曲线相离，不合题意，舍去． 8分 当直线斜率存在时，设斜率为，则：． 联立消去，整理得． 由且得，且． 10分 设，则， 所以，则， 即 12分 ①当，即时，：，双曲线的方程得，此时，符合题意． ②当，即时，直线的斜率． 由得，解之得（或舍去） 14分 此时直线的方程为，即． 综上所述：存在直线，其方程为：或． 15分 18．解：（1）∵焦距为，即． ，． 在椭圆上，．解之得． 所以椭圆的标准方程为． 4分 （2）设直线的方程为，，． 当时，直线方程为． 联立消去，整理得． 由，得． 则，． 6分 ，，， ，解之得或，或 即直线的方程为或． 9分 （3）方法1： 联立消去，整理得． 且①，② 12分 ，，， 整理得，①、②代入整理得， ，或 14分 当时，直线过点，与已知“，异于点”矛盾，舍去． 当即时，直线：恒过定点 16分 即，∴当点为中点时，， 即存在定点，使得为定长． 17分 方法2：设直线方程为：，， 由椭圆的方程变形得， 所以， 12分 等式两边同时除以得：， 则， 又已知，所以，整理得 14分 代入直线方程得： 由，得，即直线恒过定点 16分 即，∴当点为中点时，， 即存在定点，使得为定长． 17分 19．解：（1）不妨设在的上方，则，， 从而，① 又为椭圆上一点，故，② 由①、②可得：，③ 由椭圆：的焦距为，得，④ 由③、④可解得，， 因此，椭圆的方程为：． 4分 （2）（ⅰ）设过原点作圆的切线方程为，从而有， 整理得：， 6分 若，则有圆与轴相切，此时、至少有一个不存在，故， 又直线均与圆相切， 从而、是方程的两个不相等的实数根， 故且， 因为点在椭圆上，进而有， 所以． 9分 （ⅱ）设，由（ⅰ）可得，⑤ 11分 因为、在椭圆上， 故有，，代入⑤化简得：， 从而， 14分 进而有， 当且仅当时取“”，此时直线与关于轴对称， 因此，的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 考试时间：2026年10月27日14:00-16:00 2026-2027学年度高二年级第一学期第一次学情调研 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A．或 B． C． D．或 4．已知直线和互相平行，则实数的值（ ） A．或 B． C． D．或 5．，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（ ） A．25 B．48 C．24 D．12 6．已知，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知点为曲线：上一点，点为圆：上一点，若点与点的最大距离为7，则正数的取值不可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：和直线：，则（ ） A．直线过定点 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若点是圆上的动点，则的取值范围是 D．圆的点到直线的最大距离为 10．已知曲线：，则（ ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 B．当时，曲线上的点到直线：的距离的最大值为 C．若曲线是双曲线，且焦点到一条渐近线的距离为2，则实数 D．若，曲线的离心率的取值范围是 11．椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案如图所示，基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）．在平面直角坐标系中，将标准椭圆（焦点在坐标轴上，对称中心为原点）绕着对称中心逆时针旋转角，，即得“斜椭圆”：．已知椭圆的面积公式为（其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴的长）．则（ ） A．若每个“斜椭圆”的面积为，则 B．若每个小正方形的面积为，则 C．记每个“斜椭圆”与轴正半轴，轴正半轴围成的面积为，则 D．若“斜椭圆”的两个焦点分别为，，为上一点，且的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 13．双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 14．已知，是圆：上的动点，且满足，点M满足，点P在椭圆：上运动，则的最大值________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线l经过点． （1）若l在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值． 16．（15分） 已知圆C：，直线l过点． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且，求直线l的方程． 17．（15分） 已知双曲线：，过点，焦距为，点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知椭圆：过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆交于，两点（异于点），且直线，斜率均存在． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，，求直线的方程； （3）设直线，的斜率分别为，，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 19．（17分） 已知椭圆：的焦距为，短轴两端点分别为，，点为椭圆上一点，直线与直线的斜率都存在，且乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，． （ⅰ）求的值；（ⅱ）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $