江苏南京市第十三中学2026-2027学年高二上学期数学期中复习卷2

2025级高二数学第一学期期中复习卷2 班级________姓名________学号________ 命题：凡森泉 审校： 张居敏 一、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 1.将一枚质地均匀且标有数字，，，，，的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字甲表示事件“第一次掷出的数字是”，乙表示事件“第二次掷出的数字是”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是”则(    ) A. 事件甲与事件丙是互斥事件 B. 事件甲与事件丁是相互独立事件 C. 事件乙包含于事件丙 D. 事件丙与事件丁是对立事件 2.下列命题中，表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点 3.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是(    ) A. 动点轨迹的长度是 B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 C. 直线与所成的角为，则的最小值是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 4.已知，且，则            ． 5.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为          ． 6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为          ． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 已知，为锐角，，． 求的值； 求的值． 8.本小题分著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．现已知的三个顶点坐标分别为，圆的圆心在的欧拉线上，且满足，直线被圆截得的弦长为． 求的欧拉线的方程 求圆的标准方程． 9.本小题分 一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件． (1)求，，； (2)判断事件与是否相互独立，并说明理由； (3)求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率． 10.本小题分 在如图所示的几何体中，，平面平面为的中点． 证明：平面； 点在正方形内，且． (ⅰ)求直线与平面所成角： (ⅱ)若，求点到平面距离的最小值． 11．本小题分 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点． 求双曲线的标准方程 已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线，的斜率分别为，． (ⅰ)求证：为定值 (ⅱ)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二数学第一学期期中复习卷2 班级________姓名________学号________ 命题：凡森泉 审校： 张居敏 一、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 1.将一枚质地均匀且标有数字，，，，，的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字甲表示事件“第一次掷出的数字是”，乙表示事件“第二次掷出的数字是”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是”则(    ) A. 事件甲与事件丙是互斥事件 B. 事件甲与事件丁是相互独立事件 C. 事件乙包含于事件丙 D. 事件丙与事件丁是对立事件 【答案】AB  解：根据题意，一枚质地均匀且标有数字，，，，，的骰子随机掷两次，所有可能的情况有种． 甲表示事件“第一次掷出的数字是”所有可能为：，，，，， 乙表示事件“第二次掷出的数字是”所有可能为：，，，，， 丙表示事件“两次掷出的数字之和是”所有可能为：，，，，， 丁表示事件“两次掷出的数字之和是”所有可能为，，，，，， 对于，甲表示事件“第一次掷出的数字是”， 丙表示事件“两次掷出的数字之和是”，显然不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于，甲，丁， 甲事件和丁事件的积事件包含的所有可能：，则甲丁甲丁，即事件甲与事件丁是相互独立事件，故B正确； 对于，事件乙发生，事件丙不一定发生，故C错误； 对于，事件丙，事件丁可能均不发生，事件丙与事件丁不是对立事件，故D错误； 故选：． 2.下列命题中，表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点 【答案】BD  解：对于选项A：由可得：， 由可得，所以直线恒过定点，故选项 A不正确； 对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径， 平行于直线且距离为的两直线分别过圆心以及和圆相切， 所以，圆上有且仅有个点到直线的距离等于，故选项 B正确； 对于选项C：由题知直线过定点， 曲线表示以点为圆心，为半径的圆在直线及上方的半圆， 如图，直线为过点，与半圆相切的切线，切点为， 所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则， 所以，当直线与半圆相切时， 有，解得，即 因为， 所以实数的取值范围是，故 C选项错误； 对于选项D：设点坐标为，所以，即， 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得：，与已知圆 的方程相减可得， 消去可得：，即， 由可得 所以直线经过定点，故选项 D正确． 故选：． 3.