江苏省海州高级中学、清江中学、徐州市第三中学、盐城市第一中学、扬州大学附属中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

2026-2027学年度高二年级第一学期第一次学情调研 数学参考答案 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.D2.C3.A4.B5.C6.A7.C8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2反13.万或2 14.17 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解(1)当直线1经过原点时，直线1的方程为y=-3 x,即3x+4y=0: 2分 41 当直线1不经过原点时，设直线1的方程为+Y=1, 3分 a b 「a+b=0 则4+3-1 解得a~7 6分 b=7 a b 所以直线1的方程为x-y+7=0, 综上所述，直线1的方程为3r+4y=0或x-y+7=07分 (2)由题意可设A(a,0),B(0,b)(a<0,b>0), 则直线1的方程为x+2=1,且4+3=1， a b a b 因为4+324-2卫，当且仅当a=-8b=6时取等号。 =2 b .10分 所以-ab≥48，则S=- 2ab≥24， 所以S的最小值为24.… 13分 16.解：(1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=16,其圆心为C(2,0),半径r=4, 当直线1的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2,符合题意： 2分 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x+2)+6,即x-y+2k+6=0, 4分 第1页，共6页 所以圆心C到直线1的距离d=4k+6=4,所以k=-5 6分 Vk2+1 12 所以直线1的方程为5x+12y-62=0, 综上所述，直线1的方程为x=-2或5x+12y-62=0. 8分 (2)因为AB=2W2-d=216-d2=24,所以d=V5, 10分 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=-2,直线与圆是相切的，不符合题意；12分 当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)+6,即kx-y+2k+6=0, 即+反，所以k=-度子 Vk2+1 所以直线1的方程为x+y-4=0或17x+7y-8=0. ,15分 17.(1)焦距为25c=√5a2+b2=3. 2分 Ap5同在双酸上兰房-1 a2+b2=3 联立 83。 解之得a2=2,b2=1. 所以双曲线C的标准方程为x 5分 一y2=1。▣ (2)由(1)可知B0,1) 假设存在直线1，使△BPQ是以∠PBQ为顶角的等腰三角形. 设P,Q中点为M,则BM⊥PQ. 7分 当直线1斜率不存在时，1：x三一与双曲线C相离，不合题意，舍去. 8分 当直线1斜率存在时，设斜率为，则1：y=(x+宁 y=k(x+。) 联立 2 消去y,整理得1-2k22-4k2x-(2k2+2)=0. -y2=1. 3 0 2 由1-2x≠0且A>0得，_3<k<3且k÷±5 10分 17 17 第2页，共6页 42 设P5.0(,2),则+为=30-23 所以w=古+2=2k2 22-30-25'则w=x+330-2,即M 2k2 k 31-2k2)'30-2k2) .12分 ①当xw=0,即k=0时，：y=0,双曲线C的方程得x=±V2,此时BP=BQ=√5，符合题意. k -1 ②当M≠0，即k≠0时，直线BM的斜率kBM= 301-2k3) 6k2+k-3 2k2 2k2 31-2k2) 由BM1P0得6-3k=-1,解之得k= :(或k=-1舍去) 2k2 14分 此时宜线1的方程为y=+3,即3-6y+1=0, 综上所述：存在直线1，其方程为：y=0或3x-6y+1=0.15分 18.解：(1)焦距为26，即2c=26,c=√6. a2=b2+c2=b2+6 x2 ,y2 =1. b2+6b2 A(2,1)在椭圆上， 2+6+京1.解之得62=2 41 所以稀圆C的标准方程为之十上-1 .4分 82 (2)设直线MN的方程为y=x+m,M(,),N(x2,y2): 当k=-时，直线MN方程为y=一2+m 1 联立 2*m x2.y2 消去y,整理得2x2-4x+4m2-8=0. =1 8+2 由△=16m2-8(4m2-8)>0得：-2<m<2. 则x+5=2m,为=2m2-4. 6分 “MN=+-=压内-刘=25+-4=12 ·.(2m2-4(2m2-4)=12 解之得：m=1或m=-1 第3页，共6页 2 即直线MN的方程为x+2y-2=0或x+2y+2=0. 9分 (3)方法1： y=kx+m 联立 y消去y,整理得1+4k2)x2+8x+4mr2-8=0. 2 =1 82 △>0且x+F1+4 ①54g@ 12分 :6+5-1号t当)-1+m1+s+m=1-1 x-2x2-2 5-2 七-2 整理得(2k+1)x+(m-2k-3(:+2)-4(m-2) ①、②代入整理得8k2+(6m-4)k+m(m-1)=0 .(2k+m-10(4k+m)=0.2k+m-1=0或4k+m=0 14分 当2k+m-1=0时，直线MN过点P(2,1),与己知“M,N异于点P”矛盾，舍去。 当4k+m=0即m=-4k时，直线MN:y=k(x-4)恒过定点A(4,0) 16分 PD⊥MN即PD⊥AD :当点0为PA中点时，D0=PA=5 即存在定点Q32,使得D0为定长5 17分 方法2：设直线MN方程为：m(x-2)+n(y-1)=1,m,n∈R) 由椭圆c的方程2+4y2=8变形得[x-2)+2了+4(y-1)+1了=8 所以（1+4m0x-2）2+(8n+4(y-1)2+(8m+4n(x-2y-1)=0… 12分 等代两达同时除以-2行：8-++n小二号0+切=0 x-2 则k+人=-8m+4-2m+n 8n+42n+1 又已知飞十k2=-1,所以2m+-1,整理得n=2m-1 14分 2n+1 第4页，共6页 代入直线MN方程m(x-2)+n(y-1)=1得：m(x+2y-4)-y=0 由x+2y-4=0得X三4即直线N恒过定点44.，016分 -y=0 (y=0 :PD⊥MN即PD⊥AD 当点0为PA中点时，D0=号PA=5 即存在定点Q3,月， 使得DQ为定长 2 .17分 19.解：(1)不妨设B在B,的上方，则B(0,b),B(0,-b), 从而为-b.%+b_1 4’ ① 又M6)为椭圆C上一点，故三+后-1，@ Ca2 b2 由①、②可得：a2=4b2,③ 的贿圆C:2+ +=1a>b>0)的焦距为2V3,得a2-b2=3,@ 由③、④可解得a2=4,b2=1, 因此，椭圆C的方程为： t3 +y2=1 4分 (2)(①设过原点0作圆M的切线方程为y=:,从而有-l_25 Vk2+15 整理得：(5X-4k2-10x%k+5y-4=0,6分 若5x子-4=0，则有圆M与y轴相切，此时k、k至少有一个不存在，故5子-4≠0， 又直线OP,OQ均与圆M相切， 从而kk2是方程(5x子-4)k2-10x%k+5y好-4=0的两个不相等的实数根， 故△>0且kk2= 5-4 5x-4 因为点M为)在椭圆C上，进而有5-4=6号-4， 所以kk2=- 9分 4 第5页，共6页 (i设人Q6,为.由①华=寻河得对石.⑤1分 因为P(x,yQ(x2,y2)在椭圆C上， 故有=1-手=1草，代入©化简得：矿+店=4， 4 从而0p2+00=++6+号=2+3+)=5 ,14分 02 5 当且仅当OP=0Q=D时取“=”，此时直线0P与00关于y轴对称 因此， 1. 4 。p千O0的最小值为 17分 第6页，共6页考试时间：2026年10月27日14：00-16：00 2026-2027学年度高二年级第一学期第一次学情调研 数学试题 命题：黄云万展期章月城校对：徐家乐审械：米秀旭 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.直线x+√3y+2=0的倾斜角为() A号 B君 c D晋 2.若圆C的一条直径的端点坐标分别是(2，-1)和(-4,3)，则圆C的方程为() A.(x-1)2+y+1)2=13 B.(x+1)2+0y-1)2=52 C.(x+1)2+y-1)2=13 D.(x-1)2+y+1)2=52 椭圆+1的焦距为2，则实致m的值为() A.4或6 B.9 C.1 D.2或√6 4.已知直线x+y+6=0和(m-3)x+10y+12=0互相平行，则实数m的值() A.-2或5 B.-2 C.5 D.2或-5 5.R,5为双曲线2-兰=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠P5=90,则△PR的面积() 24 A.25 B.48 C.24 D.12 6.己知A(-3,0),B(3,0),若圆(x-a+1)2+0y-a+2)2=9上存在点P满足PAPB=-5,则实数a 的取值范围() A.[-2,1]U[2,5) B.[-2,5] C.(-2,1)U(2,) D.[1,2] 7已知椭圆c:女+ =1a>b>0)的左、右焦点分别为R,B,若对椭圆C上的所有的点P均满足 y2 a+ PF-2PE≤b,则椭圆C的离心率的取值范围为() B(引 c(引 [3 8起知点P为曲线C名+上一点，点Q为圆22土0w-34上一点，若点P与点Q的最 4 大距离为7，则正数a的取值不可能为() A.1 B.2 C.3 D.4 数学试题第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知圆C:x2+y2-4y+2=0和直线1：-y+2-k=0,则() A.直线1过定点（-1,2) B.圆C关于直线x-y=0对称的圆的方程为(x-2)2+y2=2 C.若点P(k,y)是圆C上的动点，则Vx2+y2的取值范围是[2-V瓦，2+V2 D.圆C的点到直线1的最大距离为3+2√2 10.已知曲线c:之+ =1，则() m-37-m A.若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(3,5) B,当m=4时，曲线C上的点到直线1：x+y+3=0的距离的最大值为 2 C.若曲线C是双曲线，且焦点到一条渐近线的距离为2，则实数m=11 D.若m>7,曲线C的离心率的取值范围是L,√2) 11椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的背睐现有一工艺品，其图案如 图所示，基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共 点)，在平面直角坐标系x0y中，将标准椭圆（焦点在坐标轴上，对称中心为原点O)绕着对称中 心逆时针旋转角0,9e0引， 即得“斜椭圆”C:x2+y2-y=4.已知椭圆的面积公式为S=πab (其中a,b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长)则() A若每个“斜椭圆”C的面积为S,则S=85, 3 π B.若每个小正方形的面积为S,,则S2=18 C,记每个斜椭圆”C与x轴正半箱，y轴正半轴围成的面积为S,则85<S 3 3 3.则 D,若“斜精圆"C的两个焦点分别为R,R,P为C上一点，且△PR5的面积为4 丽丽月 数学试题第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆G:x2+y2+2x-3=0与圆C2:x2+y2+4x+2y+3=0相交于A、B两点，则公共弦AB的 长 1B.双猫线C的病点在坐标转上，共流近线的方程为y=士，则风音线的离心率 4已知A,yB63,2)是圆C:c-)+y=2上的动点，且满足出-13-)+2多 点M满足丽=2M,点P在椭圆E:兰+兰=1上运动，则M柳的最大值 1615 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线1经过点P(4,3), (1)若1在两坐标轴上的截距之和为0，求直线1的方程： (2)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积为 S,求S的最小值 △△△ 16.(15分) 已知圆C:x2+y2-4x-12=0,直线1过点P(-2,6). (1)若直线1与圆C相切，求直线1的方程： (2)若直线1与圆C相交于A,B两点，且AB=24,求直线1的方程. △△△ 17.(15分) 已知双曲线C号-茶-a>0>0,过点402同，焦矩为2W5,点B0 (1)求双曲线C的标准方程： (2)是否存在过点D(-,0)的直线1，与双曲线C交于P,2两点，使得△BP2是以∠PB2为 顶角的等腰三角形？若存在，求出直线1的方程：若不存在，请说明理由. △△△ 数学试题第3页，共4页 18.(17分) 号知椭圆c名+是a>b>0过点P心，D,焦距为26，斜率为k的直线1与椭圆c交于 M,N两点（异于点P),且直线PM,PV斜率均存在. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若k=-,MW=5,求直线MN的方程： (3)设直线PM,PN的斜率分别为k,k2,且k+k=-1,PD⊥N,D为垂足，证明：存在 定点Q,使得D2为定值， △△△ 19.(17分) 已知椭圆c:+y 62 =1(a>b>0)的焦距为2√5，短轴两端点分别为B,B2,点M(,%)为椭 圆C上一点，直线M远与直线M远，的斜率都存在，且乘积为- 4 (1)求椭圆C的方程： (2)过坐标原点0向圆M:(x-子+0-%}=4作两条切线分别与椭圆C交于P,Q两点，若 直线OP,O2的斜率都存在，且分别记为k,k2, iD求kk的值：)求应+O02的最小值. Op2+ △△△ 数学试题第4页，共4页