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是(    ) A. 动点轨迹的长度是 B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 C. 直线与所成的角为，则的最小值是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 解：对于，如图，取、的中点、，连接、E、、F、F、、， 可得， 则，，又，，平面， 可得平面，又平面， 则，同理可证， 因为，，平面， 则平面， 因为，则点平面， 又由点平面，可得点， 即动点轨迹为线段，其长度为，故A正确； 对于，三角形在正方体内运动形成几何体是三棱锥， 其体积为，故B正确； 对于，， 直线与所成的角即直线与所成的角，即， 平面，为直角三角形， 故， 当时，最小，此时， 故的最小值是，故C正确； 对于，当点与重合时，直线与平面所成的角最大， 设直线与平面所成的角为，则， 故，故D错误． 故选：． 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 4.已知，且，则            ． 解：， ， ， 又， 可令终边上一点为，， 则， 故． 故答案为：． 5.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为          ． 解：根据题意作出图形： 设球心为，过，，三点的小圆的圆心为， 则平面， 延长交球于点，则平面． ， ， 高， 是边长为的正三角形， ， ． 故答案为． 6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为          ． 解：如图， ，且， ， 又点是的中点，点是的中点，， ， 则， 则， 所以一条渐近线的斜率为， 所以， 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 已知，为锐角，，． 求的值； 求的值． 【答案】解：因为所以． 因为，所以， 因此，． 因为为锐角，所以． 又因为， 所以， 因此． 因为， 所以， 因此 ． 8.本小题分著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．现已知的三个顶点坐标分别为，圆的圆心在的欧拉线上，且满足，直线被圆截得的弦长为． 求的欧拉线的方程 求圆的标准方程． 【答案】解：由题意可知故线段的中垂线即为的欧拉线，        线段的中点为，直线的斜率为    所以线段的垂直平分线方程为，即， 所以的欧拉线的方程为                        因为圆的圆心在的欧拉线上，，     所以                      设圆心为，解得或， 圆心的坐标为或，              又圆心到直线的距离为 ， 所以，圆的方程为或  9.本小题分 一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件． (1)求，，； (2)判断事件与是否相互独立，并说明理由； (3)求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率． 【答案】(1)，，；(2)事件与相互独立；(3). 【解析】（1）摸出的数字为，样本空间， 样本点，总数为． 事件的结果与第二次抽中的结果无关，而三个数中有两个奇数，故． 事件的结果与第一次抽中的结果无关，而三个数中有两个质数，故． 事件发生即，奇偶性相同： 当，均为奇数时，，共4个； 当，均为偶数时，，共1个． 所以事件包含5个样本点，故． （2）事件与相互独立． 理由如下：事件表示“第一次摸出奇数且第二次摸出质数”，包含的样本点为，，，，共4个，所以． 因为，所以， 故事件与相互独立． （3）“事件与至少有一个发生”记为事件． 由题意知其对立事件，即“不是奇数且不是质数”， 即，，对应样本点为， 可知包含除之外的所有8个样本点． 又事件， 观察可知，事件中的所有样本点均属于， 所以， 故． 10.本小题分 在如图所示的几何体中，，平面平面为的中点． 证明：平面； 点在正方形内，且． (ⅰ)求直线与平面所成角： (ⅱ)若，求点到平面距离的最小值． 【答案】解：证明：在四边形中，是中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面平面， 所以平面； 连接， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，故， 从而点在以为圆心为半径的上半圆上， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 所以为所求直线与平面所成角， 所以， 故， 所以直线与平面所成角为； (ⅱ)由，可知四点共面， 从而点到平面的距离即为点到平面的距离， 设点到平面距离为， 由，有， 所以， ， ， ，为固定值， 要使最小，则取得最小值， 由动点的轨迹可知，的最小值为， 所以到平面距离的最小值． 11．本小题分 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点． 求双曲线的标准方程 已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线，的斜率分别为，． (ⅰ)求证：为定值 (ⅱ)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】解：设双曲线的方程为， 因为双曲线的右焦点为，且过点， 所以其中，解得 双曲线的方程为． 设直线的方程为，，， 由得， ，， 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，， 所以得， ， 即． 由题意知直线的斜率存在， 则可设直线的方程为，， 由得， ，， 由，结合可知， ． 由，得， 即，或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点．  第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $